三種路徑幫你解答二面角問題

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.我們通常用二面角的平面角的大小來表示二面角的大小.常見的二面角問題有：（1）求二面角的大小或取值范圍；（2）求二面角的余弦或者正弦值.解答二面角問題，關(guān)鍵是要找到二面角的平面角，求得該角的大小.下面結(jié)合幾道二面角例題，談一談解答此類問題的路徑.

一、根據(jù)三垂線定理

在解答二面角問題時，可以根據(jù)題目中的垂直關(guān)系來構(gòu)造三垂線，即垂線、斜線和射影，根據(jù)三垂線定理來求二面角的大小.首先要在二面角的一個半平面內(nèi)選取一點A；然后過點A向另一個半平面作垂線AB；再由垂足B向二面角的棱作垂線BC，交棱于C，則二面角的平面角為∠ACB；最后根據(jù)勾股定理和正余弦定理來求∠ACB的大小.

例1.

解：

作出 AF ⊥ DN ，并連接 SF ，即可構(gòu)造出三垂線，此時 SA 為平面 ABC 的垂線，斜線 SF 的射影為 AF，就能直接利用三垂線定理證明∠SFA 是二面角 S - ND - A 的平面角.然后根據(jù)其中的垂直關(guān)系構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解題.

二、利用定義法

利用定義法求解二面角問題主要是利用二面角的平面角的定義，即在二面角的棱上取一點，過該點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的垂線，則兩條垂線所成的夾角即為二面角的平面角.再將平面角視為某個三角形或四邊形的內(nèi)角，利用勾股定理、正余弦定理來求該角的大小.

例2

解

解答本題主要運用了定義法.先要找到兩個半平面的棱BD；然后找到兩條與棱垂直的射線AC、AD；最后在RtΔACD中，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求得二面角的大小.

三、建立空間直角坐標(biāo)系

若立體圖形為規(guī)則圖形，則可以建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何關(guān)系用向量表示出來，求出二面角的兩個半平面的法向量，即可根據(jù)向量的夾角公式求得二面角或者二面角的補角.

例3

解

運用向量法解答二面角問題，關(guān)鍵在于根據(jù)幾何圖形的特征建立合適的空間直角坐標(biāo)系.通常，要根據(jù)題目中的垂直關(guān)系，來尋找或者作出三條互相垂直且交于一點的直線，并將其視為坐標(biāo)軸.

總之，定義法、三垂線法、建系法都是解答二面角問題的常用方法.其中，定義法的適用范圍較為廣泛，三垂線法則只適用于解答部分題目，而建系法較為便捷.

（作者單位：山東省冠縣武訓(xùn)中學(xué)）