例析配湊基本不等式常用的技巧

基本不等式 a + b ≥ 2 ab （a gt; 0，b gt; 0） 是高中數(shù)學(xué)中的重要知識(shí)點(diǎn).運(yùn)用基本不等式解題需滿足“一正、二定、三相等”三個(gè)條件.基本不等式還有諸多的變形式：若a，b∈ R，則 ab ≤ a2 + b 2 2 、ab ≤（ a + b 2 ） 2 、（ a + b 2 ） 2 ≤ a2 + b 2 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a = b 時(shí)取等號(hào).但是在實(shí)際的解題中，大多數(shù)情況下并不能直接運(yùn)用基本不等式解題，而是需要通過合理的配湊，使其滿足使用基本不等式的條件，方可利用基本不等式及其變形式解題.

一、換元

換元法是解答代數(shù)問題的常用方法.在解題時(shí)要將問題中的某個(gè)式子或其中一部分用一個(gè)新變量來替換它，這樣就能改變目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)、形式，快速配湊出基本不等式，從而順利求得問題的答案.在配湊基本不等式時(shí)，可以將等于常數(shù)的某個(gè)代數(shù)式用“1”替換，或?qū)⒏?，分式中的分子、分母用新元替換.

例1

解法1

解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù) a + 2b = 1進(jìn)行“1”的代換，將 1 a + 1 b 轉(zhuǎn)化為 （ 1 a + 1 b ）?（a + 2b） 的形式，進(jìn)而配湊出 2b a + a b ，便能直接運(yùn)用基本不等式求得最值.

解法2

用 a + 2b = 1 代替 1 a + 1 b 分子中的1，即可將 1 a + 1 b 轉(zhuǎn)化為 2b a + a b + 3 ，進(jìn)而配湊出兩式的和 2b a + a b .而這兩式的積為定值2，便可運(yùn)用基本不等式求得問題的答案.

例2

解

令 t = x + 2 ，通過換元將復(fù)雜的函數(shù)式簡(jiǎn)化，構(gòu)造出滿足使用基本不等式的條件，即可求得函數(shù)的最大值.在解題時(shí)，要將已知條件與所求目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來，選擇合適的式子進(jìn)行換元，使兩個(gè)式子之和或積為一個(gè)固定的值，從而配湊出基本不等式.但是在換元的過程中，要注意換元前后的代數(shù)式的等價(jià)關(guān)系，保證其取值范圍一致.

二、湊項(xiàng)

有時(shí)我們無法直接運(yùn)用基本不等式來解題，此時(shí)就需要仔細(xì)觀察和分析代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，采用一些技巧，如湊系數(shù)、湊分子、湊常數(shù)項(xiàng)等，使兩項(xiàng)之和或積成為定值，以滿足使用基本不等式的條件.

例3

解

將式子加減2，即可將函數(shù)式化為 y = x - 2 + 1 x - 2 + 2，這樣 x - 2、 1 x - 2 的積就為定值 1，便可以直接利用基本不等式求出函數(shù)的最小值.

例4

解

仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)x與3x的系數(shù)存在 1 3 倍的關(guān)系，于是湊出系數(shù) 1 3 ，使得 y = 1 3 × 3x（8 - 3x） ，那么 3x + 8 - 3x = 8 為定值，這樣便可運(yùn)用基本不等式快速求得函數(shù)式的最大值.

三、拆項(xiàng)

在配湊基本不等式時(shí)，要根據(jù)分子、分母各項(xiàng)之間的聯(lián)系，將某一項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之和或積的形式，以使兩式的和或積為定值，進(jìn)而運(yùn)用基本不等式解題.

例5.

解

目標(biāo)式中含有ab、bc、a2+b2、b2+c2，于是將目標(biāo)式分母a2+2b2+c2拆分為（a2+b2）+（b2+c2），便可構(gòu)造出兩式的和，從而運(yùn)用基本不等式求得最值.

綜上所述，運(yùn)用基本不等式解答最值問題，需通過換元、湊項(xiàng)、拆項(xiàng)等配湊技巧來配湊出滿足基本不等式使用條件的式子.在配湊基本不等式時(shí)，要注意：（1）將已知關(guān)系式與目標(biāo)式關(guān)聯(lián)起來，建立二者之間的聯(lián)系；（2）若兩式的和為定值，則需配湊兩式的積；若兩式的積為定值，則需配湊兩式的和；（3）明確變形、配湊的目標(biāo)，選擇合適的配湊技巧；（4）求得最值后，需檢驗(yàn)取等號(hào)的條件是否滿足題意.

（作者單位：貴州省銅仁第一中學(xué)）