由一道題談分式三角函數(shù)值域的求法

分式三角函數(shù)值域問題比較常見.這類問題側(cè)重于考查三角函數(shù)的單調(diào)性、有界性、圖象等的應(yīng)用.有些問題中的分式三角函數(shù)式較為復(fù)雜，無法直接利用三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)解題，此時(shí)我們需將函數(shù)式進(jìn)行變形、構(gòu)造，將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，才能順利求得問題的答案.下面結(jié)合實(shí)例，探討形如 f （x） = a sin x + b c cos x + d的分式三角函數(shù)值域的求法.

例題：

該函數(shù)式為分式三角函數(shù)式，其中涉及了正余弦函數(shù)式，可以從如下兩個(gè)角度來尋找解題的思路.

一、利用三角函數(shù)的有界性

對(duì)于較為復(fù)雜的分式三角函數(shù)值域問題，通常需先根據(jù)函數(shù)式確定函數(shù)的定義域；然后令函數(shù)式為y，將分式化為整式；再運(yùn)用誘導(dǎo)公式、輔助角公式、二倍角公式等將函數(shù)式化簡為只含有一種三角函數(shù)名稱的式子；最后根據(jù)正弦、余弦、正切函數(shù)的有界性來建立關(guān)于y的不等式，解該不等式即可求得函數(shù)的值域.

解：

首先將分式三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為整式；再利用輔助角公式將整式化簡為只含有正弦函數(shù)的式子；然后根據(jù)正弦函數(shù)的有界性來約束y的取值，即可順利求得y 的取值范圍.運(yùn)用該方法解題的關(guān)鍵在于將分式化為整式，通過求得三角函數(shù)式的最值建立關(guān)于y的不等式.

二、數(shù)形結(jié)合

在解答代數(shù)問題受阻時(shí)，我們往往要轉(zhuǎn)換解題的思路，根據(jù)代數(shù)式的幾何意義來繪制幾何圖形，將問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過數(shù)形結(jié)合來求得問題的答案. 在解題時(shí)，要建立代數(shù)式與幾何圖形之間的聯(lián)系，構(gòu)造出合適的幾何圖形，通過研究圖形中點(diǎn)、直線、曲線的位置關(guān)系，求得分式三角函數(shù)的值域.

解：

首先將分式三角函數(shù)式變形為 f （x） = 3 2 ? sin x - 1 3 cos x + 3 2 ，由此可以聯(lián)想到直線的斜率公式，于是設(shè)點(diǎn) P（cos x，sin x），A? è ? ? - 3 2 ， 1 3 ，那么問題就轉(zhuǎn)化為求定點(diǎn) A 與單位圓x 2 + y2 = 1上任意一點(diǎn)的連線的斜率問題.再根據(jù)直線與圓相切的位置關(guān)系建立方程，即可根據(jù)一元二次方程的判別式求得問題的答案.

總之，解答分式三角函數(shù)問題需注意：（1）靈活運(yùn)用三角函數(shù)的基本公式進(jìn)行三角恒等變換；（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想；（3）將函數(shù)式進(jìn)行合理的變形、構(gòu)造，以將問題轉(zhuǎn)化為不等式、幾何問題來求解；（4）靈活運(yùn)用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì).

（作者單位：安徽省宿城第一中學(xué)）