如何添加輔助線解答與圓有關的問題

初中數(shù)學幾何問題中會涉及到多種基本圖形，圓就是其中比較特殊的一種.在解答與圓有關的幾何問題時，常常需要構造適當?shù)妮o助線，在已知條件與結論之間構建起“一座橋梁”，從而方便求解.下面就結合幾道例題談談如何構造輔助線來解答有關圓的問題.

作法一：遇到直徑，作圓周角

如果題目中出現(xiàn)“直徑”或者是要求角的度數(shù)時，一般來說，要結合圓中直徑的性質(zhì)來作圓周角.在圓中，直徑所對應的圓周角為直角，反之亦成立.在利用直徑構造出直角三角形后，還要結合勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識點進一步思考，從而得到問題的答案.

例1如圖1所示，線段AB是圓O的直徑，在弦AC的延長線取一點D，滿足CD=AC，線段DB的延長線交圓O于點E.

（1）求證：CD=CE；

（2）連接AE，若∠D=25°，求∠BAE的度數(shù).

（1）證明：如圖1所示，連接BC.

∵AB是圓O的直徑，依據(jù)圓中直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì).

∴∠ACB=90°，即BC⊥AD，CD=AC，

∴AB=BD，

∴∠BAC=∠D，

∵∠CEB=∠BAC∴∠CEB=∠D

∴∠BAE=90°-50°=40°.

評析：在圓中，直徑所對的圓周角為直角.利用此定理構造出直角三角形后，可以將要求的問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，將問題等價轉(zhuǎn)化.

作法二：遇到圓中弦，作弦心距

當題目所給條件或要求的問題涉及圓中弦時，常添加弦心距為輔助線，作垂直于弦的半徑或者直徑，同時連接過弦端點的半徑，這樣就可以利用“垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧”進行分析，或利用弦心距和半徑構造直角三角形、矩形等特殊圖形，運用勾股定理等知識來求解.

例2

解：

評析：在遇到與弦有關的問題時，常規(guī)思路就是作弦心距，從而構造出直角三角形.此直角三角形的三條邊分別是：圓的半徑、弦心距、弦，由此建立起三者之間的聯(lián)系，利用勾股定理、垂徑定理來解題.

作法三：遇到直線與圓相切，作過切點的半徑

遇到題目中已知有切線時，常把直線的切點與圓心連接起來，得到過切點的半徑，利用該半徑與切線的垂直關系來建立題設與結論之間的聯(lián)系.然后利用切線的性質(zhì)定理，得到直角三角形，再利用直角三角形的有關性質(zhì)解題.

例3如圖3所示，在△ABC中，AB=2，AC=2.以點A為圓心，半徑大小為1的圓與邊BC相切，則∠BAC的度數(shù)為.

解：設切點為D，連接AD，由切線的性質(zhì)可得AD⊥BC.

在Rt△ABD中，由銳角三角函數(shù)的定義

可得cos∠BAD==，所以∠BAD=60°.

在Rt△ACD中，

同理得cos∠CAD===22，

所以∠CAD=45°.

所以∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°.

評析：過切點作半徑是在直線與圓相切問題中常見的作輔助線的方法.通過添加輔助線，可以構造出平行線、直角三角形、相似三角形等，再運用相關知識來求解.

作法四：遇到兩圓相切，作公切線

若題目中出現(xiàn)兩個圓，且這兩個圓滿足相切的位置關系時，常常過兩圓的切點作它們的公切線，得到弦切角，然后利用弦切角定理，即弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數(shù)，得到與之相等的角，從而為解題創(chuàng)造條件.一般來說，作公切線有兩種情況：一是若兩圓外切，則作兩圓的外公切線；若兩圓內(nèi)切，則作兩圓的內(nèi)公切線.

例4如圖4所示，已知圓O1，O2外切于點P，點A是圓O1上的一點，直線AC與圓O2相切于點C，且與O1相交于點B，直線AP交圓O2于點D.

（1）求證：PC平分∠BPD；

（2）將“圓O1，O2外切于點P”的條件改為“圓O1，O2內(nèi)切于點P”，其它條件不發(fā)生改變.（1）中的結論是否仍然成立？作出相應的圖形并據(jù)此證明你的結論.

（1）證明：如圖4所示，過點P作兩圓的公切線MP，交AC于點M.

根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠BPM=∠A，∠MPC=∠C.

∴∠BPC=∠BPM+∠MPC=∠A+∠C=∠CPD，

∴PC平分∠BPD；

（2）解：（1）中的結論仍然成立.

如圖5所示，過點P作兩圓的公切線MP，

∴∠MPB=∠A，∠MPC=∠BCP=∠PDC，

∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，

∴PC平分∠BPD.

評析：兩圓相切時，過公共切點作出公切線可以構造弦切角，利用弦切角便可把兩圓的圓周角聯(lián)系起來便于我們解題.

總之，在解答與圓有關的問題時，添加輔助線的方法是多種多樣的，關鍵是根據(jù)題目已知條件和圓的有關性質(zhì)，以及圓與圓之間的關系進行合理的選擇.恰當?shù)妮o助線可以幫助我們找到已知量和未知量之間的關系，從而為解題帶來便利條件.