引參換元解題策略研究

［摘 要］引參換元是實(shí)施轉(zhuǎn)化的重要手段和橋梁，通過引參換元能將問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉、化分散為集中、化隱蔽為清晰。文章以圓錐曲線問題為例介紹幾種常用的引參換元解題策略。

［關(guān)鍵詞］引參換元；解題策略；圓錐曲線問題

［中圖分類號(hào)］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］" " A" " " " ［文章編號(hào)］" " 1674-6058（2024）17-0035-03

轉(zhuǎn)化與化歸思想是高考數(shù)學(xué)中?？疾榈乃枷搿Ｒ齾Q元是實(shí)施轉(zhuǎn)化的重要手段和橋梁，通過引參換元能將問題化繁為簡(jiǎn)、化難為易、化陌生為熟悉、化分散為集中、化隱蔽為清晰。如何對(duì)具體問題進(jìn)行引參換元，是高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)深入探究的問題。引參換元問題沒有刻板的程序、原則、公式或方法，學(xué)生常常望而生畏、無從著手，而教師對(duì)引參換元解題教學(xué)也常感到心中無底。其實(shí)引參換元解題是有規(guī)律可循的。本文以圓錐曲線問題為例介紹幾種常用的引參換元解題策略。

一、靜動(dòng)互化策略

運(yùn)動(dòng)變化思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一，在研究問題時(shí)既可以用運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)處理靜止問題，也可以用相對(duì)靜止的觀點(diǎn)處理運(yùn)動(dòng)問題。通過動(dòng)與靜的轉(zhuǎn)化，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性；通過對(duì)動(dòng)與靜的關(guān)系的觀察，尋找規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與廣闊性。靜點(diǎn)化動(dòng)點(diǎn)，可將不明顯的關(guān)系明確化，減少計(jì)算量；動(dòng)點(diǎn)化靜點(diǎn)，能將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)一步簡(jiǎn)化計(jì)算。

［例1］求經(jīng)過點(diǎn)[P7，203]，且漸近線為[4x±3y=0]的雙曲線方程。

解：設(shè)雙曲線的方程為[16x2-9y2=λ（λ≠0）]，將[P7，203]代入得[λ=-288]，所以雙曲線的方程為[y232-x218=1]。

評(píng)注：本題屬于常見的雙曲線“共漸近線”問題——若已知所求的雙曲線漸近線方程為[Ax±By=0]，那么可以引入一個(gè)參數(shù)[λ]，設(shè)所求的雙曲線方程為[A2x2-B2y2=λ（Agt;0，Bgt;0，λ≠0）]，它避免了焦點(diǎn)位置的判斷。這種“化靜為動(dòng)”的引參策略還可以用于解決雙曲線“同離心率”問題、雙曲線與橢圓“共焦點(diǎn)”等問題，均可以大大提高解題效率。

二、多元化一元策略

將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題是數(shù)學(xué)慣用的策略方法 。多元問題一元化是指將含有多個(gè)相關(guān)量的問題轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)變量的問題。將多元問題轉(zhuǎn)化為一元問題，可使復(fù)雜的關(guān)系變得簡(jiǎn)單。

［例2］已知[z1=x+5+yi]，[z2=x-5+yi] [（x，y∈R）]，且[z1+z2=6]，求[W=2x-3y-12]的最值。

解：由[z1+z2=6]知?jiǎng)狱c(diǎn)[（x，y）]與兩定點(diǎn)[（-5，0），] [（5，0）]的距離之和為6，即點(diǎn)[（x，y）]的軌跡是以（[-5]，0），（[5]，0）為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓，由[c=5]，[a=3]可得[b=2]，從而可知橢圓的方程為[x29+y24=1]，令[x=3cosθ]，[y=2sinθ]，則[W=2x-3y-12=6cosθ-6sinθ-12=62sinπ4-θ-2]，當(dāng)[θ=-π4]，即[x=322]，[y=-2]時(shí)，[Wmin=62-2=12-62]，當(dāng)[θ=3π4]，即[x=-322]，[y=2]時(shí)，[Wmax=62+2=12+62]。

評(píng)注：本題是從復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的幾何意義“[z1]表示復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)[（x，y）]到定點(diǎn)（[-5]，0）的距離”入手，得知點(diǎn)[（x，y）]的軌跡是橢圓，再引入橢圓的參數(shù)方程（[θ]為參數(shù)），將題中多元問題轉(zhuǎn)化為一元三角函數(shù)的最值問題，使問題很快獲解。

［例3］已知[4x2-5xy+4y2=5]，求[W=x2+y2]的最值。

解：設(shè)過原點(diǎn)的直線為[x=tcosθ，y=tsinθ，]代入已知得[t2（4cos2θ-5sinθcosθ+4sin2θ）=5]，

∴[t2=54-52sin2θ]，即[W=x2+y2=t2=54-52sin2θ]，

∵[32≤4-52sin2θ≤132]，

∴當(dāng)[sin2θ=1]時(shí)，[Wmax=532=103] ;當(dāng)[sin2θ=-1]時(shí)，[Wmin=5132=1013]。

評(píng)注：題目的條件為關(guān)于[x]和[y]的二元二次方程，難以用[x]表示[y]。但從幾何角度看，[x2+y2]表示曲線上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，而這距離即為繞原點(diǎn)的動(dòng)直線與曲線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，這時(shí)可利用直線的參數(shù)方程將問題轉(zhuǎn)化為一元三角函數(shù)的最值問題，實(shí)現(xiàn)多元問題一元化，從而輕松求解。

三、比值設(shè)參策略

比值設(shè)參策略常用于解決涉及比例或比值的問題，通過設(shè)定參數(shù)的比例關(guān)系，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題化為簡(jiǎn)單的比例關(guān)系，從而簡(jiǎn)化問題的求解過程。比值設(shè)參將多變量問題中的多個(gè)變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量，從而使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

［例4］如圖1，已知橢圓：[x224+y216=1]，直線[l]：[x12+y8=1]，[P]是[l]上一點(diǎn)，射線[OP]交橢圓于點(diǎn)[R]，又點(diǎn)[Q]在[OP]上，且滿足[OQ·OP=OR2]，當(dāng)點(diǎn)[P]在[l]上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)[Q]的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。

解：由[OQ·OP=OR2]知[P]、[R]、[Q]均不在原點(diǎn)，且[OQOR=OROP]，設(shè)[OQOR=OROP=λ]，則[λ]∈（0，1），且[OR=OQλ]，[OP=OQλ2]，

設(shè)[P（xP，yP）]，[R（xR，yR）]，[Q（x，y）]，則將各點(diǎn)向坐標(biāo)軸投影，有[xR=xλ，yR=yλ，] [xP=xλ2，yP=yλ2，]

又因?yàn)镻在l上，[R]在橢圓上，

所以有[x12+y8=λ2]，[x224+y216=λ2]，

消去[λ]得 [x224+y216=x12+y8]（[x]，[y]不同時(shí)為0），整理得[（x-1）252+（y-1）253=1]（不含坐標(biāo)原點(diǎn)），∴Q的軌跡是中心為（1，1）的橢圓（去掉坐標(biāo)原點(diǎn)）。

評(píng)注：本題屬于求動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，可將等式變形后引入一個(gè)參數(shù)進(jìn)行求解。對(duì)比常規(guī)做法——設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，利用條件找等式，這種比值設(shè)參策略簡(jiǎn)化了計(jì)算。值得注意的是，消參后要查漏補(bǔ)缺，去掉不符合題意的點(diǎn)，以免所求軌跡方程有錯(cuò)漏。

四、交點(diǎn)問題曲線系解決策略

在圓錐曲線中，常常研究經(jīng)過某兩條曲線的交點(diǎn)等一系列問題，解題思路是先求出交點(diǎn)，再通過待定系數(shù)法求出曲線方程，但往往計(jì)算量大。交點(diǎn)曲線系是一個(gè)數(shù)學(xué)概念，是指通過一系列特定點(diǎn)的曲線。這些曲線可以用于解決各種問題，例如幾何問題、優(yōu)化問題等。交點(diǎn)曲線系提供了一種解題策略，通過構(gòu)造和利用這些特殊曲線可解決幾何問題、優(yōu)化問題等，在需要找到經(jīng)過一組特定點(diǎn)的曲線時(shí)，可采用交點(diǎn)曲線系解決策略。

［例5］證明橢圓[x220+y25=1]與雙曲線[x212-y23=1]的交點(diǎn)在同一個(gè)圓上。

證明：∵橢圓和雙曲線的方程可分別化為[x2+4y2-20=0]，[x2-4y2-12=0]，故過它們交點(diǎn)的曲線系方程可設(shè)為（[x2+4y2-20）+λ（x2-4y2-12）=0]，

即（[1+λ）x2+（4-4λ）y2-20-12λ=0]，[（＊）]

當(dāng)[1+λ=4-4λ≠0]，即[λ=35]時(shí)，[（＊）]式表示圓[x2+y2=17]，∴橢圓[x220+y25=1]與雙曲線[x212-y23=1]的交點(diǎn)在同一圓上。

評(píng)注：交點(diǎn)問題的解法不唯一，但運(yùn)用曲線系理論引入一個(gè)參數(shù)求解較為簡(jiǎn)單，它在很大程度上避免了繁雜的運(yùn)算。這種設(shè)參策略還可以用于解決過兩直線交點(diǎn)的直線系方程、過直線與圓交點(diǎn)的圓系方程、過圓與圓交點(diǎn)的圓系方程等問題，但是要注意設(shè)參后新參數(shù)的取值范圍。

五、定值問題設(shè)參策略

定值問題通常涉及圓錐曲線中的某些量在變化過程中，某個(gè)量的值保持不變，即為一個(gè)定值。解決這類問題的關(guān)鍵在于消掉所有參數(shù)，使得某個(gè)量成為一個(gè)無參的數(shù)值。在設(shè)定參數(shù)時(shí)，常用的參數(shù)包括點(diǎn)（可能是兩個(gè)參數(shù)，注意橫坐標(biāo)要滿足圓錐曲線方程）、角（常將圓錐曲線上的點(diǎn)設(shè)為三角函數(shù)角的形式）和斜率（最常用的參數(shù)，但需要考慮斜率是否存在的情況）。

［例6］如圖2，射線[y=2x（x≥0）]交橢圓[x22+y24=1]于點(diǎn)[A]，過點(diǎn)[A]作兩條傾角互補(bǔ)的直線，與橢圓分別交于異于點(diǎn)[A]的點(diǎn)[B]和點(diǎn)[C]。求直線[BC]的斜率[k0]。

解：由[y=2x（x≥0），2x2+y2=4，]解得[A（1，2）]，設(shè)直線[AB]的斜率為[k]，則直線[AC]的斜率為-[k]，直線[AB]的方程為[y-2=k（x-1）]，即[y=k（x-1）+2]，代入[2x2+y2=4]，并整理得[（x-1）（2+k2）（x-1）+4+22k=0]，∵[xB≠1]，故[xB=1-4+22k2+k2]，從而[yB=2-4k+22k22+k2]，∴[B1-4+22k2+k2，2-4k+22k22+k2]，將[k]換成[-k]，即得[C1-4-22k2+k2]，[2-22k2-4k2+k2]，∴[yB-yC=-8k2+k2]，[xB-xC=-42k2+k2]，∴[k0=yB-yCxB-xC=8k42k=2。]

評(píng)注：根據(jù)本題的已知條件，易知[A]為定點(diǎn)，而[B]、[C]為動(dòng)點(diǎn)，[k0]“照理”應(yīng)隨[B]、[C]的變化而變化，但[B]、[C]又由[AB]、[AC]確定，[AB]與[AC]傾角互補(bǔ)，因而只要選直線[AB]的斜率為[k]，從而[B]、[C]都可由[k]表示出來，于是[k0]也就可由[k]表示出來，如果[k0]為定值，則最終[k]自然消掉。定值問題通常需要用到設(shè)參數(shù)法，在計(jì)算過程中參數(shù)往往可以消去或解出，從而得常數(shù)值。

六、軌跡問題設(shè)參策略

軌跡問題設(shè)參策略是指先引入一個(gè)參數(shù)，使得動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)建立起聯(lián)系，然后根據(jù)題目的已知條件消去參數(shù)得到直接關(guān)系式，即得到所求的軌跡方程。若存在變量，且動(dòng)點(diǎn)由多個(gè)因素共同決定位置，則設(shè)出相應(yīng)位置的參數(shù)，根據(jù)題中的條件找出等量關(guān)系，用參數(shù)分別表示出動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，然后消去參數(shù)。

［例7］如圖3，給出定點(diǎn)[（a，0）（agt;0）]和直線[l]：[x=-1]，[B]是直線[l]上的動(dòng)點(diǎn)，[∠BOA]的平分線交[AB]于點(diǎn)[C]，求點(diǎn)[C]的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與[a]的關(guān)系。

解：設(shè)[B（-1，t）]，[C（x，y）]，則[OB=1+t2]，點(diǎn)[C]分[BA]所成的比為[λ=BCCA=OBOA=1+t2a，]∴[x+1a-x=y-t-y=1+t2a]，消去[t]并整理得點(diǎn)[C]的軌跡方程為[（1-a）x2-2ax+（1+a）y2=0（0≤x≤a）] 。

當(dāng)[a=1]時(shí)，軌跡方程為[y2=x（0≤x≤1）]，表示拋物線弧段；當(dāng)[a≠1]時(shí)，軌跡方程為[x-21-a2a1-a2+y2a21-a2=1（0≤x≤a）]。所以，當(dāng)[0lt;alt;1]時(shí)，軌跡為橢圓弧段；當(dāng)[agt;1]時(shí)，軌跡為雙曲線一支上的弧段。

評(píng)注：在解決軌跡問題時(shí)，如果動(dòng)點(diǎn)[P（x，y）]的坐標(biāo)關(guān)系不易找到，也沒有其他相關(guān)條件可用，就需分析出與動(dòng)點(diǎn)相互影響、相互決定的變化因素，合理引進(jìn)參數(shù)來建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，消去參數(shù)即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。常引用的參數(shù)有邊參數(shù)、角參數(shù)、斜率參數(shù)、點(diǎn)參數(shù)、比參數(shù)等。

通過上述例子，我們可以深刻地體會(huì)到：換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換。在很多圓錐曲線問題中，已知與未知之間的聯(lián)系并不明顯，而且題型多種多樣，在無法利用常規(guī)思路進(jìn)行解題或是解題過程過于煩冗時(shí)，可以考慮引參換元，為已知與未知“牽線搭橋”，當(dāng)然，在解題時(shí)要考慮引入?yún)?shù)的取值范圍。引參換元策略靈活多樣，它不但在圓錐曲線問題中有廣泛的應(yīng)用，而且在研究方程、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)等問題中都有廣泛的應(yīng)用。在解答這些問題時(shí)，要對(duì)有關(guān)式子、條件特征進(jìn)行觀察，分析已知條件的用處，從而針對(duì)性地選擇引參換元解題策略。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

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（責(zé)任編輯 黃春香）