談?wù)劻秧?xiàng)相消法的應(yīng)用技巧

裂項(xiàng)相消法是求數(shù)列和的重要方法.裂項(xiàng)相消法主要適用于求解通項(xiàng)公式可以裂為兩項(xiàng)之差的數(shù)列求和問題.運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，需把數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差，這樣在求和時(shí)，中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算求得數(shù)列的和.如何裂項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.下面結(jié)合實(shí)例進(jìn)行探討.

例1

解：

若數(shù)列通項(xiàng)公式的分母為等差數(shù)列前后項(xiàng)的乘積，如bn = 1 an an + 1 ，其中{an}為等差數(shù)列，則可以采用裂項(xiàng)相消法來(lái)求數(shù)列的和.首先將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)： 1 an an + 1 = 1 [a1 +（n - 1）d]·（a1 + nd） = 1 d é ? ê ù ? ú 1 a1 +（n - 1）d - 1 a1 + nd ， 這樣在求和時(shí)，中間的大部分項(xiàng)都能夠互相抵消，只剩下前幾項(xiàng)、后幾項(xiàng)；然后通過(guò)化簡(jiǎn)求得問題的答案.

例2

證明：

該數(shù)列通項(xiàng)公式的分母為根式，且根號(hào)下的數(shù)均為自然數(shù)，于是將其通項(xiàng)公式 1 n進(jìn)行放縮，并進(jìn)行分母有理化，使其可以裂為兩項(xiàng)之差的形式2（ n + 1 - n）、 2（ n - n - 1），這樣數(shù)列各項(xiàng)的分母中就不含有根式，且除了首尾兩項(xiàng)，其他含有根號(hào)的式子便會(huì)通過(guò)正負(fù)相加抵消，從而順利求得數(shù)列的和.

例3

解：

數(shù)列{ln an}的通項(xiàng)公式為對(duì)數(shù)式，需要根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則logc b a = logcb - logca將數(shù)列的通項(xiàng)公式化為兩項(xiàng)之差的形式，這樣便可以通過(guò)將各項(xiàng)累加、正負(fù)抵消，達(dá)到求和的目的.

例4

解：

對(duì)于含有指數(shù)式的數(shù)列ì í ? ü y t （k - 1）kn （kn + t）（kn + 1 + t） ，通常要將分子、分母同時(shí)乘以或除以某個(gè)指數(shù)式，將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂為兩項(xiàng)之差，如： 2n （2n + b）（2n + 1 + b） = 1 2n + b - 1 2n + 1 + b 、 4n （4n - 1）（4n + 1 - 1） = 1 3 ? è ? ? ? ÷ 1 4n - 1 - 1 4n + 1 - 1 、 n + 2 n（n + 1）·2n + 1 = 1 n·2n - 1 （n + 1）2n + 1.

總之，運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，需注意以下幾點(diǎn)：（1）仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，將數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行合理的裂項(xiàng)；（2）在裂項(xiàng)后，需確保和式中的大部分項(xiàng)能夠相互抵消；（3）在消項(xiàng)時(shí)，要多列出幾項(xiàng)，以便找出消項(xiàng)的規(guī)律.

（作者單位：西華師范大學(xué)）