靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，快速求解二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題

遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題的命題形式多樣.其中形如an + 1 = pan + qan - 1的二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題比較常見，且較為復(fù)雜.我們通常需靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為周期數(shù)列問題、等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題來求解，才能順利求得答案.

例題：

數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式可變形為an + 2 = λan + 1 - an，故數(shù)列{an}為二階線性遞推數(shù)列.解答本題，需靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為周期數(shù)列問題、等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題來求解.

一、轉(zhuǎn)化為周期數(shù)列問題

周期數(shù)列的每一項(xiàng)往往會(huì)按照一定的規(guī)律重復(fù)出現(xiàn)，因此只要確定數(shù)列的一個(gè)周期，即可確定周期數(shù)列的通項(xiàng)公式.當(dāng)遞推關(guān)系式an + 1 = pan + qan - 1中的系數(shù)p = q = -1，或p = 2、q = 1時(shí)，該數(shù)列是一個(gè)周期數(shù)列，那么問題就可以轉(zhuǎn)化為周期數(shù)列問題，即可通過計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)來求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：

雖然該遞推關(guān)系式較為復(fù)雜，但是我們通過迭代、變形，即可得出an + 3 = an，據(jù)此便可以判定當(dāng)λ = -1 時(shí)，數(shù)列{an}為周期數(shù)列，這樣問題就變得非常簡(jiǎn)單，求得數(shù)列的前三項(xiàng)即可解題.

二、轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題

等差數(shù)列是我們熟悉的數(shù)列，我們可以直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式來求數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于形如 an + 1 = pan + qan - 1的二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，若 p - 1 = -q ，我們可以將其變形為 an + 1 - （ p - 1）an = an - （ p - 1）an - 1，構(gòu)造出等差數(shù)列{an - （ p - 1）an - 1}，便能運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式問題.

解：

將遞推關(guān)系式變形為an + 2 - an + 1 = an + 1 - an，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義判定當(dāng)λ = 2時(shí)，數(shù)列{an}為等差數(shù)列，就能直接根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an.

三、轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題

對(duì)于形如an + 1 = pan + qan - 1的二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，我們可以運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題來求解.首先將遞推關(guān)系式變形為 an + 1 + kan = p（an + kan - 1），以構(gòu)造出等比數(shù)列{an + kan - 1}；然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得數(shù)列{an + kan - 1}的通項(xiàng)公式，即可求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：

當(dāng)λ = 5 2 時(shí)，由an + an + 2 = λan + 1可得2（an + 2 - 2an + 1） = an + 1 - 2an；當(dāng)λ = -2時(shí)，由an + an + 2 = λan + 1可得an + 2 + an + 1 = - （an + 1 + an），這樣便構(gòu)造出等比數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的通項(xiàng)公式問題來求解.

總之，在解答形如an + 1 = pan + qan - 1的二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式問題時(shí)，同學(xué)們要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的周期數(shù)列問題、等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題，以化繁為簡(jiǎn)，化難為易，提升解題的效率.

（作者單位：江蘇省常熟中學(xué)）