對一道平面向量題的解法的探究

平面向量問題的命題形式較多，常見的有求兩個向量的數量積及其取值范圍，求參數的值或取值范圍，求向量的夾角或模長等.解答平面向量問題，需靈活運用向量的運算法則、基本定理等.下面結合一道平面向量問題，談一談解答此類問題的方法.

例題：（2022年新高考Ⅱ卷數學，第4題）已知向量=（3，4），=（1，0），=+t，若lt;，gt;=lt;，gt;，則t=（）.

A.-6 B．-5 C．5 D．6

題目中給出了向量，的坐標，告知了向量、、之間關系及其夾角，要求t的值，需從向量、、之間關系及其夾角入手，通過向量運算，利用平面向量的基本定理求解.

一、利用向量的夾角公式

向量 a、b 的夾角公式為 cos a，b = a?b |a|| b | ，其中a，b 的范圍是[0°，180°].若已知向量的夾角、向量的模長、數量積，則通?？梢岳孟蛄康膴A角公式來求解.

解法1

由于lt; a，c gt;=lt; b ，c gt;是已知的，且向量 a、b 、c 的模長很容易求得，于是直接運用向量的夾角公式建立方程，即可解題.

二、數形結合

向量兼有“數”與“形”兩種身份.因此在解答平面向量問題時，我們可以根據題意或向量的幾何意義畫出相應的圖形，就能將向量問題轉化為平面幾何問題，根據三角形、圓、平行四邊形的性質，利用正余弦定理、勾股定理等來解題.

解法2

根據lt; a，c gt;=lt; b ，c gt;構造如圖1所示的圖形，便可將平面向量轉化為直線的傾斜角問題，根據直線的傾斜角之間的關系式和斜率公式建立關系式，即可利用二倍角公式求得t的值.

解法3

我們根據向量加法的幾何意義，運用三角形法則構造出三角形ABC，就能直接利用等腰三角形的性質求得t的值.

解法4

根據向量加法的幾何意義：平行四邊形法則，作出平行四邊形后，即可根據兩角相等判定 OC 是平行四邊形的角平分線，就能利用平面向量基本定理求得 t的值.

可見，解答向量問題，可以從代數與幾何兩個角度入手.同學們在解題時，不僅要靈活運用平面向量的基本知識，還要建立各知識板塊之間的聯系，將問題與其他知識關聯起來，從不同的角度尋找到解題的思路.

（作者單位：云南省騰沖市益群中學）