解答直線與圓的位置關(guān)系問題的幾種途徑

直線與圓的位置關(guān)系問題經(jīng)常出現(xiàn)在解析幾何試題中.直線與圓的位置關(guān)系有三種：相切、相交、相離.解答此類題目，我們可以從幾何和代數(shù)兩個角度入手來尋找解題的思路.下面，筆者將結(jié)合幾道典型例題，談一談解答此類問題的三種途徑.

一、采用幾何法

采用幾何法求解直線與圓的位置關(guān)系問題，需先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形；然后嘗試移動直線或者圓的位置，找到直線與圓相切、相交、相離的三種位置關(guān)系；再根據(jù)圓心到直線的距離、圓的半徑之間的大小關(guān)系來建立關(guān)系式.

例1.已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=2上至少有3個點到直線l：x+y+m=0的距離為1，求參數(shù)m的取值范圍.

解：由C：（x-1）2+（y-2）2=2可知圓的圓心為C（1，2），由點到直線的距離公式可得：

圓心C到直線l的距離d=.

由圖1可知，要使圓C上至

少有3個點到直線l的距離為1，

需使〈?（ì）d（d）1（1），，

即（解）3（≤）|-1 1，圖1

解得-5+≤m≤-1-，所以參數(shù)m的取值范圍是[-5+，-1-].

在借助圖形解題時，要關(guān)注直線與圓相切時的情形.該情形較為特殊，此時直線與圓只有1個交點，且圓心到直線的距離等于半徑，據(jù)此可快速建立圓的方程與直線的方程之間的關(guān)系.

二、運用方程思想

運用方程思想解答直線與圓的位置關(guān)系問題，要先將直線和圓的方程聯(lián)立，消去其中一個變量x或y，得到一元二次方程；然后根據(jù)方程的根的判別式與0的大小關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.一般地，若Δgt;0，則直線與圓有2個交點，此時直線與圓相交；若Δ=0，則直線與圓有1個交點，此時直線與圓相切；若Δlt;0，則直線與圓沒有交點，此時直線與圓相離.

例2.若過點A（3，0）的直線l與圓（x-1）2+y2=1有公共點，則直線l斜率的取值范圍為.

解：由題意可知直線與圓有公共點，這就說明直線與圓相切或者相交.

設(shè)直線l的方程為y=k（x-3），將其代入圓的方程（x-1）2+y2=1中可得：

（k2+1）x2-（6k2+2）x+9k2=0，

則Δ=4（1-3k2）≥0，解得-≤k≤.

運用方程思想解題，要注意檢驗一元二次方程的二次項系數(shù)是否為0，以確保一元二次方程的二項系數(shù)不為0.只有在方程為一元二次方程時，才能根據(jù)根的判別式解題.

三、運用圓系方程

過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ（Ax+By+C）=0，λ∈R.在解答直線與圓的位置關(guān)系問題時，我們可以直接設(shè)出圓系方程，然后將該方程化為圓的標準方程，就能快速求得圓的半徑和圓心，進而判斷出直線與圓的位置關(guān)系.

例3.若直線2x+y+4=0與圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點P始終在圓C上，求圓C的面積最小時圓C的方程.

解：由題意可設(shè)圓C的方程為x2+y2+2x-4y+1+λ（2x+y+4）=0，

整理得（x+1+λ）2+（y+）2=（λ-）2+，

要使圓C的面積最小，需使圓C的半徑要最小.

設(shè)圓C的半徑為r，則r2=（λ-）2+，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知當λ=時，圓的面積最小，此時圓的方程為（x+）2+（y-）2=.

借助圓系方程，我們可以快速找到直線與圓的交點所滿足的方程，通過研究該方程來求得問題的答案.但圓系方程較為復(fù)雜，同學們在解題時，要謹慎計算，避免出錯.

無論是運用哪種途徑來求解直線與圓的位置關(guān)系問題，我們都需抓住問題的本質(zhì)，即直線與圓的位置關(guān)系：相離、相切、相交，通過研究其幾何關(guān)系或代數(shù)關(guān)系來找到最佳的解題方案.

（作者單位：江蘇省如東縣馬塘中學）