例談解答二面角問題的三種路徑

二面角問題經(jīng)常出現(xiàn)在立體幾何試題中.常見的二面角問題主要有：（1）求二面角的大??；（2）求二面角的取值范圍；（3）證明兩個平面垂直.解答二面角問題的方法很多，常用的路徑主要有三種：采用建系法、定義法、三垂線法.本文將結(jié)合例題來談一談如何用這三種路徑求解二面角問題.

一、建立坐標(biāo)系

對于規(guī)則的幾何圖形，通常采用建系法來求二面角.首先尋找或作出三條互相垂直且交于一點的直線，并將其視為三條坐標(biāo)軸；然后根據(jù)已知條件用向量表示出各個點、直線、平面；再根據(jù)夾角公式來求二面角的大小.

例1.已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=AC=1，BC=2，求二面角A-PB-C的大小.

解：

在建立空間直角坐標(biāo)系時，要合理選擇坐標(biāo)原點，使更多的點落在坐標(biāo)軸上，必要時可以作出垂線，將其視為坐標(biāo)軸.

二、運用定義法

我們知道，二面角的大小即為其平面角的大小.運用定義法求解二面角問題，需根據(jù)二面角的平面角的定義，在二面角的棱上選取一點，過該點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的垂線，即可將兩條垂線的夾角視為二面角的平面角；然后構(gòu)造三角形，利用三角形的性質(zhì)、正余弦定理、勾股定理求出平面角的大小.

例2.

解：

定義法是解答二面角問題的基本方法.在求二面角的大小時，往往首先考慮定義法，只要找出二面角的平面角，就可以快速求得問題的答案.

三、構(gòu)造三垂線

運用三垂線法求二面角的大小，需先找出一個半平面的垂線，確定平面外一點在平面內(nèi)的射影；然后過射影點、平面外一點作二面角的棱的垂線，由三垂線定理可知這兩條垂線的夾角即是二面角的平面角；再根據(jù)勾股定理求解，即可求得二面角的平面角的大小.

例3.

解：

我們根據(jù)圖形的特征作出點A在平面PBC內(nèi)的投影為點H，連接AH、OH，即可構(gòu)造出三垂線，進(jìn)而快速確定二面角A-PB-C的平面角.

總的來說，在解答二面角問題時，要根據(jù)圖形的特征合理添加輔助線，以構(gòu)造出合適的空間直角坐標(biāo)系、三垂線、二面角的平面角，從而將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量問題、平面幾何問題來求解.

（作者單位：山東省鄒平市黃山中學(xué)）