單邊退化拋物方程反問題的收斂性分析

摘要： 考慮利用已知終端觀測數(shù)據(jù)進行單邊退化拋物型方程輻射系數(shù)反演的收斂性分析問題. 首先， 對單邊退化拋物型方程， 需滿足Fichera條件以確保問題的可解性； 其次， 將原反問題轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)控制問題， 通過最優(yōu)控制方法找到輻射系數(shù)的最優(yōu)解； 最后， 結(jié)合Gateaux導(dǎo)數(shù)并引入新的源條件， 證明最優(yōu)解的收斂性.

關(guān)鍵詞： 反問題； 單邊退化拋物方程； Fichera條件； Gateaux導(dǎo)數(shù)； 收斂性

中圖分類號： O175.9""文獻標(biāo)志碼： A""文章編號： 1671-5489（2024）06-1308-09

Convergence Analysis of Inverse Problems forOne-Sided Degenerate Parabolic Equations

CHEN Jiaqi， YANG Liu

（School of Mathematics and Physics， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China）

Abstract： We considered the convergence analysis problem of the inversion of the radiation coefficient of a one-sided degenerate parabolic equation by using known terminal observation data.

Firstly， it was necessary to satisfy the Fichera condition for the one-sided degenerate parabolic equation to ensure the solvability of the problem. Secondly， we tra

nsformed the original inverse problem into an optimal control problem and found the optimal solution for the radiation coefficient through optimal control methods.

Finally， by combining the Gateaux derivative and introducing new source conditions， we proved the convergence of the optimal solution.

Keywords： inverse problem; one-sided degenerate parabolic equation; Fichera condition; Gateaux derivative; convergence

0"引"言

偏微分方程在物理學(xué)、 力學(xué)、 經(jīng)濟學(xué)、 醫(yī)學(xué)、 工業(yè)和高新技術(shù)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛. 偏微分方程的正問題是在某些已知條件（如初始條件、 邊界條件）下確定方程的解， 而偏微分方程的反問題是將正問題中某些原有的條件變成未知條件， 需要通過方程、 定解條件和某些附加條件確定這些未知量^［1］. 偏微分方程的正問題與反問題是互逆的， 但反問題在Hadamard意義^［2］下大部分是不適定的.

目前對經(jīng)典拋物方程的研究已形成了成熟的理論體系， 但對退化拋物型方程的反問題研究報道較少. 隨著金融數(shù)學(xué)的發(fā)展， 對退化偏微分方程研究的需求也逐漸增加. 經(jīng)典的Black-Scholes方程為

Vt+12σ2S22VS2+（r-q）SVs-rV=0，""（S，t）∈+×［0，T］.（1）針對期權(quán)定價問題^［3-6］， 當(dāng)S=0時， Black-Scholes方程退化為一階方程. 文獻［7］利用Tikhonov正則化方法討論了Black-Scholes方程重構(gòu)隱含波動率的反問題， 并證明了正則化解的收斂性. 文獻［8］

研究了二階退化拋物型方程：

ut-（a（x）ux）x+b（x）u=f（x），（x，t）∈Q=（0，1）×（0，2T］，u（x，0）=φ（x），x∈（0，1）（2）輻射系數(shù)反演的問題， 且主項系數(shù)在區(qū)域的左右邊界都退化， 在最優(yōu)控制理論框架下將原問題轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題， 通過引入適當(dāng)?shù)恼齽t化項， 討論了其最優(yōu)解的收斂性. 文獻［9］研究了一類退化拋物方程：

ut-（a（x）ux）x+q（x）u=0，（x，t）∈Q=（0，l）×（0，T］，

ut=0=φ（x），x∈（0，l）（3）

輻射系數(shù)的反演問題， 且a（x）gt;0， a（0）=a（l）=0， x∈（0，l）， 通過將原問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題， 討論了其最優(yōu)解的收斂性. 問題（3）屬于雙邊退化情形， 根據(jù)Fichera條件計算得到方程（3）在左右邊界

不需要給邊界條件， 而目前對雙邊退化拋物方程的實際應(yīng)用也較廣泛， 如描述地震波傳播、 電磁波傳播、 聲波傳播等. 文獻［10］研究了非散度型二階拋物型方程的混合問題：

ut-a（x）uxx+b（x）ux+c（x）u=f（x，t），（x，t）∈Q=（0，1）×（0，T］，u（x，0）=φ（x），x∈（0，l），u（0，t）=0，（4）

當(dāng)a（x）gt;0， a（0）=a（l）=0， x∈（0，l）時， 通過引入賦權(quán)的Sobolev空間和一些新的源條件， 并對主項系數(shù)的允許函數(shù)類附加了較強的正則性條件， 證明了其最優(yōu)解的收斂性.文獻［11］研究了一類具有變指數(shù)的退化拋物方程：

ut=div（ραa（u）^p（x）-2a（u））+g（x）div（b（u）），（x，t）∈QT，ut=0=u0（x），x∈Ω，（5）

在局部邊界u（x，t）=0， x，t∈Σp×（0，T）下， 得到了方程（5）在無邊界條件下弱解的唯一性， 其中ΣpΩ或Σp≠. 文獻［12］討論了一類含對流項的弱退化線性拋物問題：

ut-（xαux）x-（b（x，t）u）x+c（x，t）u=h（x，t）χω，（x，t）∈（0，1），u（0，t）=u（1，t）=0，t∈（0，T），u（x，0）=u0（x），x∈（0，1）（6）

的零可控性， 通過建立相應(yīng)問題的Carleman估計， 證明了正則化問題的能觀不等式以及含散度形式對流項的線性退化拋物系統(tǒng)的可控性， 并討論了具超線性源退化較弱的

拋物方程與更一般的具超線性源的退化拋物方程的零可控性. 文獻［13］利用有限元法求解如下二階非線性拋物方程：

ut-uxx+u3-u=0，（x，t）∈（0，1）×（0，T），

u（0，t）=u（1，t）=0，t∈（0，T），u（x，0）=u0（x），x∈（0，1），

證明了其差分格式解的穩(wěn)定性和收斂性， 并用數(shù)值算例驗證了理論分析結(jié)果和算法的有效性. 文獻［14］研究如下一類對流擴散方程：

ut-Δu+·（v（x）u）=f（x）R（x，t），（x，t）∈Ω×（0，T］，

u（x，t）=0，（x，t）∈Ω×（0，T］，u（x，0）=u0（x），x∈Ω，

基于有限元法， 同時重構(gòu)了對流速度和源函數(shù)， 并驗證了其解有嚴(yán)格的收斂性， 其中Ω2.

關(guān)于退化拋物方程的反問題， 目前研究較多的是雙邊退化的情形， 且標(biāo)的方程是散度型的， 而關(guān)于單邊退化的情形相關(guān)研究報道較少. 形式上看雙邊退化的情形較復(fù)雜， 但在實際應(yīng)用中， 利用分部積分和定義適當(dāng)?shù)臋?quán)函數(shù)空間， 可以較輕松地處理. 而單邊退化則不然， 特別是對非散度型的方程， 一則分部積分較復(fù)雜（多出一些邊界積分項）， 二則邊界上的信息依賴于Fichera函數(shù)的符號， 從而影響整個方程的先驗估計， 這是單邊退化拋物方程的一個最大特點.

本文主要討論一類單邊退化拋物型方程反問題的收斂性， 即利用Fichera條件判斷方程在邊界處是否需要配置邊界條件， 主項系數(shù)在區(qū)域的左邊界退化， 在邊界x=0

處不給出邊界條件， 可能會使原來收斂的結(jié)果變?yōu)榘l(fā)散. 所以本文將在適當(dāng)?shù)母郊訔l件及Fichera條件下， 結(jié)合Gateaux導(dǎo)數(shù)并引入新的源條件，

研究與原問題對應(yīng)的最優(yōu)控制問題解的收斂性. 本文考慮的問題（定義為P問題）表述為

ut-r（x）uxx+s（x）ux+p（x）u=f（x，t），（x，t）∈Q=（0，l）×（0，T］，ux=l=0，

ut=0=h（x），x∈（0，l），（7）

其中f（x，t），r（x），s（x），h（x）分別是Q和（0，l）上已知的光滑函數(shù)， r（x）滿足

r（x）gt;0，"r（0）=0，"r（l）gt;0，"x∈（0，l），

且s（x）gt;0， s（x）在x=0處滿足Fichera條件

s（x）+dr（x）dxx=0≤0.

方程（7）中的輻射系數(shù)p（x）未知.

假設(shè)給出終端觀測值作為附加條件， 即

ut=T=ζ（x），""x∈（0，l］，（8）

其中Tgt;0， ζ（x）是可通過測量或?qū)嶒灥玫降囊阎瘮?shù). 下面討論利用方程（7）和條件（8）求出輻射系數(shù)p（x）.

退化偏微分方程與經(jīng)典偏微分方程的主要區(qū)別是退化偏微分方程可能缺少邊界條件. 根據(jù)Fichera理論^［15-16］， 對退化方程在邊界上是否需要給出邊界條件， 取決于相應(yīng)Fichera函數(shù)的符號.

對于一般的二階線性偏微分方程：

∑mi，j=1aij（x）2uxixj+∑mi=1bi（x）u

xi+c（x）u=f（x），

其中x=（x1，x2，…，xm）∈Ωm， 并且設(shè)aij=aji， i，j=1，2，…，m.

設(shè)Ω的邊界Ω上的單位內(nèi)法向量為n=（n1，n2，…，nm）， 定義Fichera函數(shù)為

B（x）=∑mi=1bi（x）-∑mj=1aij（x）xjni.

在方程（7）中， 將uxx的系數(shù)化為正數(shù)， 有

-ut+r（x）uxx-s（x）ux-p（x）u=-f（x，t），""（x，t）∈（0，l）×（0，T］.

記x1=x， x2=t， 有

a11=r（x），"a12=a21=a22=0，"b1=-s（x），"b2=-1.

在邊界x=0上， 單位內(nèi)法向量是（1，0）， 有∑2i，j=1aijninj=a11x=0=r（x）x=0=0. Fichera函數(shù)為

B（x，t）=b1-a（x）xx=0=-s（x）-r′（x）x=0≥0.

由Fichera定理， 在左邊界x=0處不必給出邊界條件. 因此， 問題P是合理的.

1"問題描述

由于反問題P的不適定性， 本文考慮下列最優(yōu)控制問題P1： 尋找p（x）∈A， 使得

J（p）=minp∈A J（p），J（p）=12∫l0u（x，T;p）

-ζ（x）2dx+N2∫l0p2dx，（9）

A={p（x）0lt;α≤p≤β， ‖p‖H1（0，l）lt;∞}，（10）

其中u（x，t;p）是方程（7）對應(yīng)于給定輻射系數(shù)p（x）∈A的解， N是正則化參數(shù)， α，β是給定正常數(shù).

本文對x只考慮一維情況， 高維情況同樣適用. 為區(qū)分函數(shù)的下標(biāo)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)， 利用高維梯度算子表示對應(yīng)函數(shù)對x的一階導(dǎo)數(shù).

對附加條件（8）， 假設(shè)終端觀測值ζ（x）滿足ζ（x）∈L∞［0，l］. 如無特殊說明， 本文C表示與T無關(guān)的不同常數(shù).

定義1"定義函數(shù)空間H1r（0，l）是集合C∞（0，l）在范數(shù)

‖u‖2H1r（0，l）=∫l0r（x）（u2+u2）dx，""u∈H1r（0，l）

下的閉包.

定義2"如果u（x，t）∈C（［0，T］;L2（0，l））∩L2（（0，T）;H1r（0，l））， 對任意給定的函數(shù)ψ∈L2（0，l）∩H1r（0，l）， 滿足

u（x，0）=h（x），""x∈（0，l），

且有如下積分等式成立：

∫l0utψdx+∫l0（s+r′）·u·ψdx+∫l0r·u·ψdx+∫l0puψdx=∫l0fψdx，（11）

則稱u（x，t）是方程（7）的弱解.

定理1"泛函J（p）存在極小元p∈A， 即J（p）=minp∈A J（p）.

參考文獻［9］可證明定理1.

2"局部收斂性分析

下面考慮最優(yōu)解的收斂性， 對T取相對較小的值進行局部收斂性分析.

假設(shè)真解ζ（x）是可達的， 則存在p（x）∈H1（0，l）， 使得u（x，T;p）=ζ（x）. 一般情況下， 觀測數(shù)據(jù)會存在誤差， 記誤差水平為δ， 則‖ζ-ζδ‖L2（0，l）≤δ.

用［T-λ，T］上的一個積分泛函代替原來的泛函， 引入如下輔助控制問題：

Jλ（p）=12λ∫TT-λ∫l0u（x，t;p）-ζ（x）2dxdt+N2∫l0p2dx.（12）

當(dāng)λ→0+時， 有

Jλ（p）=12λ∫TT-λ∫l0u（x，t;p）-ζ（x）2dxdt→12∫l0u（x，T;p）-ζ（x）2dx.

從而有Jλ（p）→J（p）.

假設(shè)存在真解p（x）， 使得

12λ∫TT-λ∫l0u（x，t;p）-ζδ（x）2dxdt≤12δ2.

定義正向算子：

u（p）： A→H1（（0，T）;L2（0，l））∩L2（（0，T）;H1r（0，l）），u（p）（x，t）=u（x，t;p（x）），

其中u（x，t;p（x））是式（11）對應(yīng)p∈A的解. 對任意p∈A和q∈H1（0，l）， 計算得到Gaeaux導(dǎo)數(shù)u′（p）q滿足齊次初始條件， 并對任意φ∈L2（0，l）∩H1r（0，l）， 下列不等式成立：

∫l0（u′（p）q）tφdx+ "∫l0r（u′（p）q）·φdx+∫l0s（u′（p）q）·φdx+ "∫l0r′（u′（p

）q）·φdx+∫l0p（u′（p）q）φdx=-∫l0u（p）qφdx.（13）

引理1"對任意p∈A和q∈H1（0，l）， 使得p+q∈A， 有

∫l0（R（p））tφdx+ "∫l0rR（p）·φdx+∫l0sφ（R（p））dx+∫l0r′φR（p）dx+∫l0p（R（p）

）φdx= "∫l0q（u（p）-u（p+q））φdx，（14）

其中余項

R（p）=u（p+q）-u（p）-u′（p）q，""φ∈L2（0，l）∩H1r（0，l）.

證明： u（p+q）滿足

∫l0（u（p+q））tφdx+ "∫l0ru（p+q）·φdx+∫l0sφu（p+q）dx+

∫l0r′φu（p+q）dx+∫l0（p+q）u（p+q）φdx=∫l0fφdx.（15）

式（15）減去式（11）， 有

∫l0（u（p+q）-u（p））tφdx+ "∫l0r（u（p+q）-u（p））·φdx+ "∫l0sφ（

u（p+q）-u（p））dx+∫l0r′φ（u（p+q）-u（p））dx+ "∫l0p（u（p+q）-u（p））φdx=-∫l0qu（p+q）φdx.（16）

式（16）減去式（13）， 整理得式（14）. 證畢.

為證明最優(yōu)解的收斂性， 對正問題附加源條件， 引入如下線性算子：

F（p）： L2（（0，T）;L2（0，l））→L2（0，l），F(xiàn)（p）Φ=-1λ∫TT-λu（p）Φdx，""Φ∈L2（（0，T）;L2（0，l）），（17）

其中u（p）是方程（11）的解. 利用式（13）， 對任意q∈H1（0，l）和φ∈L2（0，l）∩H1r（0，l）， 下面等式成立：

〈F（p）φ，q〉=-1λ∫TT-λ∫l0qu（p）φdxdt=1λ∫TT-λ∫l0［（u′（p）q）t

φ+r·（u′（p）q）·φ］dxdt+1λ∫TT-λ∫l0［s·（u′（p）q）·φ+r′·（u′（p）q）·φ+p（u′（p）q）φ］dxdt，（18）

這里〈·，·〉L2（0，l）表示L2（0，l）空間中的內(nèi)積， 是線性算子， 定義其共軛算子如下：

〈z，φ〉L2（0，l）=〈z，φ〉L2（0，l），"z∈H1（0，l），"φ∈H1（0，l）.

如果φ∈H10（0，l）， 則等同于.

定理2"假設(shè)存在一個函數(shù)

φ∈H10（（T-λ，T）;L2（0，l））∩L2（（T-λ，T）;H1r（0，l）），（19）

使得在弱解的意義下成立如下源條件：

F（p）φ=p，""φx=0=u（p）-u（pδN）x=0，（20）

這里F（p）由式（17）定義， 可表述為： 對任意q∈H1（0，l）， 有

〈F（p）φ，q〉=〈p，q〉=〈p，q〉.

此外， 假設(shè)存在一點x0∈［0，l］， 使得pδN（x0）=p（x0）， 則當(dāng)T1， N～δ時， 有下列估計：

∫l0pδN-p2dx≤Cδ，（21）

1λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-u（p）2dxdt≤Cδ2，（22）

這里pδN是式（9）中ζ替代ζδ的極小元， u（pδN）是變分問題（11）當(dāng)p=pδN時的解， C是一個正常數(shù)， 不依賴于δ，N和T.

證明： 由于pδN是式（9）的極小元， 故有Jλ（pδN）≤Jλ（p）. 即

12λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+N2∫l0

pδN2dx≤12δ2+N2∫l0p2dx.（23）

由式（23）， 有

12λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+N2∫l

0pδN-p2dx≤12δ2+N2∫l0p

2dx-N2∫l0pδN2dx+N2∫l0pδN-

p2dx=12δ2+N∫l0p·（p-pδN）dx=12δ

2+N〈p，（p-pδN）〉.（24）

利用式（18），（20）， 對式（24）的最后一項， 有

〈p，（p-pδN）〉= "〈F（p）φ，p-pδN〉= "-1λ∫TT-λ∫l0（p-pδN）u（

p）φdxdt= "1λ∫TT-λ∫l0［（u′（p）（p-pδN））tφ+r·（u′（p）（p-pδ

N））·φ］dxdt+ "1λ∫TT-λ∫l0［s·（u′（p）（p-pδN））·φ+r′·（u′（p）（p-pδN））

·φ］dxdt+ "1λ∫TT-λ∫l0［p（u′（p）（p-pδN））φ］dxdt.

令RδN∶=u（pδN）-u（p）-u′（p）（pδN-p），

則有

N〈p，（p-pδN）〉= "Nλ∫TT-λ∫l0［（RδN）tφ+r（RδN）·φ+（s

+r′）（RδN）·φ+p（RδN）φ］dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0［（u（pδN）-u（p）

）tφ］dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0［r（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt- "Nλ

∫TT-λ∫l0［s（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0［r′（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt-

Nλ∫TT-λ∫l0［p（u（pδN）-u（p））φ］dxdt=∶ "I1+I2+I3+I4+I5+I6.（25）

下面分別估計I1～I6， 主要利用不等式（23）的左邊分別控制I1～I6.

對于I1， 利用式（14）可得

I1=Nλ∫TT-λ∫l0（pδN-p）［u（p）-u（pδN）］φdxdt.（26）

由式（26）及Schwarz不等式， 有

I1≤ "Nλ∫TT-λ∫l0（pδN-p）φ·u（

p）-ζδdxdt+ "Nλ∫TT-λ∫l0（pδN-p）φ·ζδ-u（pδN）dxdt≤

Nλ∫TT-λ‖（pδN-p）φ‖L2（0，l）·‖u（p）-ζδ‖L2（0，l）dt+ "Nλ∫TT-λ‖

（pδN-p）φ‖L2（0，l）·‖ζδ-u（pδN）‖L2（0，l）dt.（27）

由條件（10）及Young不等式， 有

I1≤ "112λ∫TT-λ∫l0u（p）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0（pδN-p）φ

2dxdt+ "124λ∫TT-λ∫l0ζδ-u（pδN）2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0（pδN-p

）φ2dxdt≤ "112δ2+124λ∫TT-λ∫l

0u（pδN）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0φ2dxdt.（28）

對于I2， 關(guān)于t分部積分， 且由u（x，T;p*）=ζ（x）和‖ζ-ζδ‖L2（0，l）≤δ及三角不等式， 有

I2= "Nλ∫TT-λ∫l0［u（pδN）-u（p）］tφdxdt≤

Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-u（p））φtdxdt≤ "Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）φtd

xdt+Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））φtdxdt≤ "112λ∫TT-λ∫l0u（p）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0（pδN-p）φt2dxdt+ "124λ∫TT-λ∫

l0ζδ-u（pδN）2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0（pδN-p）φt2dxdt≤

112δ2+124λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0φt2dxdt.（29）

對于I3， 分部積分， 且r（0）=0， ux=l=0， 利用Schwarz不等式， 則有

I3= "Nλ∫TT-λ∫l0［r（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt≤

Nλ∫TT-λr（u（pδN）-u（p））dφdx^x=lx=0-∫l

0（u（pδN）-u（p））（rφx）xdxdt≤ "Nλ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ·（rφ）

dxdt+ "Nλ∫TT-λ∫l0ζδ-u（p）·（rφ）dxdt≤

112δ2+124λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ

2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0（rφ）2dxdt.（30）

對于I4和I5， 分部積分， 且由源條件（20）， 則有

I4= "Nλ∫TT-λ∫l0［s（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt≤ "N

λ∫TT-λsφ（u（pδN）-u（p））^x=lx=0-∫l0（u（pδN）-u（p））·（sφ）dxdt≤ "N

λ∫TT-λs（u（pδN）-u（p））2x=0dt-Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）·（sφ）dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（sφ）dxdt，（31）

I5= "Nλ∫TT-λ∫l0［r′（u（pδN）-u（p））·φ］dxdt≤ "N

λ∫TT-λr′φ（u（pδN）-u（p））^x=lx=0-∫l0（u（pδN）-u（p））（r′φ）xdxdt≤

Nλ∫TT-λr′（u（pδN）-u（p））2x=0dt-∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζ

δ）·（r′φ）dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（r′φ）dxdt.（32）

由Fichera條件， （s+r′）x=0≤0， 由式（31）和式（32）， 有

I4+I5≤ "Nλ∫TT-λ（s+r′）（u（pδN）-u（p））2x=0dt-∫TT-λ∫l0

（u（pδN）-ζδ）·（sφ）dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（sφ）dxdt+∫TT-λ

∫l0（u（pδN）-ζδ）·（r′φ）dxdt- "Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（r′φ）dxdt≤

-Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）·（sφ）dxdt-Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（sφ）dxdt-

Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）·（r′φ）dxdt-Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（r′φ）dxdt，

I4+I5≤ "Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）·（sφ）dxdt+Nλ∫

TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（sφ）dxdt+ "Nλ∫TT-λ∫l0（u（pδN）-ζδ）·（r

′φ）dxdt+Nλ∫TT-λ∫l0（ζδ-u（p））·（r′φ）dxdt≤ "16δ2+112λ

∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+ "CN2∫TT-δ∫l0（（sφ）2+（r′φ）2）dxdt.（33）

類似地， 對I6分部積分有

I6= "Nλ∫TT-λ∫l0［p（u（pδN）-u（p））φ］dxdt≤

Nλ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ·pφdxdt+ "Nλ∫

TT-λ∫l0ζδ-u（p）·pφdxdt≤ "112δ2+124λ∫TT-λ∫l0

u（pδN）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-δ∫l0pφ2dxdt.（34）

結(jié)合式（24），（25）及式（27）～（34）， 有

12λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+N2∫l0pδN-p2dx≤

12δ2+N〈p，（p-pδN）〉≤12δ2+∑6j=1Ij≤δ2+14λ∫TT-λ∫

l0u（pδN）-ζδ2dxdt+CN2∫TT-λ∫l0［φt2+（rφ）2+（sφ）2+（r′φ

）2+pφ2］dxdt.（35）

φ滿足條件（19）， 于是

∫TT-λ∫l0（φt2+（rφ）2+（sφ）2+（r′φ）2+pφ2）dxdt≤C.

式（35）可寫為

14λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+N2∫l0

pδN-p2dx≤δ2+CN2，

選取N～δ， 有

1λ∫TT-λ∫l0u（pδN）-ζδ2dxdt+N∫l0pδN

-p2dx≤Cδ2.（36）

式（22）得證， 再由式（36）和Poincaré不等式即得式（21）. 證畢.

注1"利用積分泛函（12）代替原來的泛函（9）， 是為解決在式（25）中第二項積分的困難. 如果選擇泛函形式（9）， 則可推出式（25）中的第二項（記為2）為

2=-Nλ∫l0（u（qδN）-u（q*））t（·，T）φdx.

在對2進行估計時， 沒有任何精確解與近似解關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)的信息， 因此也不能得到任何收斂性的結(jié)果. 傳統(tǒng)方法在解決這部分問題時， 都是通過改變原控制泛函的形

式， 或泛函中原有對時間t的積分. 借鑒這些思想， 本文對原泛函形式進行改變， 通過分部積分， 將關(guān)于t的導(dǎo)數(shù)交換到試探函數(shù)φ上， 然后進行一系列推導(dǎo)， 得到最終的收斂性結(jié)果.

綜上， 本文研究了一類具有單邊退化拋物型方程輻射系數(shù)的反演問題. 通過退化拋物型方程的特點， 給定滿足主系數(shù)與一階項系數(shù)的Fichera附加條件， 利用Fichera條件， 結(jié)

合Gateaux導(dǎo)數(shù)并引入新的源條件， 在最優(yōu)控制體系下， 對與原問題對應(yīng)的最優(yōu)控制問題解進行了收斂性分析.

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（責(zé)任編輯： 趙立芹）