談?wù)劚容^對(duì)數(shù)式大小的措施

比較對(duì)數(shù)式大小問題的難度一般不大，通常需靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、單調(diào)性、圖象等，才能使問題獲解.下面主要談一談比較對(duì)數(shù)式大小的兩種措施.

一、利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

我們知道，當(dāng)agt;1時(shí)，函數(shù)f（x）=loga x在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)0lt;alt;1時(shí)，函數(shù)f（x）=loga x在（0，+∞）上單調(diào)遞減.在解題時(shí)，通常可以運(yùn)用換底公式將其化為同底的對(duì)數(shù)式，比較其自變量的大小，即可利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小.若無法直接比較出兩個(gè)對(duì)數(shù)式的大小，則可以考慮借助中間量來解題.

例1.設(shè)a=log23，b=log35，c=log58，則（）.

A.alt;blt;c B.clt;blt;a C.alt;clt;b D.clt;alt;b

解：因?yàn)? log23=log29gt;log28=3，所以log23gt;又因?yàn)? log35=log325lt;log327=3，

所以log35lt;，故agt;b.

因?yàn)? log35=log3125gt;log381=4，所以log35gt;又因?yàn)? log58=log5512lt;log5625=4，

所以log58lt;，故bgt;c.

綜上可知，clt;blt;a.故本題選B.

三個(gè)對(duì)數(shù)式的底數(shù)、真數(shù)均不相同，因此要比較三個(gè)對(duì)數(shù)式的大小，需借助中間值或，將log23與、log35與，log58與化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2 x、y=log3x、log5x的單調(diào)性比較log23、、、log35、log58的大小.

例2.（2022年全國甲卷文科）已知9m=10，a=10m-11，b=8m-9，則（）.

A.agt;0gt;b B.agt;bgt;0 C.bgt;agt;0 D.bgt;0gt;a

解

仔細(xì)觀察要比較的兩個(gè)對(duì)數(shù)式，可發(fā)現(xiàn)： a = 10m - 10 - 1，b = 8m - 8 - 1，于是根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)式 f （x）= x m - x - 1（m = log910） .然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù) f （x）= x m - x - 1（m = log910） 的單調(diào)性，即可利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出 a gt; 0 gt; b .

例3

解

先根據(jù) b + e b = ae a + e 2a 構(gòu)造出函數(shù) f （x）= x + e x - ae a - e 2a ；再將 b 視為變量、a 視為常數(shù)，可得 f （b）= 0 ，且函數(shù) f （x） 在R上遞增；然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論在 b gt; a ，a = -1 和 b lt; a 的情況下 f （a）與f （b） 的大小關(guān)系，即可解題.

二、利用基本不等式

基本不等式：設(shè) a gt; 0，b gt; 0 ，則 a + b 2 ≥ ab ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)等號(hào)成立.在比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式時(shí)，可以先將兩式作差或者作商；然后根據(jù)換底公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將代數(shù)式化為兩式的和或積，并使其中之一為定值，即可利用基本不等式來比較出代數(shù)式與0、1的大小關(guān)系.

例4

解

我們先將logcb與logba作差；然后通過換底、通分將差式化簡(jiǎn)、變形；再將 ln a? ln c 視為兩式的積，由基本不等式可得 ln a? ln c lt; ln2 b ，從而得到logcbgt;logba .

例5

解

通過觀察，可以發(fā)現(xiàn) a 的底數(shù)等于 b 的真數(shù)，b 的底數(shù)等于c的真數(shù)，于是將a與b、b與c相除，得到兩個(gè)底數(shù)相同的對(duì)數(shù)之積，便可利用基本不等式判斷出a 與b、b與c的大小.在配湊基本不等式時(shí)，要將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如利用換底公式換底，進(jìn)行“1”的代換，湊系數(shù)、湊分母等，以配湊出兩式的和或積.

總之，無論運(yùn)用哪種措施比較對(duì)數(shù)式的大小，同學(xué)們都需要做到：（1）靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式、圖象等；（2）要將問題與不等式、方程、導(dǎo)數(shù)相聯(lián)系，靈活運(yùn)用其他模塊的知識(shí)來解題；（3）學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想來輔助解題.

（作者單位：江蘇省宿遷市馬陵中學(xué)）