用垂面法求三棱錐的外接球半徑的步驟

垂面法是通過作平面、直線的垂直平面來解題的方法.運用垂面法解題的優(yōu)點在于在作出垂面后，可以直接根據(jù)面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)快速找到垂直關(guān)系，從而使問題快速獲解.

運用垂面法求三棱錐的外接球半徑的主要步驟為：

第一步，在三棱錐P-ABC中，作出底面ABC的外接圓，如圖1所示，并確定外接圓的圓心O′；

第二步，確定球的球心O，連接OO′，則OO′⊥底面ABC，即可將圓O′視為直線OO′的垂面；

第三步，連接AO′并延長AO′，交圓O′于D，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知OO′⊥AO′、OO′⊥DO′、OO′⊥BO′、OO′⊥CO′；

第四步，在Rt△OO′D、Rt△OO′A、Rt△OO′B、Rt△OO′C中，根據(jù)勾股定理求得AO、OB、OC、OD，即可根據(jù)勾股定理、正余弦定理求出三棱錐P-ABC的外接球半徑.

運用垂面法解題，關(guān)鍵要結(jié)合三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，選取合適的平面作為OO′的垂面.作出垂面后，即可靈活運用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、正余弦定理、勾股定理來求三棱錐的外接球半徑.

例1.在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=6，BC=3，∠CAB=，求三棱錐P-ABC的外接球半徑.

解：

這道題中三棱錐的高垂直于底面，于是作出垂面圓O′，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明三棱錐的外接球的球心O必定在平面PAD內(nèi)，且PA∥OO′，PA=2OO′，便可根據(jù)三角形的中位線定理證明PD為三棱錐的外接球直徑.

例2.如圖3，在三棱錐D-ABC中，DC⊥平面ABC，若DC=4，AB=BC=3，∠ABC=120°，求三棱錐D-ABC外接球的表面積.

解：設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為r，外接圓的圓心為O′，外接球的半徑為R，連接CO′并延長CO′，交圓O′于E，則CE為圓O′的直徑，如圖4.

因為AB=BC，且∠ABC=120°，

所以△ABC是等腰三角形，且∠ACB=30°，

由正弦定理可得=2r，

所以△ABC外接圓的半徑r=3，即CO′=3，則EC=6，

又因為CD⊥平面ABC，所以CD⊥CE，

在Rt△CED中，由勾股定理可得ED===2，

因為CD⊥平面ABC，則平面CED⊥平面ABC，

而OO′⊥底面ABC，所以三棱錐的外接球的球心O必定在平面CED內(nèi)，且CD∥OO′，CD=2OO′，

即O′為ED的中點，所以三棱錐的外接球半徑為ED=13.故三棱錐D-ABC外接球的表面積為SD-ABC=4πR2=52π.

解答本題主要運用了垂面法，根據(jù)CD⊥平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理作出OO′的垂面圓O′，即可順利構(gòu)造出垂直關(guān)系，確定球的球心和半徑.

我們知道，球心以及圓截面的圓心的連線必然垂直于圓截面，根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以快速作出垂面，利用垂面法來解題.可見垂面法的適用范圍較廣，且較為便捷.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）