抓住數(shù)列的特點(diǎn)，選用合適的方法求數(shù)列的和

數(shù)列求和問(wèn)題注重考查同學(xué)們對(duì)等差和等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的掌握程度. 在解答此類問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們需先仔細(xì)觀察數(shù)列，抓住數(shù)列的特點(diǎn)；再考慮選用合適的方法來(lái)提升解題的效率.本文將結(jié)合幾道例題，談一談解答數(shù)列求和問(wèn)題的幾種方法.

一、裂項(xiàng)相消法

對(duì)于分式數(shù)列，通?？梢試L試采用裂項(xiàng)相消法來(lái)求和.首先將數(shù)列的通項(xiàng)公式拆分為兩項(xiàng)之差的形式；然后將數(shù)列的前n項(xiàng)相加，其中互為相反數(shù)的項(xiàng)可以相互抵消，即可通過(guò)化簡(jiǎn)順利求得數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例1

解：

運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，要仔細(xì)研究數(shù)列的通項(xiàng)公式，可通過(guò)取倒數(shù)、取對(duì)數(shù)、湊分子、分母有理化等方式將其裂項(xiàng).

二、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法適用于求形如{anbn（} 其中{an}、{bn}是等差和等比數(shù)列）的數(shù)列的前n項(xiàng)和.先把數(shù)列的前n 項(xiàng)和式寫(xiě)出來(lái)；然后在和式的左右同乘以等比數(shù)列的公比q；再將q的次數(shù)相同的項(xiàng)對(duì)齊并相減，即可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問(wèn)題；最后根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行簡(jiǎn)化即可.

例2

解：

運(yùn)用錯(cuò)位相減法解題，運(yùn)算量較大，同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要謹(jǐn)慎計(jì)算，必要時(shí)要進(jìn)行檢驗(yàn)，以提高計(jì)算的準(zhǔn)確度.

三、分組求和法

若數(shù)列的各項(xiàng)可以拆分、重組為幾個(gè)等差數(shù)列、等比數(shù)列的和差，則可以采用分組求和法解題.我們需仔細(xì)觀察數(shù)列的通項(xiàng)公式，研究數(shù)列各項(xiàng)之間的關(guān)系，對(duì)其進(jìn)行合理的拆分，以根據(jù)等差、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和公式解題.

例3

解：

數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式為Sn = 2n + 1 + n - 2，可將其拆分、重組為等比數(shù)列{2 } n + 1 和等差數(shù)列{n - 2}的前n項(xiàng)和，這樣就能直接運(yùn)用分組求和法解題.

解答數(shù)列求和問(wèn)題的方法很多，除了上述三種方法，還有并項(xiàng)求和法、公式法等.同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中要熟悉并學(xué)會(huì)運(yùn)用這些常用的求和方法，這樣在考試中才能信手拈來(lái)、應(yīng)用自如.

（作者單位：江蘇省南通市海門(mén)四甲中學(xué)）