Bayes推斷和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解美式回望期權(quán)的隱含波動(dòng)率

摘要： 首先， 用原始對(duì)偶活躍集方法求解期權(quán)定價(jià)正問題， 將相應(yīng)的數(shù)值解作為監(jiān)督學(xué)習(xí)的輸出， 然后用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代期權(quán)定價(jià)正問題模型. 其次， 結(jié)合Bayes推斷與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行Metropolis-Hastings采樣， 求解隱含波動(dòng)率反問題. 該方法減少了采樣過程中正問題計(jì)算量龐大的問題， 從而加速了反問題求解過程.

關(guān)鍵詞： 隱含波動(dòng)率； Bayes推斷； 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)； 替代模型

中圖分類號(hào)： O241.8""文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A""文章編號(hào)： 1671-5489（2024）06-1363-07

Solving "Implied Volatility of American Lookback Options byBayesian Inference and Neural Network

TAO Li1， ZHU Benxi2， QIAN Yiyuan2， XU Jiaqi2

（1. College of International Business， Hainan University， Haikou 570228， China;

2. College of Mathematics， Jilin University， Changchun 130012， China）

Abstract： Firstly， "we used the original dual active set method to solve the forward problem of option pricing， with the corresponding numerical

solutions as the output for supervised learning， and then replaced the "forward problem model of option pricing with a well-trained neural network. Secondly， we combined

Bayesian inference with neural networks for Metropolis-Hastings sampling "to solve the inverse problem of implied volatility. This method reduced the problem of large computational

complexity "of the forward problem during the sampling process， thereby accelerating the solution process for the inverse problem.

Keywords： implied volatility； Bayesian inference； neural network； surrogated model

隱含波動(dòng)率是期權(quán)的一個(gè)重要指標(biāo)， 它反映了市場(chǎng)對(duì)于標(biāo)的價(jià)格的變動(dòng)幅度. 投資者可以利用它來預(yù)測(cè)標(biāo)的價(jià)格的未來走勢(shì)和供求關(guān)系. 求解期權(quán)的隱含波動(dòng)率， 可視為解決期權(quán)

定價(jià)模型的反問題.Achdou等^［1］使用最小二乘公式和下降算法實(shí)現(xiàn)了對(duì)波動(dòng)率的求解; Burkovska等^［2］用縮基法代替經(jīng)典的有限元法， 從而減少了求解的復(fù)雜度; Kutner^［3］利用基于二次近似法的數(shù)值方法， 計(jì)算了美式期權(quán)的隱含波動(dòng)率. 傳統(tǒng)數(shù)值方法雖然能保證求解精度， 但當(dāng)模型為非線性或高維時(shí)， 通常需要耗費(fèi)大量計(jì)算時(shí)間， 計(jì)算效率較低. 近年來， 深度學(xué)習(xí)的快速發(fā)展提供了解決高維問題的新思路. Han等^［4］采用了一種基于深度學(xué)習(xí)的方法， 處理一般的高維拋物型偏微分方程; Liu等^［5］建立了一個(gè)校準(zhǔn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)框架， 計(jì)算了隱含波動(dòng)率. 上述基于深度學(xué)習(xí)求解高維偏微分方程的方法， 在保證精度的情況下， 顯著減少了計(jì)算所需時(shí)間. 本文提出一個(gè)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代正問題的模型， 并結(jié)合Bayes推斷的數(shù)值方法， 快速求解隱含波動(dòng)率.

1"正問題描述和數(shù)值算法

設(shè)V是期權(quán)價(jià)格， S是當(dāng)前股票價(jià)格， J是股票價(jià)格在過去到當(dāng)前時(shí)間的最大值， t是到期日與當(dāng)前時(shí)刻的差值， σ是波動(dòng)率， r是無風(fēng)險(xiǎn)利率， q

是股息收益率. 美式回望看跌期權(quán)價(jià)格V=V（S，J，t;σ）滿足如下自由邊界問題^［6］：

LV∶=Vt+12σ2S

22VS2+（r-q）SVS-rV=0，"B（t）lt;S≤Jlt;+∞，"0≤tlt;T，（1）

其中B（t）為未知自由邊界， 收益函數(shù)為F（S，J，T）=J-S且J=max0≤ζ≤t Sζ， 波動(dòng)率函數(shù)為

σ（t）=∑di=1σiai（t）.

這里， {ai（t）}di=1是L2（［0，T］）有限維逼近空間的一組已知基底（例如{sin（it）}^d-1i=0， {e^it}^d-1i=0）， {σi}di=1為參數(shù). 則相應(yīng)的線性互補(bǔ)模型為

LV·（V-G）=0，JX≤S≤Jlt;+∞，"0≤tlt;T，

LV≤0，"V≥G，JX≤S≤Jlt;+∞，"0≤tlt;T，F(xiàn)（S，J，T）=（J-S），JX≤S≤Jlt;+∞，（2）

其中G=J-S是贖回價(jià)格， X滿足：

X=-r+q+σ2/2-（-r+q+σ2/2）2+2rσ2-r+q-σ2/2-（-r+q+σ2/2）2+2rσ2.

利用變換x=ln JS， τ=T-t和u（x，τ）=V（S，J，t）S， 線性互補(bǔ)模型（2）可改寫為

（κ（x）uτ-（γκ（x）ux）x+qκ（x）u）·（u-g）=0，0≤ xlt;L，"0lt;τ≤T，

κ（x）uτ-（γκ（x）ux）x+qκ（x）u≥0，"u-g≥0，0≤xlt;L，"0lt;τ≤T，u（x，0）=g（x），0≤x≤L，

ux（0，τ）=0，"u（L，τ）=g（L），0lt;τ≤T，（3）

其中γ=σ22， κ（x）=e^{（q-r-γ）x/γ}， g（x）=ex-1， L=ln 1X.

設(shè)H1L（Ω）∶={v∈H1（Ω）; v≥g（x）， v（L）=g（L）}，H1E0（Ω）∶={v∈H1（Ω）; v≥g（x）， v（L）=0}，""Ω=［0，L］.

引理1"設(shè)u∈L2（0，T;H2（Ω））， uτ∈L2（0，T;L2（Ω））， 且u（0，τ）gt;g（0）， 0lt;τ≤T. 則u是模型（3）的解當(dāng)且僅當(dāng)

u是下列變分不等式問題的解：

（κ（x）uτ，v-u）+（γκ（x）ux，vx-ux）+（qκ（x）u，v-u）≥0，"v∈H1E0（Ω），"0lt;τ≤T，

且u（x，0）=g（x）.

令時(shí)間和空間的剖分分別為

Tt： 0=τ0lt;t1lt;…lt;tM=T，"Δt=TM，"tj=jΔt，"j=0，1，…，M，

Th： 0=x0lt;x1lt;…lt;xN=L，"h=LN，"xi=ih，"i=0，1，…，N，

其中M和N為正整數(shù). 設(shè)Vh（Ω）H1（Ω）為分片線性函數(shù)空間， 取有限元試探函數(shù)空間和檢驗(yàn)函數(shù)空間分別為

VhL（Ω）∶={vh∈Vh（Ω）; v（xn）≥g（xn）， n=0，1，…，N-1， vh（L）=g（L）}=span{φi（x）}Ni=1，

VhE0（Ω）∶={vh∈Vh（Ω）; v（xn）≥g（xn）， n=0，1，…，N-1， vh（L）=0}.

則半離散格式為： 求uh（τ）∈VhL（Ω）， 使得uh（x，0）=gI（x）， 且

（κ（x）uhτ，vh-uh）+（γκ（x）uhx，vhx-uhx）+（qκ（x）uh，vh-uh）≥0，"vh∈VhE0（Ω），"0lt;τ≤T，

其中g(shù)I（x）為g（x）在VhL（Ω）中的插值.

進(jìn)一步， 在時(shí)間方向采取向后Euler格式， 則全離散格式為

（κ（x）（（1+qΔτ）umh-u^m-1h），vh-umh）+Δτ（γκ（x）umhx，vhx-umhx）≥0，"vh∈VhE0（Ω），"m=1，2，…，M，

其相應(yīng)的矩陣形式為

（DUm，V-Um）≥（Wm，V-Um），

V≥F1，"m=1，2，…，M，（4）

其中D=γΔτA+（1+qΔτ）B， Wm=BU^m-1-F2，

V=（v0，v1，2，…，vN-1）T， Um=（um0，um1，…，umN-1）T， A=（Ai，j）N×N，

B=（Bi，j）N×N， i，j=0，1，…，N-1， F1=（g（x0），…g（xN-1））T， F2=（0，…，0，g（L）Δτ（qBN-1，N+γAN-1，N））T，

Ai，j=（κ（x）φ′j，φ′i）， Bi，j=（κ（x）φj，φi）， i，j=0，1，…，N-1.

算法1^［7-8］"原始對(duì)偶活躍集方法.

輸入： U0，F(xiàn)1，Wm;

輸出： Um，Xml，Xmr.

for m=1∶M， do

k=0， ρgt;0， εgt;0， U^（0）=max{U^m-1，F(xiàn)1}， U^（1）=0， λ^（0）≥0.

while ‖U^（k+1）-U^（k）‖∞lt;ε， do

① 令活躍集為IS^（k+1）， 非活躍集為AS^（k+1）：

IS^（k+1）={i∈N， λ^（k）i+ρ（Gmi-U^（k）i）≤0}，

AS^（k+1）={i∈N， λ^（k）i+ρ（Gmi-U^（k）i）gt;0}，

N={0，1，…，N-1}.

② 求解下列方程， 得到U^（k+1）和λ^（k+1）：

DU^（k+1）-λ^（k+1）=Wm，

U^（k+1）=Gmi， i∈AS^（k+1），

λ^（k+1）i=0， i∈IS^（k+1）.

end while

Um=U^（k+1），

lm=min（IS^（k+1））， rm=max（IS^（k+1）），

xml=xlm， xmr=xrm.

end for

本文采用算法1對(duì)式（4）進(jìn)行數(shù)值求解. 為方便， 上述正問題整體求解過程， 可以抽象為如下算子：

V=T（σ），（5）

其中σ=（σ1，…，σd）T為波動(dòng)率參數(shù)向量， V=（U0，…，UM）為期權(quán)離散矩陣， T為數(shù)值求解算子.

2"反問題描述和Bayes算法

在式（5）中， 如果已知期權(quán)離散矩陣V和G， 求波動(dòng)率參數(shù)向量σ， 則稱為反問題. 該類問題是有確定性的， 通常也是病態(tài)的，

一般用Tikhonov正則化方法^［9］求解該類問題. 但從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度， 更關(guān)注的是真解的分布， 而不再是一個(gè)點(diǎn). 式（5）的統(tǒng)計(jì)模型版本可寫為

V=T（σ）+δ，（6）

其中δ={δij}^{j=1，2，…，M+1}i=1，2，…，N， δij～δ·N（0，1）， N（0，1）是均值為0、 方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

2.1"Bayes公式

Bayes公式為

πV（σ）∶=π（σV）=

π（Vσ）π0（σ）∫Zπ（Vσ）π0（σ）dσ，（7）

其中πV（σ）和π0（σ）分別是波動(dòng)率后驗(yàn)和先驗(yàn)的概率密度函數(shù). 于是有

πV（σ）=πη（V-T

（σ））π0（σ）∫Zπη（V-T（σ）π0（σ）

dσ∝πδ（V-T（σ））π0（σ），（8）

其中∝表示兩者成比例的關(guān)系， πδ（·）為最大似然估計(jì)， 并通常考慮先驗(yàn)為正態(tài)分布.

在線性正演模型和高斯先驗(yàn)的假設(shè)下， 最大似然估計(jì)等價(jià)于Tikhonov正則化^［10］. 從確定性的角度可見， 通過優(yōu)化框架只能得到反問題相關(guān)的一個(gè)點(diǎn)估計(jì).

而從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度， 可根據(jù)Bayes公式獲得更多的統(tǒng)計(jì)信息. 而且這個(gè)后驗(yàn)分布， 使得反演層參數(shù)的刻畫更全面并包含不確定性^［11］

. 本文采用Metropolis-Hastings（MH）算法， 從后驗(yàn)分布πV（σ）中進(jìn)行采樣.

2.2"Metropolis-Hastings算法

Markov Chain Monte Carlo （MCMC）算法是一類用于從復(fù)雜分布中抽樣的統(tǒng)計(jì)方法， 其中MH算法是常用的MCMC方法之一^［12］.

算法2^＼V（σ）， 一個(gè)選定分布q， 最大樣本數(shù) M1和一個(gè)初始點(diǎn)σ0;

輸出： 后驗(yàn)樣本集合{σm}^M1m=1.

for m=1∶M1

提議一個(gè)候選點(diǎn)： σc～q（·σm-1）;

計(jì)算接受概率： α（σc，σm-1）=min1，πV

（σc）q（σm-1σc）πV（σm-1）q

（σcσm-1）;

生成一個(gè)樣本u～U（0，1）;

if ult;α（σc，σm-1）

σm=σc;

else

σm=σm-1;

end if

end for

雖然MH采樣算法可以計(jì)算真解的后驗(yàn)分布， 但無論是Tikhonov正則化方法， 還是MH采樣算法， 都需要求解大量的正問題（5）. 雖然每個(gè)正問題求解只需幾秒鐘， 但計(jì)算大量正問

題， 會(huì)增加整個(gè)算法的計(jì)算時(shí)間. 本文用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法構(gòu)造替代模型， 以減少整體算法的計(jì)算量.

2.3"神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)替代模型

全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（FNN）是一種特殊結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)， 它由一系列全連接層組成， 對(duì)非線性函數(shù)可以有效地逼近. 全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由（L+1）層網(wǎng)絡(luò)組成， 其中前一層的節(jié)點(diǎn)x^l-1與

下一層的所有節(jié)點(diǎn)xl都有連接. 在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上， 有兩個(gè)函數(shù)依次復(fù)合構(gòu)成. 第一個(gè)是一次函數(shù)

L^l（x^l-1）=Wlx^l-1+bl：^nl-1→^nl， 第二個(gè)是激活函數(shù)σl：^nl→^nl（例如Sigmoid，tanh，ReLU）， 其中Wl表示權(quán)重， bl表示偏置. 圖1為FNN的示意圖. 為簡(jiǎn)便，

令Θ={Wl，bl}Ll=1表示FNN的所有網(wǎng)絡(luò)參數(shù)， 則可以定義一個(gè)由Θ參數(shù)化的映射FNN：m→n：

y=FNN（z;Θ）=L^Lσ^L-1L^L-1…σ1L¹（z）.（9）

用式（9）求解正問題（5）， 即z=σ， y=V， FNN≈T， m=d， n=N×（M+1）. 設(shè)訓(xùn)練集為{（σi，Vi）}ⁿ¹i=1， 測(cè)試集為{（σi，Vi）}ⁿ²

i=1， n*=n1+n2表示樣本集的總數(shù). 對(duì)于監(jiān)督學(xué)習(xí)， 考慮平方損失函數(shù)， 即

Loss（Θ）=12n1∑n1i=1‖Vi-FNN（σi;Θ）‖2.（10）

本文主要目標(biāo)是通過適當(dāng)?shù)膬?yōu)化算法， 找到最優(yōu)參數(shù)Θ*， 即Θ*=argminΘ Loss（Θ）.（11）

解決問題（10）的常見優(yōu)化算法目前已有很多， 如梯度下降法、 牛頓法和隨機(jī)梯度下降法等. 對(duì)本文所考慮的問題， 通常n1很大， 導(dǎo)致計(jì)算梯度的代價(jià)很高. 為減少相應(yīng)的計(jì)算量， 這里使用最小批量梯度下降方法. 該方法將訓(xùn)練集劃分為小批次， 用于計(jì)算損失函數(shù)誤差和梯度， 并更新Θ， 綜合了隨機(jī)梯度下降法和梯度下降法的優(yōu)勢(shì).

關(guān)于替代模型， 本文有如下收斂性結(jié)果. 假設(shè)：

（H1） 散度函數(shù)f滿足

f（t）≤C1log t，0lt;tlt;1，C2tlog t，t≥1，

其中C1和C2是依賴于f的兩個(gè)常數(shù).

引理2^［11］"對(duì)εgt;0， 存在C=C（ε）gt;0， 使得對(duì)任意σ∈d， 有

‖T（σ）-FNN（σ;Θ）‖≤Cexp{ε‖σ‖2}ΦT（Θ），

其中ΦT（·）表示與T相關(guān)的任何函數(shù)， 只需滿足lim#{Θ}→∞ ΦT（Θ）=0， #{Θ}表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的個(gè)數(shù).

設(shè)μ0為先驗(yàn)測(cè)度， μ為離散算子T（·）對(duì)應(yīng)的真實(shí)模型后驗(yàn)測(cè)度， μF為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)FNN（·;Θ）替代的后驗(yàn)測(cè)度， 下列定理給出了在f散度下兩者誤差的上界.

定理1"假設(shè)（H1）成立， 設(shè)測(cè)度μ，μFμ0， T（·）和FNN（·;Θ）都是

Lipschitz函數(shù). 則測(cè)度μ和μF的誤差在f散度下是收斂的， 即存在常數(shù)Cgt;0， 使得

Df（μ‖μF）∶=∫dfdμ1/dμ0dμ2/dμ0

dμ2dμ0dμ0（σ）≤CΦG（Θ）.（12）

定理1的證明類似文獻(xiàn)［11］， 首先利用正演模型和替代模型是Lipschitz函數(shù)的性質(zhì)， 以及相應(yīng)逼近的假設(shè)， 并基于Fernique定理， 得到歸一化常數(shù)的估計(jì). 然后， 根據(jù)散度函數(shù)f具有分段上界的假設(shè)， 以及正演模型和替代模型的假設(shè)， 將f散度進(jìn)行分段估計(jì)， 從而可得結(jié)論. 定理1表明， 當(dāng)本文替代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與正演模型足夠逼近時(shí)， 在f散度意義下相應(yīng)的替代后驗(yàn)測(cè)度收斂到真實(shí)模型的后驗(yàn)測(cè)度， 故替代模型有一定的理論保障.

3"數(shù)值實(shí)例

下面進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)（d=1，3）驗(yàn)證本文提出算法的有效性. 對(duì)于正問題（5）， 選擇T=1， r=0.03， q=0.01， 并將轉(zhuǎn)換后的截?cái)嚅L(zhǎng)度設(shè)為L(zhǎng)=1.6， 以確保截?cái)鄥^(qū)域足夠大. 對(duì)于離散化問題， 時(shí)間和空間分割分別為M=150和N=100.用MH和MH+FNN算法針對(duì)式（6）進(jìn)行采樣， 并設(shè)先驗(yàn)分布π0（σ）～Nd（-1.8×1d，0.1×Id）， 取密度q（·;σ）～Nd（σ，10^-6×Id）. 此外， 采樣噪聲振幅為δ=0.012. 在產(chǎn)生σ的若干樣本后， 可利用算法1對(duì)現(xiàn)性互補(bǔ)問題（4）進(jìn)行求解， 得到正問題的若干組解（即期權(quán)離散矩陣V）， 并作為監(jiān)督學(xué)習(xí)目標(biāo)泛函中的真解. 然后， 以σ的若干樣本為輸入?yún)?shù)， 正問題的若干組解為輸出， 經(jīng)過優(yōu)化訓(xùn)練，得到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)FNN的參數(shù)， 并用該網(wǎng)絡(luò)代替正問題的求解.

取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)為{d，50，50，50，50，151×100}， d=1，3. 使用Adam優(yōu)化器對(duì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練， 每次迭代使用128個(gè)樣本的小批量， 并進(jìn)行5 000次循環(huán)的訓(xùn)練， 而權(quán)重初始化通過Glorot均勻初始化.這里， 每次使用原始對(duì)偶活躍集方法， 對(duì)式（6）進(jìn)行一次求解， 可得一個(gè)期權(quán)離散矩陣V， 即為一個(gè)樣本. 取總樣本數(shù)n*=20 000， 其中訓(xùn)練集的樣本數(shù)n1=16 000， 測(cè)試集的樣本數(shù)n2=4 000. 所有的數(shù)值實(shí)驗(yàn)都在一臺(tái)Intel Core i7的計(jì)算機(jī)工具包MATLAB R2020b上實(shí)現(xiàn).

例1"考慮如下一維的波動(dòng)率：

σ（t）=σa（t），""a（t）=0.3et.（13）

表1列出了當(dāng)σ=0.15，0.3，0.45時(shí)， Bayes方法（MH）和Bayes+替代模型（MH+FNN）的數(shù)值結(jié)果， 其中時(shí)間包括線下時(shí)間和線上時(shí)間. 這里， FNN的實(shí)驗(yàn)輸出的是期權(quán)價(jià)

格V， 但MH和MH+FNN實(shí)驗(yàn)輸出的是波動(dòng)率σ. 由表1可見， 兩種方法的精度近似， 但后者花費(fèi)的時(shí)間只有前者的1/3左右， 故神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為替代模型， 加速效果顯著.

表2列出了MH+FNN算法固定每層神經(jīng)元為50時(shí)， 不同隱藏層的數(shù)值結(jié)果. 表3列出了MH+FNN算法固定隱藏層為3時(shí)， 不同神經(jīng)元個(gè)數(shù)的數(shù)值結(jié)果. 表2和表3的

數(shù)值結(jié)果表明， 隨著隱藏層和神經(jīng)元個(gè)數(shù)的增加， 精度會(huì)有些提高， 但會(huì)增加一定的時(shí)間. 對(duì)于增加樣本， 有類似的結(jié)果， 這里不再列出.

例2"考慮含3個(gè)參數(shù)的波動(dòng)率， 即σ（t）=∑3i=1σiai（t），其中a1（t）=1， a2（t）=t， a3（t）=3^-t， 波動(dòng)率的真解為σ1=0.1， σ2=0.15， σ3=0.2. 表4列出了（σ1，σ2，σ3）=（0.1，0.15，0.2）時(shí)， Bayes方法（MH）和Bayes+替代模型（MH+FNN）的數(shù)值結(jié)果. 與一維的結(jié)果類似， MH+FNN的計(jì)算結(jié)果和MH類似， 但時(shí)間上要快2/3左右.

圖2給出了MH和MH+FNN算法采樣的相關(guān)圖. 由圖2可見： （A），（C），（F）是自相關(guān)圖， 其兩條線基本重合， 說明自相關(guān)度非常高; （B），（D），（E）是協(xié)相關(guān)圖， 其各自的兩個(gè)環(huán)

線也基本重合， 說明協(xié)相關(guān)度很高. 實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明， 兩種采樣效果一致.

參考文獻(xiàn)

［1］"ACHDOU Y， INDRAGOBY G， PIRONNEAU O.

Volatility Calibration with American Options ［J］. Methods Appl Anal， 2004， 11（4）： 533-556.

［2］"BURKOVSKA O， GLAU K， MAHLSTEDT M， et al. Complexity Reduction for Calibration

to American Options ［J］. J Comput Finance， 2019， 23（1）： 25-60.

［3］"KUTNER G W. Determining the Implied Volatility for A

merican Options Using the QAM ［J］. "Financ Rev， 1998， 33（1）： 119-130.

［4］"HAN J Q， JENTZEN A， E W N. Solving High-Dimensional Partial Differential Equations Using Deep L

earning ［J］. Proc Natl Acad Sci USA， 2018， 115（34）： 8505-8510.

［5］"LIU S Q， LEITAO ， BOROVYKH A， et al. On a Calibration Neural Network to Extract Implied Information fr

om American Options ［J］. Appl Math Finance， 2020， 28（5）： 449-475.

［6］"BLACK F， SCHOLES M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities ［J］. J Polit Econ， 1973， 81（3）： 637-654.

［7］"GAO Y， SONG H M， WANG X S， et al. Primal-Dual Activ

e Set Method for Pricing American Better-of Option on Two Assets ［J］. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat， 2020， 80： 104976-1-104976-15.

［8］"SONG H M， WANG X S， ZHANG K， et al. Primal-Dual Active Set Method for American Lookback Put Option Pricing ［J］. "East Asian J Appl Math， 2017， 7（3）： 603-614.

［9］"BOUCHOUEV I， ISAKOV V. The Inverse Problem of Option Pricing ［J］. Inverse Probl， 1997， 13（5）： L11-L17.

［10］"LEHTINEN M S， PIVRINTA L， SOMERSALO E. Linear Inverse Problems for Generalised Random Variables ［J］.

Inverse Probl， 1989， 5（4）： 599-612.

［11］"GAO Y， LIU H Y， WANG X C， et al. A Bayesian Scheme

for Reconstructing Obstacles in Acoustic Waveguides ［J］. J Sci Comput， 2023， 97（3）： 53-1-53-45.

［12］"HASTINGS W K. Monte Carlo Sampling Methods Using Markov Chains and Their Applications ［J］. Biometrika， 1970， 57（1）： 97-109.

（責(zé)任編輯： 李"琦）