由一道二面角題引發(fā)的思考

求解二面角的問(wèn)題，關(guān)鍵在于找出或作出二面角的平面角.而找出或作平面角主要有以下幾種方法：定義法、三垂線定理法、垂面法、射影法、向量法等.下面以一道題為例，探討一下求解二面角問(wèn)題的方法.

例題：如圖 1 所示，在三棱錐 P-ABC 中，AB⊥BC， AB=2，BC= 2 2 ，PB=PC= 6 ，BP，AP，BC 的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD= 5 DO，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO.（1）證明： EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

由于第一、二個(gè)問(wèn)題與二面角的求法無(wú)關(guān)，故這里主要討論第三個(gè)問(wèn)題的解法.

一、定義法

運(yùn)用定義法解答二面角問(wèn)題，需先根據(jù)二面角的平面角的定義，在兩個(gè)半平面的棱上選取一個(gè)點(diǎn)，如垂足、中點(diǎn)等；然后過(guò)該點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的垂線，這兩條垂線所形成的夾角即為二面角的平面角；最后構(gòu)造三角形、平行四邊形，即可運(yùn)用正余弦定理、勾股定理求得平面角的大小.

解：

過(guò)點(diǎn)O作OH∥BF交AC于點(diǎn)H，而AO⊥BF，根據(jù)平行線的性質(zhì)：平行線中的一條直線垂直于一條直線，則另一條直線也垂直于這條直線，得出 HO⊥AO.又 DO⊥AO，即可根據(jù)二面角的平面角的定義，判定∠DOH 為二面角 D-AO-C 的平面角.再根據(jù)題目中的垂直、平行關(guān)系求得各條線段的長(zhǎng)，即可根據(jù)余弦定理和勾股定理求得∠DOH正弦值的大小.

二、三垂線定理法

運(yùn)用三垂線定理法求二面角大小的主要思路為：（1）過(guò)二面角的一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn)A作另一個(gè)半平面的垂線AH，垂足為H；（2）從垂足H出發(fā)向二面角的棱引垂線HO，連接AO；（3）由三垂線定理可知∠AOH為二面角的平面角或其補(bǔ)角.運(yùn)用三垂線定理法解題，能快速找出垂直關(guān)系，從而獲得問(wèn)題的答案.

解：

通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)二面角D-AO-C是鈍角，于是根據(jù)補(bǔ)角關(guān)系利用三垂線定理法求二面角D-AO-B的大小.過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BF，交BF于點(diǎn)M，并連接GQ，即可根據(jù)線面垂直的判定定理證明GM⊥平面ABC，便可將GM視為平面ABC的垂線，BF視為平面ABC內(nèi)的一條直線，MQ視為斜線GQ的射影，根據(jù)三垂線定理證明GQ⊥AO，得出∠GQM為平面AOD與平面BAO的二面角.

三、向量法

運(yùn)用向量法求二面角的大小，要先根據(jù)幾何體的特征，選取合適的點(diǎn)作為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系；然后利用夾角公式cos，=（、分別為二面角的兩個(gè)半平面的法向量）進(jìn)行求解.值得注意的是，可能等于二面角，也可能與二面角互補(bǔ)，需結(jié)合圖形進(jìn)行判斷.

解

由于 AB⊥BC，于是以 B 為原點(diǎn)，BA、BC 所在的直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系，這樣便能快速求得平面 ABC 上各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得平面 AOD 與平面 AOC的法向量，根據(jù)夾角公式求得問(wèn)題的答案.

以上三種方法都是求二面角大小的常用方法，其中定義法、三垂線定理法都是從幾何角度尋求問(wèn)題的答案，難度較大.而向量法則是從代數(shù)角度來(lái)解題，能有效地降低解題的難度，這不失為一種絕佳的方法.

（作者單位：重慶市開(kāi)州中學(xué)）