例析兩類曲線的切線方程問題的解法

曲線的切線方程問題主要有兩種命題形式，一是求曲線在某點處的切線方程，二是求曲線過某點的切線方程.求解曲線的切線方程問題，需靈活運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)f（x）在某點（x0，f（x0））處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=f（x）在該點處切線的斜率，即f′（x0）.下面結(jié)合例題談一談這兩種切線方程問題的解法.

一、求曲線在某點處的切線方程

此類問題中的切點在曲線上.求曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程的步驟是：

（1）根據(jù)求導(dǎo)法則、求導(dǎo)公式求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），

（2）令x=x0，求得f′（x0），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率就是f′（x0），

（3）由直線的點斜式方程可得曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處的切線方程為y=f′（x0）（x-x0）+f（x0）.

若切點的坐標和曲線的方程是已知的，我們只需根據(jù)上述步驟求解；若切點的坐標是未知的，則需設(shè)出切點的坐標，根據(jù)切點在曲線上，建立關(guān)于切點坐標的方程y0=f（x0）.

例1.求函數(shù)fx=ln2x+1+x-1的圖象在點（0，f0）處的切線方程.

解：因為fx=ln2x+1+x-1，

所以f′（x）=+1，

則f′（0）=2+1=3，即切線的斜率為3.

又因為f（0）=ln2×0+1+0-1=-1，所以切點的坐標為0，-1，

所以函數(shù)fx=ln2x+1+x-1的圖象在點0，-1處的切線方程是y+1=3x-0，即3x-y-1=0.

我們需先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率；再根據(jù)曲線的方程求得切點的坐標；再根據(jù)直線的點斜式方程求出函數(shù)f（x）的圖象在點0，f0處的切線方程.

例2.已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex-（x-1）2，a∈R.當a=2時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程.

解：

求出函數(shù) f （x）的導(dǎo)函數(shù) f′（x），即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出x = 0處的切線的斜率k = f′（0）= 1，然后利用直線的點斜式方程求解即可.

例3

解

解答本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩條切線的斜率，得出x1 + x2 = 0，然后根據(jù)直線的方程、兩點間的距離公式求得| AM |、|BN |.

例4

解

解答本題，需先設(shè)出切點的坐標；然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率和方程；再根據(jù)切線經(jīng)過原點建立關(guān)于x0的一元二次方程；最后根據(jù)此方程有兩個不同的實數(shù)根，得出判別式大于0，即可求得a的取值范圍.

例5

解

因為函數(shù)中含有絕對值，故分x gt; 0和x lt; 0兩種情況進行討論.先分別設(shè)出切點的坐標，求出導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率和方程；再根據(jù)切線過坐標原點求出切點的橫坐標，即可解題.

二、求曲線過某點的切線方程

這類問題中的切點不一定在某曲線上.在解題時，我們要先將已知點的坐標代入曲線的方程中進行檢驗.若切點不在曲線上，則求曲線y = f （x）過某點M（x1，y1） （不一定是切點）的切線方程的步驟是：

（1）設(shè)切線的斜率為k，切點為P（x0，f （x0））；

（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得k = f ′ （x0）；

（3）由斜率公式可得k = f′（x0）= f （x0）- y1 x0 - x1 ；

（4）根據(jù)切線的斜率求出x0和切點的坐標；

（5）利用直線的點斜式方程求出切線的方程為 y - f （x0）= f′（x0）（x - x0）.

例6

解

解答此類問題，需先設(shè)出切點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率和方程；然后根據(jù)切點在切線上，求出切點的坐標.在求切點的坐標時，要先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的斜率公式來建立關(guān)于切點坐標的方程；再根據(jù)切點的坐標滿足切線的方程來建立另一個關(guān)于切點坐標的方程，通過解方程組求出切點的坐標.

可見，曲線y = f （x）在點M（x1，y1）處的切線方程問題與曲線y = f （x）過點N（x2，y2）的切線方程問題，是不一樣的.前一類問題中的點M（x1，y1）既在曲線上也在切線上，后一類問題中的點N（x2，y2）在切線上，但未必在曲線上.無論解答哪一類問題，我們都需要：（1）靈活運用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（2）明確切點與曲線、切線的位置關(guān)系，切點的坐標所滿足的方程，據(jù)此建立關(guān)于切點的坐標的方程；（3）學(xué)會根據(jù)直線的點斜式方程求切線的方程.

（作者單位：陜西省寶雞市隴縣第二高級中學(xué)）