例談幾類常見數(shù)列問題的解法

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的一大重要模塊.數(shù)列問題的命題形式很多，常見的有求數(shù)列的通項(xiàng)公式、求數(shù)列的前n項(xiàng)和、證明數(shù)列不等式.解答數(shù)列問題，需靈活運(yùn)用等差和等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式.下面重點(diǎn)談一談幾類常見數(shù)列問題的解法.

一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式

常見的數(shù)列通項(xiàng)公式問題有：（1）由已知項(xiàng)或關(guān)系式求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于已知數(shù)列的部分項(xiàng)的通項(xiàng)公式問題，需通過觀察分析尋找規(guī)律，寫出相應(yīng)的遞推關(guān)系式或利用數(shù)學(xué)歸納法來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.由已知關(guān)系式求等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，需首先根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)建立關(guān)于首項(xiàng)和公比的方程或方程組，從而求得數(shù)列的首項(xiàng)和公比；然后根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式解題.由遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，往往需采用累加法、累乘法、構(gòu)造法等，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，簡(jiǎn)單的計(jì)算問題來求解.

例1

解：

解答本題主要運(yùn)用了公式法.需分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況，根據(jù)等差數(shù)列的定義判定數(shù)列為等差數(shù)列，得到數(shù)列的首項(xiàng)、公差，便可以根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 an = a1 +（n - 1）d 進(jìn)行求解.

二、求數(shù)列的前n項(xiàng)和

求數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，通常要求我們根據(jù)已知關(guān)系式求數(shù)列的前n項(xiàng)和.常用的求和方法有公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等.每種方法的適用情形不同，若數(shù)列可以拆分為幾個(gè)等差、等比、常數(shù)數(shù)列的和，則可以采用分組求和法來求數(shù)列的和；若數(shù)列的通項(xiàng)公式可以拆分為兩項(xiàng)之差，則可以采用裂項(xiàng)相消法求和；若數(shù)列的通項(xiàng)公式是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的乘積，則可以采用錯(cuò)位相減法求和.我們需對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的拆分、變形、構(gòu)造，選用與之相應(yīng)的方法進(jìn)行求和.

例2.若等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，S4=-5，S6=21S2，則S8=（）.

A.120 B.85 C.-85 D.-120

解：

解答本題，需靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式.首先根據(jù)題意建立關(guān)于首項(xiàng)a1和公比q的方程，求得a1和q；然后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=進(jìn)行求解.

例3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且angt;0，an（2）+2an=4Sn+3.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解：

解答本題主要運(yùn)用了裂項(xiàng)相消法.仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列bn的通項(xiàng)公式bn=可以拆分為兩項(xiàng)之差，且將各項(xiàng)相加時(shí)，中間的各項(xiàng)可以抵消時(shí)，此時(shí)便可以利用裂項(xiàng)相消法順利求得數(shù)列的和.常見的裂項(xiàng)形式有=-、=（-）等.

三、證明數(shù)列不等式

近幾年來，數(shù)列不等式問題在各類試題中出現(xiàn)的頻率越來越高.常見的命題形式有：（1）證明數(shù)列的前n項(xiàng)和恒大于或小于某一定值；（2）證明數(shù)列的某一項(xiàng)恒大于或小于某一定值.證明數(shù)列不等式的常用方法有：利用數(shù)列的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性和有界性、放縮法、利用基本不等式等.在解題時(shí)，往往需將不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?、放縮，將其中的某些項(xiàng)進(jìn)行合理的拆分，使數(shù)列中的某些項(xiàng)構(gòu)成等差、等比數(shù)列，以根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)、前n項(xiàng)和公式證明不等式.

例4.

證明

我們需先根據(jù)題意求得數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和，并將Tn進(jìn)行放縮，得到Tnlt;2（1+++???+）lt;2（1+ln n），將問題轉(zhuǎn)化為證明2（1+++???+）lt;2（1+ln n）；然后根據(jù)重要的函數(shù)不等式當(dāng)xgt;0時(shí)，ln x≤x-1，得出lt;ln；再通過累加，根據(jù)數(shù)列的可加性、傳遞性證明不等式.

可見，解答數(shù)列問題，不僅要熟練掌握并靈活運(yùn)用數(shù)列、函數(shù)、不等式等知識(shí)，還要靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的計(jì)算問題、等差和等比數(shù)列問題、函數(shù)問題、不等式問題.這樣才能化繁為簡(jiǎn)、化難為易，有效地提升解題的效率.

本文系福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度“協(xié)同創(chuàng)新”專項(xiàng)課題《核心素養(yǎng)導(dǎo)向差異數(shù)學(xué)實(shí)踐范式研究》（課題立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：Fjxczx23-006）的研究成果之一.

（作者單位：福建省石獅市第一中學(xué)）