解答幾何體的外接球半徑問(wèn)題的三種思路

一般地，空間幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)均在幾何體的外接球上，那么幾何體的各個(gè)頂點(diǎn)到球心的距離即為幾何體外接球的半徑.幾何體的外接球半徑問(wèn)題側(cè)重于考查同學(xué)們的空間想象和抽象思維能力.下面主要介紹解答幾何體的外接球半徑問(wèn)題的三種思路，以供大家參考.

一、采用補(bǔ)形法

補(bǔ)形法是將不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的簡(jiǎn)單基本幾何體，從而利用簡(jiǎn)單基本幾何的性質(zhì)來(lái)求外接球的半徑.通常可以將幾何體補(bǔ)形為正方體、長(zhǎng)方體、三棱柱、六棱柱等.

例 1.

解

在運(yùn)用補(bǔ)形法解答幾何體的外接球半徑問(wèn)題時(shí)，要仔細(xì)觀察幾何體，注意尋找題目中隱藏的幾何關(guān)系，如垂直、平行等，或根據(jù)線面垂直的判定定理、線面平行的判定定理等來(lái)構(gòu)造垂直、平行關(guān)系，這有利于找到與不規(guī)則幾何體相對(duì)應(yīng)的規(guī)則幾何體.

二、運(yùn)用轉(zhuǎn)化法

在求幾何體外接球的半徑感到困難時(shí)，可以采用轉(zhuǎn)化法，將空間幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，利用平面幾何知識(shí)，如勾股定理、正余弦定理、等腰三角形的性質(zhì)等來(lái)求得問(wèn)題的答案.通常要先根據(jù)幾何體的特征確定球心的位置；然后過(guò)球心和幾何體的一個(gè)頂點(diǎn)作幾何體底面的垂線，以構(gòu)造出三角形、圓面；最后利用平面幾何知識(shí)求得外接球的半徑.

例 2.已知正四棱錐P - ABCD的底邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都為 2，點(diǎn)P、A、B、C、D在同一球面上，求該球的半徑.

解：

我們需先根據(jù)正四棱錐的特征添加輔助線，構(gòu)造出球的軸截面，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求△APC的外接圓的半徑；再根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)構(gòu)建直角三角形，便可根據(jù)直角三角形的外接圓的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求球的半徑.

三、建系

若根據(jù)題目中的條件難以確定球心的位置，就可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)求幾何體的外接球半徑.建立坐標(biāo)系后，設(shè)出球心的坐標(biāo)，并求出球心到幾何體各個(gè)頂點(diǎn)的距離，即可得到球的半徑.

例3.

解：

運(yùn)用建系法解題的關(guān)鍵在于建立合適的空間直角坐標(biāo)系.一般來(lái)說(shuō)，要盡量使更多的點(diǎn)在同一個(gè)平面或者是一條直線上，這樣有利于減少運(yùn)算量.

總的來(lái)說(shuō)，解答幾何體的外接球半徑問(wèn)題，關(guān)鍵在于確定球心的位置和球的半徑.這就要求我們做到如下幾點(diǎn)：（1）熟悉簡(jiǎn)單基本幾何體的特征以及球的相關(guān)性質(zhì)；（2）要仔細(xì)觀察并研究幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，添加合適的輔助線；（3）根據(jù)球心和幾何體頂點(diǎn)的位置關(guān)系，構(gòu)造平面幾何圖形.

（作者單位：江蘇省阜寧中學(xué)）