選用合適的方法，高效求解函數(shù)的值域問題

函數(shù)最值問題經常出現(xiàn)在各類試題中.這類問題通常要求根據(jù)函數(shù)的定義域和解析式求其最大值、最小值.求函數(shù)最值的方法很多，如配方法、判別式法、利用函數(shù)的單調性.那么如何選擇合適的方法求解呢？下面我們一起來加以探討.

一、配方法

運用配方法求函數(shù)的最值，需根據(jù)完全平方公式將偶次函數(shù)式配湊為f（x）=k（ax±b）2±c的形式.然后根據(jù)完全平方式的非負性來求函數(shù)式的最值.

例1.求函數(shù)f（x）=-2x2-8x+5的最大值.

解：由題意可知函數(shù)的定義域為R，

f（x）=-2x2-8x+5=-2（x2+4x）+5=-2（x2+4x+4-4）+5=-2（x+2）2+13，

所以當x=-2時，函數(shù)f（x）取最大值f（-2）=13.

該函數(shù)式的二次項系數(shù)為負數(shù)，其圖象的開口向下，所以函數(shù)在頂點處取得最大值.根據(jù)完全平方式將函數(shù)式配方為f（x）=-2（x+2）2+13的形式，即可快速確定函數(shù)的最值.在配方時，往往要根據(jù)二次項的系數(shù)和一次項的系數(shù)來配湊常數(shù)項.

二、利用函數(shù)的單調性

利用函數(shù)的單調性求函數(shù)的最值，需先確定函數(shù)的定義域，即函數(shù)在哪個區(qū)間內有意義；然后根據(jù)函數(shù)單調性的定義、導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系、簡單基本函數(shù)的單調性、復合函數(shù)單調性的判斷法則來判斷出函數(shù)的單調性；再根據(jù)函數(shù)的單調性來求函數(shù)的最值.若函數(shù)在[a，b]上單調遞減，則函數(shù)的最大值為f（a），最小值為f（b）；若函數(shù)在[a，b]上單調遞增，則函數(shù)的最大值為f（b），最小值為f（a）.

例2.求函數(shù)f（x）=x-ln x的最值.

解：根據(jù)題意可知函數(shù)的定義域為（0，+∞），

對函數(shù)求導可得導數(shù)f′（x）=1-，

當f′（x）=0時，得x=1.

所以當xgt;1時，f′（x）gt;0，則函數(shù)f（x）單調遞增；當0lt;xlt;1時，f′（x）lt;0，則函數(shù)f（x）單調遞減；

因此函數(shù)f（x）在x=1處取最小值f（x）=1，且函數(shù)在（0，+∞）上不存在最大值.

該函數(shù)式中含有一次函數(shù)式、對數(shù)函數(shù)式，需對函數(shù)進行求導，根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調性之間的關系判斷出函數(shù)的單調性，據(jù)此確定函數(shù)的極小值.如果在某個區(qū)間內f′（x）gt;0，那么函數(shù)f（x）在該區(qū)間內單調遞增；如果在某個區(qū)間內f′（x）lt;0，那么函數(shù)f（x）在該區(qū)間內單調遞減.值得說明的是，函數(shù)的最值點一般為區(qū)間的端點或函數(shù)的極值點.

三、判別式法

我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0，若方程有解，則判別式Δ=b2-4ac≥0.在求二次函數(shù)的最值時，我們可以把y視為參數(shù)，將函數(shù)式化為關于x的一元二次方程，即可建立不等式Δ=b2-4ac≥0，解這個不等式，即可求得y的取值范圍.

例3.若x為實數(shù)，求函數(shù)y=x（x）2（2）--x（x）1（3）的最值.

解：將函數(shù)y變形可得：（y-1）x2-（y-1）x+（y-3）=0，當y≠1時，上述方程是關于變量x的一元二次方程，且方程有實數(shù)根，

所以其判別式Δ=（y-1）2-4（y-1）（y-3）≥0，

解得1lt;y≤，

當y=1時，原方程沒有實數(shù)解，

所以函數(shù)在定義域上沒有最小值，有最大值

解答本題主要采用了判別式法.首先將y視為參數(shù)，將函數(shù)式化為關于x的一元二次方程（y-1）x2-（y-1）x+（y-3）=0；然后根據(jù)判別式b2-4ac≥0得到y(tǒng)的取值范圍.

求函數(shù)最值的方法多種多樣，同學們要熟悉一些常用的方法和一些常見的題型，學會根據(jù)不同的函數(shù)解析式來選取合適的方法進行求解.這樣，在遇到同類型的題目時就能做到應用自如、信手拈來.

（作者單位：湖北省來鳳縣第一中學）