用設而不求法解答隱零點問題的思路

函數(shù)的零點問題主要分為兩類：一類是“顯零點”問題，這類問題中函數(shù)的零點值我們能輕松求得；另一類是“隱零點”問題，這類問題中函數(shù)的零點是存在的，但是零點值我們往往很難求出.隱零點問題通常較為復雜，我們往往需采用設而不求法，通過設參、變形、放縮、整體代換、構(gòu)造函數(shù)等方式來求得問題的答案.

用設而不求法求解隱零點問題的思路如下：

①用函數(shù)的零點存在性定理判斷出函數(shù)零點的存在性，設出隱零點x0，列出方程f（x0）=0，并根據(jù)該關(guān)系式確定隱零點的取值范圍；

②以隱零點x0為分界點，將函數(shù)的定義域劃分為幾個子區(qū)間，并根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系判斷出函數(shù)在各個子區(qū)間上的單調(diào)性；

③根據(jù)極值的定義求得函數(shù)的極值，據(jù)此求得函數(shù)f（x）最值的表達式；

④將有關(guān)零點的方程進行適當?shù)淖冃危ㄟ^整體代換，化簡函數(shù)f（x）最值的表達式，得出結(jié)論.

下面舉例加以說明.

例1.已知函數(shù)fx=x+aln x-ex-1a∈R.

（1）當a=0時，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）若f（x）gt;0在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍.

解：（1）當a=0時，f（x）=xlnx-e（x-1），

則f′（x）=ln x-（e-1），

由f′（x）gt;0得xgt;ee-1；由f′（x）lt;0得0lt;xlt;ee-1，

所以f（x）在ee-1，+∞上單調(diào)遞增，在0，ee-1上單調(diào)遞減.

（2）因為f（x）gt;0在（1，+∞）上恒成立，

所以f（e）gt;0，即agt;e2-2e.

下面證明當agt;e2-2e時，f（x）gt;0在（1，+∞）上恒成立.

f（x）=（x+a）ln x-e（x-1）gt;x+e2-2eln x-e（x-1），

令px=x+e2-2eln x-ex-1xgt;1，

要證f（x）gt;0在（1，+∞）上恒成立，只需證p（x）≥0在（1，+∞）上恒成立.

而p′x=ln x++1-ex≥1，

設m（x）=ln x++1-e，則m′（x）=，

令m′（x）=0，得x=e2-2e，

對于含有對數(shù)式的函數(shù)式，通常需運用導數(shù)法來判斷其單調(diào)性.解答本題，需多次構(gòu)造函數(shù)并求導，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性.而判斷導函數(shù)符號的關(guān)鍵在于尋找“零點”，其中p′（x）的零點是“隱零點”，需要設出零點x1，根據(jù)零點存在性定理找到x1所在的區(qū)間，進而根據(jù)導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系來判斷函數(shù)在各個區(qū)間上的單調(diào)性，從而求得最值，建立關(guān)于參數(shù)a的不等關(guān)系式.

例2

解：

要求得m的取值范圍，需先將參數(shù)與變量分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.對函數(shù)求導，令φ（x） = x - 3 +ln x，根據(jù)φ（x）的單調(diào)性和零點存在性定理即可判定 φ（x）存在隱零點，于是設出隱零點，得到隱零點所滿足的方程 ln x0 = 3 - x0 ，即可根據(jù) h（x）的單調(diào)性求得 h（x） min ，由此求得m的取值范圍.

例3

解：

對于問題（2），我們需先把不等式g（x） ≤ 0恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)g（x）的最大值小于或等于零的問題；然后運用導數(shù)法，根據(jù)g（x）的單調(diào)性求出函數(shù)g（x） 的最大值.而g（x）的導函數(shù)h（x）的零點不可求，于是采用設而不求法，先設出隱零點，利用有關(guān)隱零點方程 h（x0） = 2 - ax0e x0 - 1 = 0進行代換、化簡，從而求得g（x）的最大值.

雖然隱零點問題的難度較大，但是我們只要靈活運用設而不求法，合理設出隱零點，根據(jù)導函數(shù) f （x）的單調(diào)性和零點存在性定理，得到 f （x）的隱零點x0滿足的方程 f （x0）= 0，然后結(jié)合零點方程 f （x0）= 0化簡 f （x）的最值，就能順利求得問題的答案.

（作者單位：江蘇省天一中學宛山湖分校）