怎樣解答排列組合問題

排列組合是高中數(shù)學中的重要模塊，也是高考數(shù)學試題中的必考內(nèi)容.排列組合問題的命題方式多種多樣，解法也各不相同.對此，筆者對解答排列組合問題的常用方法進行了總結，下面結合實例作詳細的介紹.

一、特殊位置（元素）分析法

特殊位置（元素）分析法適用于求解對某些位置和元素有特殊要求的排列組合問題.如果問題中對某個位置有特殊要求，則需先將合適的元素放置在特殊位置上，再安排其他的位置；如果問題中對某個元素有特殊要求，則需先安排這個特殊元素的排列順序或位置，再安排其他的元素.

例1.現(xiàn)將9，8，7，6，5，0六個數(shù)字排成一排，請問可以組成多少個不重復的五位奇數(shù)？

解：由題意可知個位必須填奇數(shù)，則需從9、7、5三個數(shù)字中選取1個數(shù)字，有C3（1）種選法.又首位數(shù)不為0，則需從剩下的4個數(shù)字中選1個數(shù)字填入，有C4（1）種選法.中間有3個空位，可從剩下的4個數(shù)字中選3個數(shù)字填入，有A4（3）種選法，則一共有C3（1）C4（1）A4（3）種選法，即一共有C3（1）C4（1）A4（3）=288個不重復的五位奇數(shù).

要組成五位奇數(shù)，那么首位數(shù)字不為0，個位數(shù)必須為奇數(shù)，所以首位和末位為特殊位置，需采用特殊位置分析法來解題，先排首位和末位的數(shù)字，再排其他位置上的數(shù)字.

二、捆綁法

捆綁法適用于求解某些元素要求相鄰排列的問題，這時需要先將相鄰的元素捆綁在一起，當成一個大元素來看待；再與其他元素一起來排列；最后根據(jù)分步計數(shù)原理進行求解.

例2.現(xiàn)有7個人排成一排，其中小明和小紅要求相鄰，小軍和小藍也要求相鄰，試問這7人一共有多少種不同的排法？

解：先將小明和小紅兩個元素捆綁起來當作一個大元素，有A2（2）種排法；然后將小軍和小藍也捆綁起來當作一個大元素，有A2（2）種排法；再將這兩個大元素與其他3個人進行排列，有A5（5）種排法；最后由分步計數(shù)原理可得共有A5（5）A2（2）A2（2）=480種不同的排法.

根據(jù)題意知，小明和小紅要求相鄰，小軍和小藍也要求相鄰，則需將他們分別捆綁在一起，當作兩個大元素進行排列.在計數(shù)時，要注意將大元素內(nèi)部的元素的順序進行排序.

三、倍縮法

倍縮法適用于求解某些元素的排列順序固定的問題.由于某些元素的排列順序固定了，所以在所有元素全排列時計數(shù)就會重復，得用所有元素的全排列數(shù)除以順序固定的元素的全排列數(shù)，才能求得這些元素的排列數(shù).

例3.現(xiàn)有7個人需排成一排，其中甲在乙前，丙在甲前，問共有多少不同的排法？

解：先將這7個人全排，有A7（7）種排法；然后將甲、乙、丙按一定順序排列，共有A7（7）÷A3（3）=840種排法.

由題意可知甲要排在乙前，丙要排在甲前，故三者的順序固定，即丙、甲、乙，需采用倍縮法解題.

四、線排法

線排法適用求解元素排成圓形的問題.假設將n個不同元素排成一個圓形，那么不同元素的相對位置會重復計數(shù)n-1次，故一共有（n-1）！種排法.

例4.8個人圍繞圓形桌子坐下，問一共有多少種坐法？

解：8個人圍繞圓形桌子坐下，位置沒有首尾之分，只有人的相對位置的差別，所以可以先固定一個人的位置，并從此位置開始從左到右排列其余7人，則共有（8-1）！=7！種排列方式.

運用線排法解題的關鍵在于確定元素之間的排列規(guī)則和順序.

五、求冪法

求冪法適用于求解元素可以重復排列的問題.假設將n個不同元素安排在m個位置上，則每個元素有m種排列方式，則一共有mn種排法.

例5.若某個工廠招募6名工人，且需把6名工人分配到7個車間工作，一共有多少種不同的分法？

解：第1名工人分配到各個車間，有7種分法；第2名工人分配到各個車間，有7種分法；以此類推第6名工人分配到各個車間，有7種分法，則一共有76種不同的排列方式.

若題目中的各個元素可以在不受約束的情況下選擇排列方式和位置，就可以采用求冪法來求解.

綜上所述，上述幾種求解排列組合問題的方法各有各的特點和優(yōu)勢.無論運用哪種方法解題，同學們都要注意：（1）仔細讀題，明確題目中對各個元素和位置的要求；（2）根據(jù)題目的特點，選用與之相應的方法進行求解；（3）靈活運用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理.

（作者單位：江西省贛州市南康中學）