與角平分線有關(guān)的輔助線的作法

角平分線是平面幾何中的一個重要概念.它往往作為一個條件存在于三角形、四邊形或函數(shù)圖象等問題中.解答與角平分線有關(guān)的問題，常常需要添加輔助線，將條件與結(jié)論有效地聯(lián)系起來.對此，筆者總結(jié)了在解答與角平分線有關(guān)的問題時，添加輔助線的口訣，希望同學(xué)們能夠?qū)⑺煊浻谛?，靈活運(yùn)用.

一、點(diǎn)在線，垂兩邊：過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線段

當(dāng)已知條件中出現(xiàn)角平分線，且某一點(diǎn)在角平分線上時，常過該點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，以及全等三角形等相關(guān)知識來解題.

例1如圖1，在四邊形ABCD中，ADgt;AB，BC=CD，AC平分∠BAD.求證：∠ABC+∠D=180°.

分析：由已知條件中的BC=CD，AC平分∠BAD聯(lián)想角平分線的性質(zhì)，這樣就可以考慮過C分別作AB邊和AD邊的垂線，得到CM=CN，再通過證明Rt△BCM≌Rt△DCN，得到∠CBM=∠D，進(jìn)而證明∠ABC+∠D=180°.

證明：如圖1所示，過點(diǎn)C分別作CM⊥AB的延長線于點(diǎn)M，CN⊥AD于點(diǎn)N.

∵AC平分∠BAD，∴CM=CN.

在Rt△BCM和Rt△DCN中，

BC=CD，CM=CN，

∴Rt△BCM≌Rt△DCN（HL），

∴∠CBM=∠D.

又∵∠ABC+∠CBM=180°，

∴∠ABC+∠D=180°.

評注：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是角平分線至關(guān)重要的性質(zhì).根據(jù)角平分線的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形，然后得到相等的邊長和角度是解題的關(guān)鍵.

二、線被垂，順勢延：延長角平分線的垂線段

當(dāng)題目條件中的三角形中出現(xiàn)與角平分線垂直的線段時，可以考慮把這條線段順勢延長，使其與角的另一條邊相交，通過構(gòu)造全等直角三角形或等腰三角形，來獲得相應(yīng)的線段或角的相等關(guān)系，從而達(dá)到解題的目的.

例2如圖2，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD，∠BAD=2∠C.求證：BC-BA=2AD.

分析：由 BD 平分 ∠ABC，AD ⊥ BD，可以 聯(lián)想到兩個全等的等腰直角三角形.不妨延 長 AD 交 BC 于點(diǎn) E，構(gòu)造等腰三角形，將 BC - BA 轉(zhuǎn)化為線段 EC，進(jìn)而利用等腰三角 形的“三線合一”、等角對等邊等性質(zhì)，證明 AE = 2AD，EA = EC 即可解題.

證明：

評注：將垂線延長與角的邊相交，可以構(gòu) 成等腰三角形，再利用等腰三角形“三線合 一”的性質(zhì)得到等角與等邊，從而解題。

三、截相等，構(gòu)全等：在角的一長邊上截 取與短邊相等的線段

當(dāng)題目的已知條件中出現(xiàn)角平分線，且 角的兩邊長度不同時，還可以運(yùn)用截長補(bǔ)短 法，在角的一側(cè)長邊上截取與短邊相等的線 段，再結(jié)合已知角被平分為兩個相等的小角， 即可構(gòu)造全等三角形，進(jìn)而得到一些相等的 線段和角度來解題．

例3

分析：本題是證明兩條線段之和等于第三條線段，因此可以借助“截長補(bǔ)短法”，在線段NP上截取NR=MN，再連接OR，把證明“NP=MN+PQ”變?yōu)樽C明“NR+PR=MN+PQ”.由已知條件，易證△MNO≌△RNO，再通過證明△ORP≌△OQP，得到PR=PQ，從而使問題順利解答.

證明：如圖3所示，在NP上截取NR=MN，連接OR.

∵NO平分∠MNP，PO平分∠NPQ，

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

在△MNO和△RNO中，有MN=NR，

∠1=∠2，ON=ON，

∴△MNO≌△RNO，∴∠M=∠5.

∵M(jìn)N∥PQ，∴∠M+∠Q=180°，

∴∠5+∠Q=180°.

又∵∠5+∠6=180°，∴∠6=∠Q.

在△ORP和△OQP中，有∠6=∠Q，

∠3=∠4，OP=OP，

∴△ORP≌△OQP，∴PR=PQ.

又∵M(jìn)N=NR，

∴NR+PR=MN+PQ，即NP=MN+PQ.

評注：對于含角平分線的問題，采用“截取相等，構(gòu)造全等”這一方法，實(shí)際上是利用角平分線的對稱性，構(gòu)造對稱全等三角形.在解答線段和問題時，常通過截取相等線段，將兩條線段的和集中在一條線段上.

在遇到有關(guān)角平分線的問題時，同學(xué)們既要熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，同時又要能根據(jù)題目條件巧作輔助線，以找到解題的路徑.添加輔助線的方法多種多樣，同學(xué)們可以將其編成口訣或順口溜，既便于記憶，又能將解題過程變得輕松有趣.