證明線面平行的幾種途徑

線面平行是指一條直線與一個(gè)平面平行，是一種常見的空間位置關(guān)系.證明線面平行問題通常側(cè)重于考查線面平行的性質(zhì)定理與判定定理.筆者歸納整理了證明線面平行的幾種途徑，下面結(jié)合實(shí)例作詳細(xì)的介紹.

一、利用三角形中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.這是三角形中位線定理.在解題時(shí)，要根據(jù)幾何圖形的特征，尋找或者選取三角形一條邊上的中點(diǎn)，構(gòu)造出三角形的中位線，確定相應(yīng)的底邊，就可以利用三角形中位線定理得到兩條平行的直線，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.

例1.如圖1，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，證明：AB1∥平面BC1D.

證明：

在尋找或作三角形的中位線時(shí)，要特別注意一些特殊點(diǎn)，如中點(diǎn)、中垂線、重心等.本題中，D是AC的中點(diǎn)，于是作出輔助線OD，即可構(gòu)造出△ACB1的中位線，便可根據(jù)三角形中位線定理證明OD∥AB1.

二、利用平行四邊形的性質(zhì)

眾所周知，平行四邊形有一個(gè)重要的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等.在解題時(shí)，可以根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，找到或者作出平行四邊形.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與特點(diǎn)得到兩條互相平行的直線，即可利用線面平行的判定定理來證明線面平行.

例2.

證明：

通過對(duì)題目的分析以及對(duì)圖形的觀察，可以猜測(cè)直線 BB1 ∥ PQ 、PB1 ∥ BQ .于是構(gòu)造四邊形 BQC1D ，并證明 BQC1D 為平行四邊形，便可根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與線面平行判定定理證得 PB1 ∥平面AC1D .

三、利用面面平行的性質(zhì)

面面平行的性質(zhì)有很多，例如：（1）若兩個(gè)平面平行，則在一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面；（2）若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，則它們的交線平行.利用這些性質(zhì)即可確定平行關(guān)系，便可以根據(jù)題目中所給的條件去證明線面平行.

例3.

證明：

解答本題，需先利用三棱柱ABC-A1B1C1的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)造出平面NMK，使其平行于平面BCC1B1；再根據(jù)面面平行的性質(zhì)，證明MN∥平面BCC1B1.

總之，在證明線面平行時(shí)，要仔細(xì)觀察幾何圖形，結(jié)合其特征合理添加輔助線，利用三角形中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、面面平行的性質(zhì)得到一組平行線，以根據(jù)線面平行的判定定理證明結(jié)論.

（作者單位：江蘇省如東高級(jí)中學(xué)）