用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解公切線問題的步驟

公切線是兩條曲線的公共切線.常見的公切線問題主要有：求曲線的公切線的方程、斜率.通常，我們需根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y = f （x）在x = x 0處的導(dǎo)函數(shù) f ′ （x0）是曲線在該點處切線的斜率，即k = f ′ （x0）來解答公切線問題.

用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解兩條曲線y = f （x）與y = g（x） 的公切線問題的步驟為：

1. 設(shè)兩條曲線上的兩個切點分別為 P（x1，y1）、 Q（x2，y2），此時這兩個點的坐標(biāo)滿足兩條曲線的方程，即y1 = f （x1）、y2 = f （x2）；

2.根據(jù)求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則對兩條曲線的方程求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得公切線的斜率為 k = f′（x1）= f′（x2）；

3.由點P、Q的坐標(biāo)求出公切線的方程y = f′（x1）· （x - x1）+ f （x1），y = g′（x2）（x - x2）+ g（x2）；

4.由于這兩條直線都是公切線，則這兩條直線重合，那么兩條直線的斜率、截距相同，據(jù)此建立關(guān)系式即可解題.

下面舉例加以說明.

例1

解：

先設(shè)出兩個切點的坐標(biāo)；然后對兩條曲線的方程求導(dǎo)，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率和方程，據(jù)此建立關(guān)于x1 、x2的方程組，進而通過解方程組求得問題的答案.

例2

解：

運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，關(guān)鍵是要對曲線的方程求導(dǎo)，將其在切點處的導(dǎo)函數(shù)視為切線的斜率，并根據(jù)直線的點斜式方程求得切線的方程.

例3

解：

仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)C1：x 2 + y2 = 2為圓，則由圓與切線的位置關(guān)系可知，圓心到切線的距離等于半徑，所以只需求得曲線C2的切線方程.于是設(shè)曲線C2上的切點為（x0，e ） x0 + 1 ，并對曲線C2的方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率和方程，即可根據(jù)點到直線的距離公式解題.

運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解答公切線問題，非常便捷. 但要注意三點：（1）先要將曲線的方程化簡，再對其求導(dǎo)，這樣能簡化運算；（2）明確兩條曲線的公切線的斜率、截距相等；（3）切點既在曲線上，也在切線上，即切點的坐標(biāo)滿足切線和曲線的方程.

（作者單位：山東省臨沂第一中學(xué)）