求含有根式的函數(shù)值域的幾個(gè)“妙招”

對(duì)于一些常見的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等，我們可以直接根據(jù)簡(jiǎn)單基本函數(shù)的單調(diào)性和定義域求出函數(shù)的值域.但是，對(duì)于一些含有根式的函數(shù)，我們就需要運(yùn)用一些方法、技巧來(lái)求函數(shù)的值域.本文將介紹幾個(gè)求含有根式的函數(shù)值域的“妙招”，供大家參考.

一、局部換元

在求含有根式的函數(shù)值域時(shí)，可以將根式或根號(hào)下的式子用一個(gè)新元替換，通過(guò)局部換元，將函數(shù)式中的根號(hào)去掉，這樣便可以直接根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求得函數(shù)的值域.

例1.求函數(shù)y=+的值域.

解：令u=，則x=u2+1，

所以y=+=u+.

由于x≥1，所以u(píng)≥0.

又y=u+在u≥0時(shí)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)u=0時(shí)y取得最小值，且y的最小值為ymin=，

所以函數(shù)的值域?yàn)閇，+∞）.

先令u=，即可將函數(shù)式化為關(guān)于u的式子；再討論函數(shù)y=u+的單調(diào)性，便可根據(jù)其單調(diào)性快速求得函數(shù)式的最小值；然后判斷出函數(shù)的變化趨勢(shì)，就能求得函數(shù)的值域.在進(jìn)行局部換元的過(guò)程中，要關(guān)注換元前后的式子的取值范圍，確保二者是等價(jià)的.

二、三角換元

三角換元法是求含有根式函數(shù)值域的重要方法.在解題時(shí)，通常需要根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式sin2 x+cos2 x=1進(jìn)行換元，可令根號(hào)下的式子為sin x、cos x、msin x、ncos x等，以去掉根號(hào)，這樣便將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，根據(jù)正余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)性就能順利求得最值.

例2.求函數(shù)y=+的值域.

解：令x2=sin 2t，

由0≤x2≤1知0≤t≤

所以y=+

=|cos t-sin t|+|sin t+cos t|=2 cost.

則y=2 cost在[0，]上是減函數(shù)，

所以當(dāng)t=0時(shí)，y取得最大值ymax=2，

當(dāng)t=時(shí)，y取得最小值ymin=，

所以函數(shù)的值域?yàn)閇，2].

令x2=sin 2t，便可通過(guò)三角換元將函數(shù)式化為三角函數(shù)式，再討論函數(shù)的單調(diào)性以及新函數(shù)的定義域，就能根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域.在進(jìn)行三角換元時(shí)，要將根式與三角函數(shù)關(guān)系式sin2 x+cos2 x=1關(guān)聯(lián)起來(lái)，選取合適的式子進(jìn)行換元.

三、構(gòu)造向量

在求含有根式函數(shù)的值域時(shí)，我們可以將根式視為某個(gè)向量的模，據(jù)此來(lái)構(gòu)造出向量，利用向量的模的公式、數(shù)量積公式、向量不等式來(lái)求函數(shù)式的最值.運(yùn)用向量法解題，需熟悉向量的幾何意義，并據(jù)此構(gòu)造出幾何圖形，通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)解題.

例3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+（y-2）2=1，求ω=的值域.x+y

解：

將視為一個(gè)向量的模，構(gòu)造出向量==（x，y），==（1，），據(jù)此畫出幾何圖形，便可以將問題轉(zhuǎn)化為求圖形中∠MON的取值范圍問題；再研究圖形中M、N的位置關(guān)系，即可根據(jù)直線的斜率公式和圓的性質(zhì)解題.

上述三個(gè)求含有根式的函數(shù)值域的“妙招”各有優(yōu)點(diǎn)，且適用情形均有所不同，同學(xué)們需仔細(xì)研究，并總結(jié)出一般性的解題規(guī)律.

（作者單位：安徽省泗縣第二中學(xué)）