談?wù)剶?shù)列不等式的幾種證法

數(shù)列不等式證明題常與數(shù)列、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識相結(jié)合.這類問題具有較強(qiáng)的綜合性且難度較大，對同學(xué)們的推理和運(yùn)算能力有較高的要求.本文主要介紹證明數(shù)列不等式的三種方法供同學(xué)們參考.

一、放縮法

放縮法是證明數(shù)列不等式的基本方法.通常要將數(shù)列的通項(xiàng)公式或數(shù)列的前n項(xiàng)和進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，以順利證明不等式.若很難求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，則可以先將數(shù)列的通項(xiàng)公式放縮為兩項(xiàng)之差或幾個(gè)等差、等比、常數(shù)列的和、差、積、商；再運(yùn)用裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、分組求和法等求和方法求出數(shù)列的前n項(xiàng)和；最后通過添加一些項(xiàng)或舍棄一些項(xiàng)，將數(shù)列的和式放縮，從而達(dá)到證明不等式的目的.

例1.證明：1+++…+lt;2（n∈N*）.

證明：

不等式左邊各項(xiàng)的分母都是自然數(shù)的平方，這樣的數(shù)列不方便求和，于是將 1 n2 放大為 1 n（n - 1） ，而 1 n（n - 1）可裂項(xiàng)為 1 n - 1 - 1 n，即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，最后舍棄- 1 n，以將和式放縮，從而證明結(jié)論.

例2

證明

先將數(shù)列的通項(xiàng)公式放縮；然后裂項(xiàng)，即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求得數(shù)列的前n項(xiàng)和；最后將和式放縮即可.值得注意的是，我們需保持前兩項(xiàng)不變，從第3項(xiàng)開始放縮，才能順利證明結(jié)論.這也就是說，在證明數(shù)列不等式時(shí)，要注意適度放縮代數(shù)式，不可“放”得過大，也不能“縮”得太小，要密切關(guān)注目標(biāo)式的取值范圍，通過多次嘗試，找到合適的放縮方向和幅度.

例3

證明

該不等式涉及了根式，我們無法直接求和，于是先將 1 n 放縮為 2 n - 1 + n ；再將其裂項(xiàng)為 2 n - 1 + n = 2（ n - n - 1），即可運(yùn)用裂項(xiàng)相消法、放縮法，達(dá)到證明不等式的目的.

二、函數(shù)最值法

數(shù)列可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù).因此，對于一些較復(fù)雜的數(shù)列不等式問題，我們可以通過構(gòu)造合適的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題來求解.在解題時(shí)，往往要將數(shù)列的前n項(xiàng)和視為關(guān)于n的函數(shù)式，再通過討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，來證明不等式.

例4

解：

運(yùn)用函數(shù)最值法證明數(shù)列不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出合適的函數(shù)，以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、最值證明不等式.對于本題，我們直接根據(jù) f （x）= 2x ln x - x 2 + 1的單調(diào)性求得函數(shù)的最大值，據(jù)此建立不等式? è ? ? ln k + 1 k 2 lt; 1 k - 1 k + 1 ，進(jìn)而根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明不等式.

三、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法一般用來解答與正整數(shù)n有關(guān)的問題，而數(shù)列正好是以正整數(shù)n為自變量的函數(shù)，因此對于一些數(shù)列不等式問題，我們可以用數(shù)學(xué)歸納法求解. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解答數(shù)列不等式問題，要先證明當(dāng) n = n0時(shí)，不等式成立；然后假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)不等式成立，由此證明當(dāng)n = k + 1時(shí)，不等式仍然成立，從而說明對一切正整數(shù)n（n ∈ N ） ? ，n ≥ n0 不等式都成立.

例5

證明

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式，需按照上述兩個(gè)步驟進(jìn)行.首先證明當(dāng)n = 1時(shí)不等式成立；然后假設(shè)當(dāng)n = k時(shí)不等式成立，證明當(dāng)n = k + 1時(shí)不等式也成立. 由當(dāng)n = k時(shí)的不等式證明當(dāng)n = k + 1時(shí)的不等式，往往需要將當(dāng)n = k時(shí)的不等式與當(dāng)n = k + 1時(shí)的不等式進(jìn)行對比，找出二者的異同，以明確證明的方向和目標(biāo).

例6

證明

在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式時(shí)，要以當(dāng)n = k 時(shí)的不等式為依據(jù)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)、重要不等式來放縮代數(shù)式，以逐步向當(dāng)n = k + 1時(shí)的不等式靠攏.

證明數(shù)列不等式的方法很多，其中放縮法、函數(shù)最值法比較常用，而數(shù)學(xué)歸納法較為繁瑣，一般只適用于證明較為復(fù)雜的數(shù)列不等式.在解題時(shí)，我們可以先考慮運(yùn)用放縮法、函數(shù)最值法兩種方法來證明數(shù)列不等式，若用這兩種方法求解比較困難，則再考慮運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法.

（作者單位：山東省聊城市茌平區(qū)職業(yè)教育中心學(xué)校）