如何求指數(shù)函數(shù)的值域

形如y=ax的函數(shù)被稱(chēng)為指數(shù)函數(shù).解答指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題，通常需靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的圖象、定義域、值域、性質(zhì)等.常見(jiàn)的指數(shù)函數(shù)值域問(wèn)題有求指數(shù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域、由函數(shù)的值域求參數(shù)的值（取值范圍）.下面結(jié)合實(shí)例，談一談這兩類(lèi)指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題的解法.

一、求指數(shù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域

求指數(shù)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域問(wèn)題比較常見(jiàn).解答此類(lèi)問(wèn)題，需靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和圖象.若底數(shù)agt;1，則函數(shù)f（x）=ax單調(diào)遞增，其圖象從左到右是上升的，函數(shù)在[b，c]上的值域?yàn)閇f（b），f（c）]；若底數(shù)0lt;alt;1，則函數(shù)f（x）=ax單調(diào)遞減，其圖象從左到右是下降的，函數(shù)在[b，c]上的值域?yàn)閇f（c），f（b）].

例1.已知函數(shù)y=x，0＜x≤1，則函數(shù)的值域

解：

該函數(shù)為分段函數(shù)，需分 -1 ≤ x ≤ 0 和 0＜x ≤ 1 兩種情況進(jìn)行討論，分別根據(jù)指數(shù)函數(shù) y = ? è ? ? 2 3 x 在區(qū)間 （0，1] 上的單調(diào)性以及冪函數(shù) y = x 2 3 在 [-1，0] 上的單調(diào)性來(lái)求函數(shù)的值域.

例2

解：

一般地，若函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，則可以直接將區(qū)間的端點(diǎn)值代入指數(shù)函數(shù)的解析式中，便可快速確定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的最大值和最小值，進(jìn)而求得函數(shù)的值域.

二、由指數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)的值（取值范圍）

由指數(shù)函數(shù)的值域求參數(shù)的值（取值范圍），需先明確參數(shù)對(duì)指數(shù)函數(shù)值的影響，以確定分類(lèi)討論的標(biāo)準(zhǔn)；然后將參數(shù)分成幾類(lèi)，分別討論不同情況下指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的值域或最大（小）值的表達(dá)式；最后列出關(guān)于參數(shù)的等式或不等式，即可解題.

例3

解：

我們需首先根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出函數(shù)的單調(diào)性；然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性討論當(dāng) a＞1 和 0＜a＜1 時(shí)兩種不同情況下的函數(shù)最值，據(jù)此建立關(guān)于參數(shù) a 的關(guān)系式.

例4

解：

由于參數(shù) a 為指數(shù)函數(shù) y = ax 的底數(shù)，所以該函數(shù)的單調(diào)性由 a 決定.于是將 a 分為 a＞1 和 0＜a＜1 兩種情況，分別根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求出函數(shù)的最小值，只要使其大于3，即可解題.

可見(jiàn)，解答指數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題，需要注意：（1）靈活運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；（2）明確 y = ax 的底數(shù) a 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的影響；（3）利用數(shù)形思想、分類(lèi)討論思想來(lái)輔助解題，這樣能有效地提升解題的效率.

（作者單位：山東省墾利第一中學(xué)）