巧用兩種方法求動點(diǎn)的軌跡方程

求動點(diǎn)的軌跡方程問題經(jīng)常出現(xiàn)在圓錐曲線試題中.求動點(diǎn)的軌跡方程的方法很多，常用的有定義法、相關(guān)點(diǎn)法、點(diǎn)差法、交軌法、利用韋達(dá)定理等.下面主要介紹求動點(diǎn)的軌跡方程的兩種方法.

一、相關(guān)點(diǎn)法

若已知動點(diǎn) P 的軌跡，且另外一個動點(diǎn) M 隨著P 點(diǎn)的運(yùn)動而變化，則點(diǎn)M的坐標(biāo)與 P 點(diǎn)有關(guān)系，可根據(jù)此關(guān)系，用 M 的坐標(biāo)表示 P 的坐標(biāo)，再將其代入 P 點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的方程中，即可消去 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn) M 的軌跡方程.

例1

解

因?yàn)?P 是直線 MA，NB 的交點(diǎn)，所以 P 點(diǎn)的運(yùn)動軌跡受動點(diǎn)M、N的影響，因此需采用相關(guān)點(diǎn)法解答本題.首先設(shè)出M、N、P的坐標(biāo)，建立三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并找到M、N點(diǎn)所滿足的方程；再通過恒等變換消去M、N點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到P的軌跡方程.

二、利用韋達(dá)定理

動點(diǎn)的軌跡方程問題中通常會涉及直線、圓、雙曲線、拋物線、橢圓等，而動點(diǎn)通常是曲線、直線之間的交點(diǎn)，此時(shí)可利用韋達(dá)定理來解題.首先將直線的方程代入圓錐曲線的方程中，得到一個關(guān)于x或者y的一元二次方程；然后判斷判別式與0之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定理建立兩根之間的關(guān)系式 x1x2、x1 + x2 、 y1y2、y1 + y2 ；最后通過恒等變換消去參數(shù)，得到關(guān)于動點(diǎn)坐標(biāo)的方程，即可解題.

例2

解

本題中 AD 垂直于 BC ，而 BC 與橢圓相交，于是先將直線BC的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于 x 的一元二次方程；然后根據(jù)韋達(dá)定理得到 x1 x2、x1 + x2 、y1 y2、y1 + y2 ；最后通過消元，得到關(guān)于D 點(diǎn)的坐標(biāo)的方程.

求動點(diǎn)的軌跡方程問題中動點(diǎn)的位置往往是不確定的，要求動點(diǎn)的軌跡方程，關(guān)鍵是尋找有關(guān)動點(diǎn)的幾何條件，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)、韋達(dá)定理來建立關(guān)于動點(diǎn)的坐標(biāo)的新關(guān)系式，以此來約束動點(diǎn)，進(jìn)而確定動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡.

（作者單位：江西省贛州市南康區(qū)第三中學(xué)）