解答平面向量數(shù)量積問題的幾種方法

平面向量數(shù)量積問題注重于考查同學(xué)們對數(shù)量積定義的理解程度以及進行向量運算的熟練程度.求解平面向量數(shù)量積問題常用的方法主要有基底法、利用向量數(shù)量積的幾何意義、定義法等.下面結(jié)合實例作詳細的介紹.

方法一：基底法

運用基底法解題，需先根據(jù)幾何圖形和已知關(guān)系式選取合適的向量作為基底；然后根據(jù)平面向量的基本定理，即如果 e1 、 e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1 、λ2，使a= λ1 e1 + λ2 e2，用基底表示出其他向量；再通過向量的加減法、數(shù)乘運算，利用向量的數(shù)量積定義求得問題的答案.

例1

解：

題目中涉及的向量較多，而 e1 、 e2為單位向量，于是以這兩個向量為基底，表示出b ，將問題轉(zhuǎn)化為求 e1 、 e2 夾角的余弦值問題.運用基底法解答數(shù)量積問題，要選取合適的基底，通?？梢砸砸阎笮』驃A角的向量為基底，這樣便于計算.

方法二：利用向量數(shù)量積的幾何意義

向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的模與另一個向量在這個向量方向上的投影的乘積.根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，可以將向量積問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形中線段的乘積問題來求解.

例2

解：

利用向量的幾何意義求解向量的數(shù)量積問題，不僅可以避免一些復(fù)雜的運算，還能以更加直觀的方式快速獲解.

方法三：定義法

定義法是解答向量數(shù)量積問題的基本方法.在解題時，要先根據(jù)題目中的條件和幾何圖形明確向量的方向、夾角；然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義：a?b = |a|?|b |? cos lt;a，b gt;求解.

例3

解：

在運用定義法解題時，要先找出兩個向量的公共點，這樣便于快速根據(jù)圖形找到兩個向量的夾角.

總之，解答向量的數(shù)量積問題，同學(xué)們不僅要掌握并靈活運用向量數(shù)量積的定義和向量運算法則，還要學(xué)會結(jié)合題目中向量之間的數(shù)量關(guān)系、幾何關(guān)系來選擇合適的方法，以提升解題的效率.

（作者單位：廣西河池高級中學(xué)）