求解含參不等式恒成立問(wèn)題的三種措施

常見(jiàn)的含參不等式恒成立問(wèn)題有：（1）根據(jù)恒成立的不等式求參數(shù)的取值范圍；（2）證明含參不等式在某種情形下恒成立.解答含參不等式恒成立問(wèn)題，需靈活運(yùn)用不等式、方程、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí).下面結(jié)合實(shí)例，來(lái)探討一下求解含參不等式恒成立問(wèn)題的三種措施.

一、分離參數(shù)

在解答含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，我們通?？梢圆捎梅蛛x參數(shù)法，將不等式中的參數(shù)分離出來(lái)，將不等式變形為a ≤ f （x）或a ≥ f （x）的形式，那么只要確保 a ≤ f （x） min或a ≥ f （x） max，就能確保不等式恒成立.再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、圖象、極值，基本不等式求得函數(shù) f （x）的最值，即可解題.

例1

解：

我們要首先將不等式變形，使得參數(shù)與變量分離，即m ≥ （x - 2）ex + ln x - x；然后令G（x） = （x - 2）ex + ln x - x，x∈ ? è ? ? 1 4 ，1 ，這樣就將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m ≥ G（x） max在 ? è ? ? 1 4 ，1 上恒成立的問(wèn)題；再通過(guò)二次求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)G（x）的單調(diào)性，求得函數(shù)G（x）的極值，即可得到m的最小值.

例2

解：

首先將參數(shù)分離，將不等式變形為ln a ≥ ln（x + 2） -x，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明ln a ≥ g（x）在（-2，+∞）上恒成立；然后對(duì)函數(shù)g（x）求導(dǎo)，討論函數(shù)在（-2，-1）和（-1，+∞）上的單調(diào)性，即可根據(jù)極值的定義求得函數(shù)的極大值，進(jìn)而找到使不等式恒成立的a的取值范圍.

運(yùn)用分離參數(shù)法解答含參不等式恒成立問(wèn)題，關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行合理的變形，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題來(lái)求解.

二、分類(lèi)討論

對(duì)于含有參數(shù)的問(wèn)題，通?？梢圆捎梅诸?lèi)討論法來(lái)求解.在運(yùn)用分類(lèi)討論法求解含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，我們要先確定對(duì)不等式兩端式子的取值有影響的因素，如二次項(xiàng)的系數(shù)，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)等；然后分幾種不同的情況進(jìn)行討論；最后綜合所有的結(jié)果.

例3

解：

仔細(xì)研究可以發(fā)現(xiàn)，參數(shù)a為不等式 f （x） ≤ 0的二次項(xiàng)系數(shù)，導(dǎo)函數(shù) f′（x） = 1 x - 2ax的一次項(xiàng)系數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)中含有參數(shù)a，那么a的正負(fù)、a與1 2的大小關(guān)系都能影響 f （x）的取值，于是將參數(shù)a分為a ≤ 0、 0＜a＜1 2、a ≥ 1 2三種情況進(jìn)行討論.

在運(yùn)用分類(lèi)討論法解題時(shí)，要明確分類(lèi)的對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)，做到不重復(fù)不遺漏任何分類(lèi)情況.

三、變更主元

一般情況下，不等式、函數(shù)、方程問(wèn)題中的變量為x、y、z，參數(shù)為a、b、c等.但有些問(wèn)題中參數(shù)的取值或取值范圍是已知的，為了證明不等式恒成立，或求得變量x、y、z的取值或范圍，往往需采用變更主元法，將變量x、y、z視為參數(shù)，將a、b、c等視為變量，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于新變量的簡(jiǎn)單初等基本函數(shù)問(wèn)題、方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題，通過(guò)討論簡(jiǎn)單基本函數(shù)的單調(diào)性、方程的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)求得問(wèn)題的答案.

例4.已知對(duì)于任意的m∈[-2，2]，不等式2x-1gt;m（x2-1）恒成立，求x的取值范圍.

解：

我們首先將不等式變形，并設(shè) f （m）= -（x 2 - 1）m + 2x -1，m ∈[- 2，2]，即可構(gòu)造出自變量是m的一次函數(shù).而一次函數(shù)具有單調(diào)性，所以只要確保{ f （-2）gt; 0， f （2）gt; 0， 即可確保 f （m）gt; 0.那么我們只需要解不等式組，即可求得問(wèn)題的答案.

通過(guò)上述分析可知，分離參數(shù)法、分類(lèi)討論法和變更主元法的特點(diǎn)、適用范圍以及應(yīng)用技巧都有所不同，同學(xué)們要注意辨別并熟練掌握這三種方法.這樣在后期遇到含參不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，能信手拈來(lái)，從容應(yīng)對(duì).

（作者單位：甘肅省隴南市宕昌縣第一中學(xué)）