數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下以問題為導(dǎo)向促素養(yǎng)提升的策略

［摘 要］數(shù)學(xué)的本質(zhì)是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出概念，研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，探索其中的邏輯，從而幫助人們理解和表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界 。數(shù)學(xué)概念教學(xué)是提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的載體，通過引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，可以提升學(xué)生的抽象能力等核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)本質(zhì)觀既是一種教學(xué)思想，?也是一種教學(xué)理念和實(shí)踐指導(dǎo)，?它強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，?提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，設(shè)置一系列問題，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)的“腳手架”，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)行有效探究和學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)思維生長和素養(yǎng)提升。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)本質(zhì)觀；問題導(dǎo)向；核心素養(yǎng)；概念教學(xué)

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0025-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出，使學(xué)生在活動中發(fā)展核心素養(yǎng)。為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，教師需要依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，開展恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，進(jìn)行有效學(xué)習(xí)。

教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動時(shí)，需要考慮學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)特點(diǎn)，以問題為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生解決問題，提高思維能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是抽象、邏輯、關(guān)系、結(jié)構(gòu)，其包含三個(gè)層次：（1）數(shù)學(xué)的知識之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要尋根溯源，找到知識的本源，從源頭來思考問題，找到建構(gòu)知識的切入點(diǎn)。（2）數(shù)學(xué)的思維方法。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)涉及抽象思維、邏輯思維、模型思維、理性思維、創(chuàng)造性思維等思維方法，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)設(shè)計(jì)具有一定“含金量”的思維訓(xùn)練活動，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。（3）數(shù)學(xué)的思想。在顯性的知識和技能層面背后隱含著“內(nèi)核思想”，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)要深度理解如何抽象、如何推理、如何建模、如何應(yīng)用等，把握內(nèi)在的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之一。學(xué)生對于概念的學(xué)習(xí)，需經(jīng)歷感知活動、思維加工、理解應(yīng)用、形成結(jié)構(gòu)四個(gè)步驟。數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于概念形成時(shí)，學(xué)生對基本概念的深度理解與對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟；在概念應(yīng)用時(shí)，能將所建構(gòu)的知識、方法與思想在現(xiàn)實(shí)世界中進(jìn)行準(zhǔn)確表達(dá)。在一系列的概念建構(gòu)和應(yīng)用中，使知識、方法、思想形成一個(gè)良好的結(jié)構(gòu)。

在數(shù)學(xué)本質(zhì)觀的引領(lǐng)下，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，設(shè)置一系列問題，為學(xué)生搭建學(xué)習(xí)的“腳手架”，以幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，進(jìn)行有效探究和學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)思維生長和素養(yǎng)提升。本文具體闡述在數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何以問題為導(dǎo)向促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的提升。

一、數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

（一）厘清知識本源，促進(jìn)有效探究（學(xué)習(xí)）

新概念并不是憑空產(chǎn)生的，而是基于一個(gè)原型“生長”而來的。這個(gè)原型源于學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，是新概念的最原始“本質(zhì)”。因此，新概念教學(xué)的第一步，應(yīng)探明并找到這個(gè)原生點(diǎn)，并以此為起點(diǎn)開展教學(xué)。

[案例1]在“由平行線截得比例線段”的教學(xué)中，筆者以學(xué)生已有的中位線知識經(jīng)驗(yàn)為原生點(diǎn)，開展新知識的教學(xué)。

問題1：如圖1所示的[△ABC]中，[DE]是中位線，圖中有沒有成比例的線段？

問題2：在[△ADE]中再添加一條中位線[FG]，又會有哪些線段成比例？比例是多少？

問題3：如果[H]、[I]點(diǎn)分別是[AB]和[AC]的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為線段[HI]和[BC]的比例是多少？

問題4：如果[H]、[I]點(diǎn)分別是[AB]和[AC]的四等分點(diǎn)，你認(rèn)為線段[HI]和[BC]的比例又是多少？

……

教學(xué)說明：三角形中位線的性質(zhì)是學(xué)生所熟知的知識，中位線既有平行的特征，又有二分之一比例的特征，涵蓋了“由平行線截得比例線段”新概念中的“平行”“比例”兩個(gè)關(guān)鍵詞，可以說是新概念最為簡單、特殊的一種形式，以此作為教學(xué)的起點(diǎn)，既符合認(rèn)知心理學(xué)的特點(diǎn)，又能激發(fā)學(xué)生的探究欲望，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效探究和學(xué)習(xí)。加強(qiáng)了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力和幾何直觀素養(yǎng)。

（二）經(jīng)歷探索過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維

新概念的建構(gòu)發(fā)生于特殊的事例，所以初始概念的形成只是狹隘的猜想，性質(zhì)與定律也是處于一種模糊的狀態(tài)，若此時(shí)就進(jìn)行概念的應(yīng)用，難免會出差錯(cuò)。因此，在概念建構(gòu)時(shí)必須讓新概念具有普遍意義，也就是要經(jīng)歷化特殊為一般的過程。在最大限度的不完全歸納中，去除一些表象和相異構(gòu)想，在寬泛中不斷聚攏，精確找到“一般”中的共性部分，這也是概念最為本質(zhì)的東西，是后續(xù)概念應(yīng)用的基準(zhǔn)。

[案例2]在“相似三角形”的教學(xué)中，筆者以全等三角形（相似比等于1的特殊相似圖形）的角與邊的定義作為概念的生長點(diǎn)，借助網(wǎng)格等比例縮小的方法，以[∠A]為公共角，[BC]平移形成[PQ]（如圖2），讓學(xué)生初步猜想相似三角形的概念。在此基礎(chǔ)上，不斷地變化，層層遞進(jìn)，觀察歸納，形成對相似三角形概念的準(zhǔn)確定義。

問題1：△ABC中， PQ是中位線，圖中有沒有成比例的線段？繼續(xù)探究△APQ和△ABC是什么關(guān)系。

問題2：類比全等三角形的概念，△APQ和△ABC的角、邊分別是什么關(guān)系？

問題3：如果H、I點(diǎn)分別是AB和AC的三等分點(diǎn)，你認(rèn)為[△AHI]和[△ABC]的邊對應(yīng)成比例嗎？比例是多少？

問題4：把△APQ通過平移變換、軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換等（通過信息技術(shù)演示），△APQ和△ABC的角還對應(yīng)相等，邊還對應(yīng)成比例嗎？

問題5：全等三角形和相似三角形的關(guān)系是什么？

教學(xué)說明：通過問題1、2的思考與解答，類比全等三角形，不難得出“角對應(yīng)相等，邊對應(yīng)成比例”；從特殊到一般的第一次推進(jìn)，學(xué)生已經(jīng)能表達(dá)出相似三角形是形狀相同的三角形的等比例縮放的本質(zhì)。然而我們要注意的是，此時(shí)學(xué)生的認(rèn)知還是停留在線段的平移縮放上，并沒有深度理解相似三角形，筆者繼續(xù)以問題為導(dǎo)引，進(jìn)行從特殊到一般的第二次推進(jìn)。問題3，角對應(yīng)相等，邊對應(yīng)成比例，與比值大小無關(guān)。學(xué)生對相似三角形是形狀相同的三角形的等比例縮放有了一定的認(rèn)識，然而此時(shí)他們的認(rèn)知局限于線段的平移縮放，概念的建構(gòu)還較狹隘，難免會形成相似三角形與位置相關(guān)的相異構(gòu)想。問題 4是將平移推進(jìn)到圖形內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，突破了平移的位置關(guān)系。

位置不是概念的限定因素，只有從角和邊去定義才是概念的本質(zhì)。此時(shí)，學(xué)生對相似三角形本質(zhì)特征（如圖 3）的認(rèn)知才真正具有一般性和精確性。

浙教版教材是通過測量三角形的角度和邊長得出相似三角形的概念的，雖然精準(zhǔn)地得出了相似三角形的概念，但僅僅完成了概念的形式教學(xué)，并不利于學(xué)生思維的發(fā)展，不利于“相似圖形”與現(xiàn)實(shí)生活中“圖形的縮小和放大”產(chǎn)生鏈接，不利于學(xué)生對知識的建構(gòu)。此外，設(shè)計(jì)一些有利于學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)活動，能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生在獲得“四基”的同時(shí)，提升核心素養(yǎng)。

（三）深挖教學(xué)內(nèi)容，凸顯數(shù)學(xué)思想

學(xué)生雖然通過一些事例的辨析，認(rèn)識了新概念的本質(zhì)特征，但是這些事例是經(jīng)過教師良構(gòu)處理的，是最精簡的基礎(chǔ)模型，此階段學(xué)生的思維缺乏靈動性。如果將新概念置于一個(gè)較為復(fù)雜的模型中，學(xué)生還是難于靈活運(yùn)用，那么對形成概念的這些事例作進(jìn)一步的處理就尤為必要，我們可以對情境條件進(jìn)行加、減等置換，增加數(shù)學(xué)模型的復(fù)雜程度，使學(xué)生能夠基于概念的本質(zhì)去觀察和思考復(fù)雜模型，逐步凝練出一些解決問題的策略。

[案例3]在“二元一次方程組”的教學(xué)中，筆者從學(xué)生熟知的雞兔同籠等事例出發(fā)，類比二元一次方程的概念，引導(dǎo)他們逐步得出二元一次方程組的本質(zhì)特征：①有兩個(gè)一次方程；②兩個(gè)方程一共含有兩個(gè)未知數(shù)；③二元一次方程有無數(shù)個(gè)成對的解，二元一次方程組的解是兩個(gè)方程的公共解。筆者對雞兔同籠等事例進(jìn)行了條件和符號的置換，設(shè)置如下問題和任務(wù)：

小王和小應(yīng)一起去火龍果果園里摘果，已知小王袋子中的火龍果比小應(yīng)多2個(gè)。若小王從小應(yīng)那里拿來一個(gè)火龍果放到自己的袋子中，則小王袋子中的火龍果是小應(yīng)的2倍。問：小王和小應(yīng)原來各摘得火龍果幾個(gè)？

（1）觀察題目中有哪些未知量？（有兩個(gè)未知數(shù)）

（2）找出題目中蘊(yùn)含等量關(guān)系的語句描述（有兩個(gè)等量關(guān)系）。

（3）確定未知量之間的等量關(guān)系。

（4）設(shè)元表示等量關(guān)系，列出方程組（未知數(shù)[x]、[y]代用的普遍性）。

（5）求解方程組（火龍果的原有個(gè)數(shù)是客觀、唯一的）。

（6）思考此題的解答過程，說說你在解題中獲得哪些方法上的啟發(fā)。

教學(xué)說明：此題通過“拿火龍果”的條件變化，將“雞兔同籠”問題中靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系演化為動態(tài)的數(shù)量變化關(guān)系，使條件變得更為復(fù)雜，然而它仍然是有兩個(gè)未知數(shù)、有兩個(gè)等量關(guān)系，本質(zhì)上還是二元一次方程組。6個(gè)任務(wù)的設(shè)置逐步推進(jìn)，從發(fā)現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)、兩個(gè)等量關(guān)系、一個(gè)公共解的特征契合到二元一次方程組的基本特征，設(shè)元建立數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)理的演算獲得答案，這是對知識本質(zhì)的理解。在6個(gè)任務(wù)的完成過程中，筆者有意滲透了解決二元一次方程組的基本思維方法，讓學(xué)生在反思中體悟基本策略，并上升到“基于何種本質(zhì)，在何種條件下，可采用何種策略”的數(shù)學(xué)觀念。二元一次方程組的應(yīng)用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的工具性。數(shù)學(xué)的應(yīng)用，增強(qiáng)了學(xué)生的模型觀念，也提升了學(xué)生“四能”。

（四）跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，提升核心素養(yǎng)

新課標(biāo)提出“讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界、會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”，這揭示了數(shù)學(xué)理論不應(yīng)停留在良構(gòu)數(shù)學(xué)模型推論的層面上，它應(yīng)該有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)該剝離現(xiàn)實(shí)世界的非數(shù)學(xué)屬性，抽象出研究對象，接著對研究對象進(jìn)行運(yùn)算、推理、建模等，以形成數(shù)學(xué)的結(jié)論與方法?？v觀科學(xué)世界的發(fā)展，任何科學(xué)理論和工程的實(shí)踐應(yīng)用，都是以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，都建立在數(shù)理的推論之上。數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生從現(xiàn)實(shí)世界中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，提煉數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，用以解決生活實(shí)際問題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［案例4］在“一次函數(shù)”的教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生理解了一次函數(shù)的數(shù)形本質(zhì)，以及在條件置換后形成基于概念本質(zhì)的解題策略后，筆者將一次函數(shù)與生活實(shí)際相結(jié)合，設(shè)計(jì)跨學(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)活動：

（1）制作“浮力秤”，在圖4中寫出“浮力秤”使用說明書。

（2）已知水的密度為[ ρ水]，秤盤中為放物體時(shí)浮體的圓柱體浸入水中的深度為[h0]（如圖5），請根據(jù)上述內(nèi)容和條件求出被稱物體質(zhì)量[m]與浮體的圓柱體浸入水中深度[h]之間的關(guān)系式。

（3）反思：此“浮力秤”的刻度是均勻的嗎？為什么？

教學(xué)說明：此問題取材于科學(xué)的應(yīng)用——“浮力秤”，表面看是一個(gè)科學(xué)問題，仔細(xì)思考后就會發(fā)現(xiàn)是一個(gè)實(shí)實(shí)在在的數(shù)學(xué)問題。問題（2）的本質(zhì)是在具體情境中建立[m]與[h]兩個(gè)未知數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系，問題（3）的本質(zhì)是一次函數(shù)的數(shù)形特點(diǎn)的生活化意義。用“一次函數(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)工具解釋了“浮力秤的刻度是均勻的”這一生活現(xiàn)象?？鐚W(xué)科項(xiàng)目化學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生解決問題的能力，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)反思

數(shù)學(xué)本質(zhì)觀是一種教學(xué)思想，它能指引我們的教學(xué)設(shè)計(jì)。學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，要想讓數(shù)學(xué)思想最終落到實(shí)處，需做好以下幾點(diǎn)。

（一）找準(zhǔn)生長點(diǎn)

奧蘇貝爾在《教育心理學(xué)》的扉頁上寫道：“假如要我把所有的教育心理學(xué)內(nèi)容濃縮為一條原理的話，那我會說：影響學(xué)習(xí)的最重要的、唯一的因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，弄清楚它，然后進(jìn)行相應(yīng)的教學(xué)。”在案例1中，我們可以體會到如果對于學(xué)生的前概念不清楚，教學(xué)就可能發(fā)生偏差，問題的設(shè)置也就失去了意義，教學(xué)一開始就會置于啟而不發(fā)的境地。對此，筆者采用學(xué)前預(yù)學(xué)案的形式，針對學(xué)生對“中位線”“比例”的認(rèn)識設(shè)置問題，以此判斷出新概念的生長點(diǎn)，為教學(xué)設(shè)計(jì)提供準(zhǔn)確的依據(jù)，使學(xué)生能進(jìn)行有效探究和學(xué)習(xí)。

（二）設(shè)計(jì)啟發(fā)性的問題

數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下的課堂教學(xué)，不是簡單地給學(xué)生提供一些文字結(jié)論，而是讓學(xué)生自主、主動地學(xué)習(xí)，對學(xué)生的思維能力有較高的要求。作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，教師應(yīng)關(guān)注學(xué)生的思維特點(diǎn)和水平，設(shè)計(jì)高質(zhì)量的啟發(fā)性問題，并通過問題層層遞進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生參與學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過觀察、猜測、推理、運(yùn)算等一系列思維活動解決問題，領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想。在案例2和案例3中，筆者將大問題細(xì)化為子問題進(jìn)行設(shè)問，其意圖就在于此。

（三）實(shí)施持續(xù)一貫的教學(xué)

學(xué)生對于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是一個(gè)長期的內(nèi)化過程，所以在數(shù)學(xué)本質(zhì)觀下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師既要有“顯微鏡”的思想，在每一節(jié)課中挖掘素材，找準(zhǔn)切入點(diǎn)來實(shí)施教學(xué)，也要有“望遠(yuǎn)鏡”的思想，著眼于大單元的有序安排，將課與課進(jìn)行有效連接，將教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化處理，讓數(shù)學(xué)本質(zhì)貫穿教學(xué)的始終。

綜上所述，要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有意義，就應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程，體悟知識的本質(zhì)，并形成基于本質(zhì)解決問題的觀念，同時(shí)要將知識根植于生活情境中，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去看待情境，用數(shù)學(xué)的思維去思考情境，用數(shù)學(xué)的語言去表達(dá)情境，在不斷地思考、探究中把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升核心素養(yǎng)。

［" "參" "考" "文" "獻(xiàn)" "］

[1]" 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)：2022年版[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2]" 羅增儒.“認(rèn)識二元一次方程組”的課例與研修[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（29）：5-11.

[3]" 章劍雄.深度學(xué)習(xí)理念下的單元復(fù)習(xí)課教學(xué)實(shí)踐：以“相似三角形”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（29）：18-21.

[4]" 王偉.搭建問題橋梁 促進(jìn)思維生長：“由平行線截得的比例線段”教學(xué)及反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（29）：21-24.

[5]" 史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[6]" 王秀梅.天津市近十年中考物理試題的研究［D］.天津：天津師范大學(xué)，2015.

（責(zé)任編輯 黃春香）