如何解答二元最值問題

二元最值問題常與函數(shù)、不等式、方程、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合.要想解答此類問題，同學(xué)們需具備扎實(shí)的運(yùn)算功底和良好的邏輯推理能力，掌握一些常用的解題技巧.本文結(jié)合幾道例題，談一談解答二元最值問題的三種途徑.

一、利用基本不等式

基本不等式：≤，其中agt;0、bgt;0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立.基本不等式是解答二元最值問題的重要方法.在求二元最值時(shí)，往往需通過湊系數(shù)、湊分子、進(jìn)行“1”的代換等方式將代數(shù)式配湊為兩式的和或積，并使其中之一為定值.最后還需檢驗(yàn)等號成立的條件是否滿足題意.

例1.已知xgt;0，ygt;0，2x+y+xy=4，求2x+y的最小值.

解：

使用基本不等式求最值時(shí)，要把握三個(gè)前提條件：一正、二定、三相等，必要時(shí)還可以將基本不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，如a2+b2≥2ab、a+b≥2、≤、≥3.

二、運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)

對于含有平方式的二元最值問題，通?？蓪⑵渑c三角恒等式sin2θ+cos2θ=1關(guān)聯(lián)，分別令兩個(gè)變量x=rcosθ，y=rsinθ.這樣就可以建立兩個(gè)變量之間的聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的三角函數(shù)最值問題，利用正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性和單調(diào)性來求其最值.

例2.已知x2+y2=1，求2x+3y的最值.

解：

將平方式與同角的三角函數(shù)關(guān)系式關(guān)聯(lián)起來，令x=cosθ、y=sinθ，即可通過三角換元，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，利用正弦函數(shù)的有界性求得最值.值得注意的是：在換元后，往往要將目標(biāo)式化為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子，這樣便于直接根據(jù)三角函數(shù)的有界性和單調(diào)性求得最值.

三、運(yùn)用方程思想

運(yùn)用方程思想解答二元最值問題，通常要根據(jù)已知關(guān)系式用一個(gè)變量表示另一個(gè)變量，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于其中一個(gè)變量的方程或方程組，再根據(jù)方程的判別式、根的分布情況來求目標(biāo)式的取值范圍.

例3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是.

解：

先將已知關(guān)系式進(jìn)行變形，用x表示y，即可將目標(biāo)式化為關(guān)于x的二次式；然后將該式視為關(guān)于x的一元二次方程，討論方程的根的判別式、分布情況，即可建立關(guān)系式，從而求得最值.

可以看出，上述三種途徑各有自身的優(yōu)勢和特點(diǎn)，且適用的情形均有所不同.大家在解題時(shí)需抓住關(guān)鍵點(diǎn)：“二元”以及“最值”，將問題進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，以使問題變得簡單、易于求解.

（作者單位：江西省寧都中學(xué)）