基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的波動率模型研究進展

摘" 要：" 波動率是度量標(biāo)的資產(chǎn)投資收益不確定性的重要指標(biāo)，在金融、能源和環(huán)境等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。由于真實的波動率無法直接觀測，因此構(gòu)建合理的波動率模型來估計真實波動率顯得尤為重要。本文試圖從數(shù)據(jù)驅(qū)動的角度入手，基于低頻、高頻和混頻數(shù)據(jù)三個方面對國內(nèi)外波動率模型的研究成果進行綜述，以期為該主題的后續(xù)研究提供借鑒。

關(guān)鍵詞：" 波動率；金融市場；低頻數(shù)據(jù)；高頻數(shù)據(jù)；混頻數(shù)據(jù)

中圖分類號：" F 830

文獻標(biāo)志碼：" A

收稿日期：2024-07-29

作者簡介：許敏（1992—），女，江蘇揚州人，碩士研究生，研究方向：金融統(tǒng)計和數(shù)據(jù)挖掘。

文章編號：1005-9679（2024）06-0050-06

The Advancement in Data-driven Volatility Models

XU Min

（Shanghai Xingwei College， Shanghai 201300， China）

Abstract： Volatility， as an important index for evaluation of uncertainty of the underlying asset， has been widely used in the field of finance， economy， energy， environment and so on. With the rapid development of financial markets， volatility risk has become a major systemic risk， and thus has been identified as a research priority by financial market regulators， financial institutions and investors. Modeling and forecasting the volatility of financial assets are necessities in the financial market risk management， but the volatility itself is not directly observable， so it is imperative to construct a suitable volatility model which can offer a good forecasting of real volatility. Driven by the evaluations of usable data sources， the research achievements of volatility models were summarized from low frequency data， high frequency data and mixed frequency data in order to provide references for the following research.

Key words： volatility; financial market; low frequency data; high frequency data; mixed frequency data

0" 引言

波動率在風(fēng)險管理和資產(chǎn)配置等方面發(fā)揮著主體作用。隨著全球金融市場一體化，對波動率的測度要求也在不斷提高。因而構(gòu)建合理的波動率模型來測度金融資產(chǎn)的波動率，揭示金融市場波動的本質(zhì)，逐步發(fā)展波動率衍生品避險工具，以對沖金融市場的波動風(fēng)險，對投資者和監(jiān)管部門的風(fēng)險管理具有重要的理論和實踐價值。傳統(tǒng)的GARCH簇模型主要利用低頻數(shù)據(jù)對波動率進行建模，損失了大量的有效數(shù)據(jù)信息［1］。隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，高頻數(shù)據(jù)的獲取變得越來越容易?；诟哳l和混頻數(shù)據(jù)的波動率模型研究應(yīng)運而生，既豐富了波動率理論，也推動了波動率模型在金融、能源和環(huán)境等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。本文基于數(shù)據(jù)驅(qū)動的角度對國內(nèi)外關(guān)于波動率模型的主要研究成果進行梳理、分析和總結(jié)。同時，對該主題未來的研究提出展望。

1" 基于低頻數(shù)據(jù)的波動率模型

基于低頻數(shù)據(jù)的波動率建模研究已經(jīng)日趨完善和成熟，由于篇幅的限制，本節(jié)僅從刻畫波動的聚類性、不對稱性和長記憶性三個方面簡述GARCH簇模型，更多可參考［2， 8］。

1.1" 波動聚類性模型

1.1.1" ARCH模型、GARCH模型

傳統(tǒng)時間序列模型假設(shè)金融資產(chǎn)的方差為常數(shù)，這一假設(shè)違背了金融資產(chǎn)價格波動的實際特征。為此，Engle（1982）［3］利用添加的殘差滯后項的平方及其權(quán)重來描述主體波動的異方差性，繼而構(gòu)建了經(jīng)典的自回歸條件異方差（ARCH）模型：

σ2t=α0+∑qj=1αjε2t-j，α0gt;0，αj≥0 （j=1，2，…，q）（1）

為了克服實際應(yīng)用中高階ARCH模型參數(shù)估計過多而引起較大誤差的不足，Bollerslev（1986）［4］基于滯后p期的條件方差提出了GARCH（p， q）模型：

σ2t=α0+∑pi=1βiσ2t-i+∑qj=1αjε2t-j（2）

其中，α0gt;0，αj，βi≥0 （i=1，2，…，p; j=1，2，…，q）。

1.2" 波動不對稱性模型

1.2.1" EGARCH模型

金融資產(chǎn)的波動程度對不同類型消息的反應(yīng)是有差異的，GARCH模型難以刻畫這種不對稱性且模型參數(shù)的非負條件對異方差性存在約束，Nelson （1991）［5］通過采用對數(shù)型條件方差來避免GARCH模型的非負限制，繼而提出著名的EGARCH模型：

ln（σ2t）=α0+∑pi=1αiεt-iσt-i+φiεt-iσt-i+∑qj=1βjlnσt-j（3）

其中，φi是杠桿效應(yīng)系數(shù)。φilt;0表明利空消息對市場波動造成的影響要大于利好消息，說明市場存在杠桿效應(yīng)。

1.2.2" TGARCH模型

Glosten等（1993）［6］提出了TGARCH模型：

σ2t=α0+∑pi=1βiσ2t-i+∑qj=1αiε2t-i+∑qj=1γiDt-iε2t-i（4）

其中Dt-i為虛擬變量。若εt-ilt;0，則Dt-i；否則，Dt-i=0。與EGARCH相反，衡量不對稱波動的系數(shù)γigt;0表示存在杠桿效應(yīng)。該模型被Engle和Ng（1993）［7］等學(xué)者證實在刻畫波動率杠桿效應(yīng)的能力上要優(yōu)于EGARCH模型，但是該模型并沒有考慮金融資產(chǎn)的長期記憶性。

1.2.3" APARCH模型

對波動率的長期記憶性的研究最早源于Taylor（1986）［8］，該研究發(fā)現(xiàn)盡管金融資產(chǎn)的收益率序列近似符合有效市場假說，即收益率序列之間是不相關(guān)或者弱相關(guān)的，但被定義為長期記憶過程的卻顯示自身之間有顯著的正相關(guān)性。Ding等（1993）［9］基于Taylor的發(fā)現(xiàn)，對GARCH模型中的條件標(biāo)準差和殘差絕對值施加了冪變換，提出了APARCH模型：

σδt=α0+∑pi=1βiσδt-i+∑qj=1αj（|εt-j|-γiεt-j）δ（5）

其中，α0，δgt;0；αj，βj≥0；-1lt;γilt;1。γjlt;0表示存在杠桿效應(yīng)，即負沖擊引起的波動大于正沖擊。當(dāng)δ=2，γj=0，βi=0時，則退化為ARCH模型；當(dāng)δ=1，γj=0時，則退化為GARCH模型；當(dāng)δ=1時，則退化為TGARCH模型。

1.3" 波動長記憶性模型

1.3.1" FIGARCH模型

Ding和Granger（1996）［10］計算了APARCH（1，1）模型的自相關(guān)系數(shù)，發(fā)現(xiàn)其衰減仍是依照指數(shù)率，因此降低了APARCH模型在長記憶序列波動建模中的優(yōu)勢。為了更好地描述長記憶性，Baillie等（1996）［11］提出條件異方差模型中第一個真正意義上的長期記憶波動率模型，即FIGARCH（p， d， q）模型：

σ2t=α0［1-B（L）］+{1-［1-B（L）］-1A（L）（1-L）d}ε2t（6）

其中，A（L）=∑qβqLq；B（L）=∑pαpLp能夠描述波動率的長期記憶特性。當(dāng)d=0時，則FIGARCH（p， d， q）模型退化GARCH（p， q）模型。特別地，李勝歌和張世英（2008）［12］利用FIGARCH模型對上證綜指的波動性進行了實證研究。

1.3.2" FIEGARCH模型

Bollerslev和Mikkelsen（1996）［13］借鑒EGARCH模型的非對稱性結(jié)構(gòu)以及在參數(shù)非負性限制方面的優(yōu)勢，提出了FIEGARCH（p， d， q）模型：

ln（σ2t）=α0+B（L）-1（1-L）d［1+A（L）］g（zt-1）（7）

其中，g（zt-1）=γzt-1+θ{|zt-1|-E|zt-1|}。

1.3.3" FIAPARCH模型

Tse（1998）［14］將分數(shù)階差分過程與APARCH模型直觀地結(jié)合在一起，提出了FIAPARCH模型：

σδt=α0+|1-［1-B（L）］-1A（L）（1-L）d｜（|εt|-γεt）δ（8）

FIAPARCH模型能同時描述金融資產(chǎn)波動的長期記憶特性和不對稱性，其模型結(jié)構(gòu)的拓展性也優(yōu)于FIEGARCH模型。

1.3.4" HYGARCH模型

在異方差領(lǐng)域，最引人注目的創(chuàng)新可能是來自Davidson（2004）［15］。他認為已有的GARCH模型將滯后系數(shù)之和是否等于1的約束與過程的長期記憶性混淆在一起進行檢驗，基于此，Davidson（2004）［15］提出了雙曲線GARCH（HYGARCH）模型：

σ2t=α0+［1-B（L）］-1+{1-［1-B（L）］-1A（L）［1-τ+τ（1-L）d］}ε2t（9）

其中，0≤d≤1，τ≥0。當(dāng)τ取0和1時，HYGARCH模型分別退化為GARCH和FIGARCH模型。

眾所周知，上述GARCH簇模型都是基于日收益率的低頻波動率模型，但由于其僅包含少量的日內(nèi)信息，從而用其預(yù)測真實波動率時會存在一定的偏差。更多描述金融市場統(tǒng)計特性且相對完備的GARCH簇模型可參考表1。

2" 基于高頻數(shù)據(jù)的波動率模型

隨著信息技術(shù)的快速發(fā)展，人們獲取日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)愈發(fā)便利，激發(fā)眾多專家、學(xué)者利用高頻數(shù)據(jù)來測度波動率。Andersen和Bollerslev （1998）［28］率先提出依據(jù)日內(nèi)收益平方和計算的已實現(xiàn)波動來預(yù)測真實波動率。假定采樣頻率Δ的選取使日內(nèi)采樣總數(shù)m為整數(shù)，則該金融資產(chǎn)的t日的已實現(xiàn)波動RVt∑mr2t，j。其中rt，j=lnPt，j-lnPt，j-1為第t日第j個長度為Δ的對數(shù)收益率。與基于低頻數(shù)據(jù)的波動率模型相比較，已實現(xiàn)波動率模型不僅具有長記憶特征，還包含了更全面的市場信息，因此在刻畫波動率能力上更優(yōu)。

高頻數(shù)據(jù)的波動率建模及其拓展主要基于以下兩個模型。

2.1" ARFIMA模型

Andersen等（2003）［29］證明了對數(shù)已實現(xiàn)波動率近似服從正態(tài)分布，且具有一定的長記憶性。因此作者構(gòu)建了分整自回歸移動平均（ARFIMA）模型：

（1-φ（L））（1-L）d（lnRVt-μ）=（1+θ（L））εt（10）

其中，d為衡量波動長記憶性特征的分維數(shù)，且0lt;dlt;1。L為滯后算子。φ（L）和θ（L）分別為自回歸和移動平均項。μ為lnRVt的均值。

2.2" HAR-RV模型

Corsi （2004，2009）［30-31］認為分整模型 ARFIMA缺乏明確的經(jīng)濟含義且自身的結(jié)構(gòu)也存在問題。于是利用異質(zhì)市場理論，Crosi構(gòu)建了HAR-RV模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-5，t+βMRV（m）t-22，t+εt，t+h（11）

其中，RVt，t+h=1h（RVt+1+RVt+2+…+RVt+h）表示未來的已實現(xiàn)波動率。當(dāng)h=1時，則RVt，t+1=RVt+1。RV（f）t=（∑nj=1r2j）1/2、RV（w）t和RV（m）t分別表示t期的日、周和月已實現(xiàn)波動率，且RV（w）t-5，t=15（RVdt-5+RVdt-4+…+RVdt-1），RV（m）t-22，t=122（RVdt-22+RVdt-21+…+RVdt-1）。

該模型表明長、中和短期投資者的交易行為共同引起了市場的波動。實證發(fā)現(xiàn)，HAR模型和AR- FIMA模型的預(yù)測能力相近，但前者形式更加簡易，而且還具有很好的擴展性和明確的經(jīng)濟含義，因而逐漸成為RV建?；镜臉?biāo)準模型。張波等（2009）［32］研究表明HAR-RV模型在長記性的刻畫和預(yù)測能力方面明顯優(yōu)于FARIMA模型。

2.2.1" HAR-RV-J模型、HAR-RV-CJ模型

在特定事件的影響下，金融時間序列出現(xiàn)的偏離正常水平的觀測值稱為跳躍成分。Andersen等（2007）［33］將跳躍成分加入波動率模型中，構(gòu)建了包含跳躍的非齊次自回歸已實現(xiàn)波動率（HAR-RV-J）模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-22，t+βJJVt+εt，t+h（12）

其中，JVt是第t天的跳躍波動。同時，利用Huang 等（2005）［34］提出的檢驗跳躍并分離波動中的跳躍成分和連續(xù)成分，Andersen等構(gòu)建了HAR-RV-CJ模型：

RVt，t+h=β0+βCDCV（d）t+βCWCV（w）t-5，t+βCMCV（m）t-22，t+βJDJV（d）t+βJDJW（w）t-5，t+βJMJV（m）t-22，t+εt，t+h（13）

其中，CV（d）t和JV（d）t分別為第t日的連續(xù)波動和跳躍波動。

研究發(fā)現(xiàn)，在分離跳躍和連續(xù)波動成分后，波動率的預(yù)測精確度得到了提高。然而，Corsi發(fā)現(xiàn)Huang等（2005）［34］提出的Ｚ統(tǒng)計量可能檢驗不出一些發(fā)生頻率很高的跳躍?；诖耍珻orsi等（2010）［35］利用已修正的門限多次冪變差的C_TZ統(tǒng)計量，構(gòu)建了HAR-RV-TCJ模型。隨后，Corsi和Renò（2012）［36］利用杠桿效應(yīng)對已實現(xiàn)波動率的影響構(gòu)建了LHAR-RV-CJ 模型。

2.2.2 "HAR-RV-SJV模型

Patton和Sheppard （2015）［37］將已實現(xiàn)半變差分解為已實現(xiàn)正、負半變差，引入符號跳躍變差并將其作為外生變量納入到HAR-RV模型，繼而構(gòu)建了HAR-RV-SJV模型：

RVt，t+h=β0+βDRV（d）t+βWRV（w）t-5，t+βMRV（m）t-22，t+φJSJVt+εt，j+h

SJVt=RS+t+RS-t

RS+tp12∫t0σ2s+∑0≤s≤tΔP2sI（ΔPsgt;0）

RS-tp12∫t0σ2s+∑0≤s≤tΔP2sI（ΔPslt;0）（14）

其中，I（·）為示性函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)，波動率的預(yù)測能力受到符號跳躍變差的影響。更多相關(guān)研究可參考表2。

3" 基于混頻金融數(shù)據(jù)的波動率模型

由于同頻數(shù)據(jù)的波動率模型會造成數(shù)據(jù)處理過程中的信息丟失，因此基于混頻數(shù)據(jù)的波動率模型研究顯得尤為重要。

3.1" MIDAS模型

Ghysels等（2004）構(gòu)建的混頻數(shù)據(jù)抽樣（MIDAS）模型可以充分利用混頻數(shù)據(jù)的一切有效信息，在股市波動和宏觀經(jīng)濟的研究中得到廣泛應(yīng)用。

假設(shè)yt（t=1，…，T）和xτ（τ=1，…，mT）分別表示低頻數(shù)據(jù)和高頻數(shù)據(jù)。令x（m）t=xτ，其中m為混頻數(shù)據(jù)的頻率倍差，即x（m）t表示t-1期到t期進行了m次抽樣。則MIDAS模型：

yt=β0+β1B（L1/m；θ）x（m）t+ε（m）t（15）

其中，滯后算子多項式B（L1/m；θ）=∑Kk=0B（k;θ）Lk/m是參數(shù)向量θ的函數(shù)，L1/m和K分別為高頻數(shù)據(jù)的滯后算子和滯后階數(shù)。特別地，Ghysels 等（2006）、尚玉皇和鄭挺國（2016）和Xu等（2019）分別提出MIDAS-AR模型、BHK-MIDAS模型和ANN-（U-）-MIDAS模型。

MIDAS模型為混頻數(shù)據(jù)的研究提供了基本理論分析框架。將低頻和高頻數(shù)據(jù)結(jié)合起來，既能夠充分利用日內(nèi)數(shù)據(jù)，也能過濾高頻數(shù)據(jù)的噪聲因素。因此，利用混頻數(shù)據(jù)研究波動率的優(yōu)勢更加明顯。

3.1.1" ADL-MIDAS模型

Ghysels等（2007）利用被解釋變量的滯后分布信息對MIDAS模型進行拓展，提出自回歸分布滯后的混頻數(shù)據(jù)抽樣（ADL-MIDAS）模型：

Yt+1=μ+∑qy-1i=0μi+1Yt-i+β∑qX-1j=0∑N-1i=0wi+j*N（θ）XN-i，t-j+μt+1（16）

其中，∑N-1i=0wN-i+i*N（θ）為日度數(shù)據(jù)的權(quán)重，且滿足∑qx-1j=0∑N-1i=0wi+j*N（θ）=1。qY和qX分別為被解釋變量與解釋變量在同一采樣頻率上的最大滯后階數(shù)。特別地，史可（2014）利用ADL-MIDAS模型研究了恒生指數(shù)的波動。

3.1.2" GARCH-MIDAS模型

Engle和Rangel（2013）利用低頻已實現(xiàn)波動率刻畫證券市場波動率的長期成分，繼而提出已實現(xiàn)波動率的GARCH-MIDAS模型：

ri，t-μ=τt*gi，t*εi，t

gi，t=（1-α-β）+α*（ri-1，t-μ）2/τt+β*gi-1，t

τt=m+θ*∑Nk=1ψk（w1，w2）*RVt-k

RVt=∑Ni=1r1i，t（17）

其中，εi，t|ψi-1～N（0，1），ψi-1表示在t月第i-1天時可獲取的過去信息的集合且波動率短期動態(tài)成分gi，t服從GARCH（1，1）過程。實證研究顯示該模型有效克服了通過升、降頻帶來的信息失真的問題。特別地，鄭挺國和尚玉皇（2014）提出了一種擴展的多因子GARCH-MIDAS模型。

3.2" Realized GARCH

Hansen等（2012）利用高頻數(shù)據(jù)估計的已實現(xiàn)波動率構(gòu)建了Realized GARCH模型：

yt=a0+a1yt-1+ut，ut=htεt

var（yt|ΩLF，HFt-1）=h=exp（α0+α1 ln（ht-1）+β1ln（RVt-1））

ln（RVt）=ξ+φln（ht）+υt，υt～N（0，σ2v）（18）

其中，ΩLF，HFt-1表示t-1時基于低頻和高頻信息的集合；RVt=∑y2it表示第t日的已實現(xiàn)波動率，yit為第t日的第i個5分鐘對數(shù)收益率。 Realized GARCH模型的形式較為簡單且預(yù)測精度得到了提高，但是在刻畫波動率相關(guān)性方面存在一定的不足。更多相關(guān)研究可參考表3。

3.3" GARCH-Ito模型

Kim和Wang（2016）基于采樣頻率不同的高頻與低頻數(shù)據(jù)之間一定具有某種內(nèi)在聯(lián)系的事實，將低頻的GARCH結(jié)構(gòu)嵌入到高頻的連續(xù)時間伊藤過程之中，繼而提出GARCH-Ito模型來同時刻畫資產(chǎn)收益的低頻與高頻波動。

假定資產(chǎn)的對數(shù)價格{xt}為dXt=μdt+σtdBt，則該模型為：

σ2t=（t-［t］）w+［（t-［t］）（γ-1）+1］σ2［t］+β∫t［t］σsdBs2（19）

其中，［t］表示t的整數(shù)部分。若t∈N，則GARCH-Ito模型退化為σ2t=w+γσ2t-1+βZ2t，其中Zt=Xt-Xt-1。

3.4" MF-VAR模型

Ghysels（2016）將格蘭杰非因果性檢驗拓展到非線性領(lǐng)域，提出MF-VAR模型：

X（τL+h）=∑pk=1AhkX（τL+1-k）+uh（τL）（20）

其中，Aik=Ak+i-1+∑i-1l=1Ai-lAlk，uh（τL）=Ψ∈（τL-k），h為預(yù)測步長。實證發(fā)現(xiàn)，MF-VAR模型更適用于格蘭杰非因果性檢驗且更易實現(xiàn)。

4" 結(jié)論與展望

本文從低頻、高頻和混頻數(shù)據(jù)的視角對國內(nèi)外波動率模型的研究成果進行綜述，以期推動和促進本領(lǐng)域的研究?；诘皖l數(shù)據(jù)的GARCH簇模型研究已經(jīng)形成了一個較為系統(tǒng)完善的理論框架。但是，基于高頻和混頻數(shù)據(jù)的波動率理論研究以及實證分析還有諸多的問題需要深入研究和探索。

信息技術(shù)和人工智能的快速發(fā)展，為波動率的研究帶來了新的機遇和挑戰(zhàn)。作者認為以下三個方面值得關(guān)注。

第一，本文主要介紹了經(jīng)典的單變量波動率模型，關(guān)于多元波動率模型可以參考文獻。在實際應(yīng)用中，多元波動率模型參數(shù)的有效估計仍是一個難點且具有挑戰(zhàn)性。

第二，高頻數(shù)據(jù)包含信息多，且具有及時性和大規(guī)模性。如何利用高頻數(shù)據(jù)或混頻數(shù)據(jù)構(gòu)建有效的波動率模型是值得關(guān)注的課題。同時，可將相關(guān)研究應(yīng)用到能源、環(huán)境等新的領(lǐng)域。

第三，將機器學(xué)習(xí)中算法應(yīng)用到波動率的測度領(lǐng)域，可以得到更為精確的波動率預(yù)測模型。伴隨人工智能的飛速發(fā)展，如何利用人工智能提升波動率的預(yù)測精度無疑具有重要的實踐意義。

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