由一道題談比較函數(shù)式大小的方法

比較函數(shù)式的大小問題常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).這類問題側(cè)重于考查對簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性的應用.下面結(jié)合實例，談一談比較函數(shù)式大小的幾種方法，供讀者參考.

例題：設函數(shù) f （x） 是定義域為 R 的偶函數(shù)，且在 （0，+∞） 上單調(diào)遞減，請比較 f （log3 1 4 ），f （2 - 3 2 ），f （2 - 2 3 ） 的大小.

題目中沒有給出函數(shù)的解析式，但是我們知道函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，需靈活運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來解題.解答本題主要有以下幾種方法.

一、函數(shù)性質(zhì)法

利用函數(shù)性質(zhì)法解題，需先仔細觀察要比較的函數(shù)式，通過變形、化簡、作差、作商等方式建立二者之間的聯(lián)系，構(gòu)造出相應的函數(shù)；然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性；再利用函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性，將要比較的函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來比較函數(shù)式的大小.

解法1.

我們需先根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，將要比較的函數(shù)式的自變量轉(zhuǎn)化到（0，+∞）上；然后比較出三個自變量的大小，即可根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性解題.

解法2.

由于函數(shù)的單調(diào)性是已知的，所以只需比較函數(shù)的自變量.而2-、2-法來比較二者的大小，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性來解題.

二、圖象法

在比較函數(shù)式的大小時，我們可以直接根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖象，確定兩個函數(shù)式的坐標，借助圖象比較其縱坐標的大小，即可比較出兩個函數(shù)式的大小.圖象法較為直觀，借助圖象可以快速獲得問題的答案.

解：

在作圖時，要明確函數(shù)圖象的變化趨勢，描出一些特殊的點，如與坐標軸的交點、最高點、最低點、端點等，這樣便于快速比較出函數(shù)式的大小.

三、構(gòu)造特殊函數(shù)

對于一些沒有給出具體函數(shù)解析式的問題，我們可以根據(jù)題意構(gòu)造出特殊函數(shù)，這樣便可以將各個值、關系式代入這個特殊函數(shù)的解析式中，通過簡單的計算比較出兩個函數(shù)式的大小.

解：

運用此方法解題，要根據(jù)已有的知識經(jīng)驗，結(jié)合解題需求構(gòu)造出符合題意的特殊函數(shù)，并且構(gòu)造的函數(shù)越簡單越好，這樣便于計算.

以上三種方法都是比較函數(shù)式大小的重要方法.在解題的過程中，同學們要仔細研究要比較的函數(shù)式，對其進行合理的變形、化簡、構(gòu)造，靈活運用簡單基本函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象、運算性質(zhì)等來解答.

（作者單位：江蘇省如皋市第一中學）