例談數(shù)列前n項(xiàng)和的幾種求法

對(duì)于簡單的等差和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和問題，我們可以直接利用等差和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解.對(duì)于較為復(fù)雜的數(shù)列前n項(xiàng)問題，我們就無法直接運(yùn)用公式求解，需靈活運(yùn)用錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法來解題.下面結(jié)合實(shí)例，談一談如何運(yùn)用這三種方法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.

一、錯(cuò)位相減法

對(duì)于數(shù)列{bn cn}，其中{cn}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，通常需運(yùn)用錯(cuò)位相減法來求數(shù)列的前n項(xiàng)和.運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的步驟為：

第一步，寫出Sn的表達(dá)式：Sn=b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1+bn cn；①

第二步，將①式的兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比q，得出qSn=b1c2+b2c3+…+bn-1cn+bn cn+1；②

第三步，將①②兩個(gè)式子錯(cuò)位相減，得到：1-qSn=b1c1+b2-b1c2+…+bn-bn-1cn-bn cn+1

=b1c1+dc2+c3+…+cn-bn cn+1

=b1c1+d ci-c1-bn cn+1；

第四步，化簡，即可得到數(shù)列的前n項(xiàng)和：

b1c1+d ci-c1-bn cn+1.

Sn=1-q

例1.已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列.若bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.

解：由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an=22n-1，

所以bn=nan=n·22n-1，

則Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1；①

從而可得22Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×

22n+1；②

將①-②得：

（1-22）Sn=2+23+25+…+22n-1-n×22n+1，

化簡可得Sn=+.

仔細(xì)觀察數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，可發(fā)現(xiàn)為22n-1為等比數(shù)列{22n-1}的通項(xiàng)公式，n為等差數(shù)列{n}的通項(xiàng)公式，于是采用錯(cuò)位相減法來解題.將Sn-22Sn，便可通過化簡求得Sn的值.

例2.已知數(shù)列{an}滿足a1=2，log2an+1=log2an+1.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求{（3n-1）an}的前n項(xiàng)和Sn.

解：（1）a1=2，log2an+1=log2an+1，

則log2an+1-log2an=log2 aa n（n+）1=1，

可得：aa n（n+）1=2，即數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2

的等比數(shù)列，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（2）由題意可得3n-1an=（3n-1）2n，

則Sn=2×2+5×22+8×23+…+3n-42n-1+（3n

-1）·2n，

于是2Sn=2×22+5×23+…+3n-7·2n-1+3n-

4·2n+（3n-1）·2n+1，

將上述兩式相減得：-Sn=4+3×22+23+…+2n-（3n-1）·2n+1=-2+3×21（1）-2（2）n-3n-1·2n+1=-8+（4-3n）·2n+1，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和：Sn=8+（3n-4）·2n+1.

我們將（3n-1）·2n視為等差數(shù)列3n-1與等比數(shù)列2n的通項(xiàng)公式的乘積，運(yùn)用錯(cuò)位相減法，將數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn與2Sn作差，并錯(cuò)位相減，即可構(gòu)造出等比數(shù)列，就能直接利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得問題的答案.

二、裂項(xiàng)相消法

對(duì)于分式數(shù)列，我們通常采用裂項(xiàng)相消法來求和. 在解題時(shí)，需從數(shù)列的通項(xiàng)公式入手，將數(shù)列的通項(xiàng)公式分裂成若干項(xiàng)，使得在求和的過程中，數(shù)列的前后幾項(xiàng)可以相互抵消，即可通過簡單的運(yùn)算求得數(shù)列的和.常見的裂項(xiàng)方式有：（1）an = b n（n + c） = b c （ 1 n - 1 n + c ） ；（2）an = ln n + 1 n = ln（n + 1） - ln n；（3）an = 1 n + 1 + n = n + 1 - n；（4） an = n - n！= （n + 1）！-n！ ；（5） an = n （n + 1）！ = 1 n！ - 1 （n + 1）！ ；（6） an = 1 n（n + 1）（n + 2） = 1 2 é ? êê 1 n（n + 1） - ù ? ú 1 （n + 1）（n + 2） .

例3

解：

由于數(shù)列的分母中都含有根式，所以先將分母有理化得 1 n + 1 + n = n + 1 - n .這樣就將數(shù)列的通項(xiàng)公式化為兩式之差的形式，利用裂項(xiàng)相消法即可快速求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例4

解：

由于數(shù)列 {bn} 是分式數(shù)列，所以考慮將數(shù)列 {bn} 的通項(xiàng)公式拆分為 1 （2n + 1）（2n + 3） = 1 2 × （ 1 2n + 1 - ） 1 2n + 3 ，這樣數(shù)列中間的部分項(xiàng) - 1 5 與 1 5 ，- 1 7 與 1 7 ，……便可以相互抵消，從而利用裂項(xiàng)相消法順利求得數(shù)列的和.

三、分組求和法

有些數(shù)列的通項(xiàng)公式比較復(fù)雜，但數(shù)列中的各項(xiàng)通過拆分、重組可以變?yōu)閹讉€(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列的和與差，此時(shí)就可以考慮運(yùn)用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.分別根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得各組數(shù)列的和，即可解題.

例5

解：

仔細(xì)觀察數(shù)列，可以發(fā)現(xiàn)2，4，…，2n為等差數(shù)列， 1 2 ，1 4 ，…，1 2n 是等比數(shù)列，于是分別根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求和，最后將兩個(gè)數(shù)列的和相加，即可求得原數(shù)列的前n項(xiàng)和.

由上述分析可以發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法的特點(diǎn)和適用范圍均不相同，同學(xué)們要仔細(xì)辨別并熟練掌握其應(yīng)用技巧.但無論運(yùn)用哪種方法解題，都要注意：（1）對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)公式或各項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如拆分、重組、裂項(xiàng)等；（2）仔細(xì)研究和式，通過變形、構(gòu)造等，將其化為易于求和的式子.

（作者單位：陜西省安康市漢陰縣漢陰中學(xué)）