結(jié)合近鄰密度和信息修正的基本概率賦值生成方法

摘 要：為了解決D-S 證據(jù)理論應(yīng)用中基本概率賦值（BPA）獲取困難、生成模型適用度低的問題， 提出一種結(jié)合近鄰密度和信息修正的基本概率賦值生成方法： 通過基于KNN 算法得出的密度峰值點與樣本間的距離為依據(jù)生成單焦元BPA 函數(shù)， 通過信念χ2 散度對全子集事件賦值并基于可信度對BPA 進(jìn)行信息修正， 用改進(jìn)的信念熵公式計算各證據(jù)的不確定性權(quán)重， 進(jìn)行證據(jù)的再分配. 利用生成的BPA 解決少樣本和不均衡類樣本的實際應(yīng)用問題， 經(jīng)多個數(shù)據(jù)集驗證診斷精度均達(dá)85% 以上， 優(yōu)于其他方法.

關(guān)鍵詞：D-S 證據(jù)理論; 密度; 信息修正; 信念熵; 信念χ2 散度

中圖分類號：TP391

DOI： 10.19504/j.cnki.issn1671-5365.2024.06.01

D-S 證據(jù)理論[1]是處理不確定性信息的有效方法， 與貝葉斯算法成為數(shù)據(jù)融合中的兩個主流經(jīng)典算法. 相比于貝葉斯算法， D-S 證據(jù)無需先驗概率且可以將概率同時賦給單焦元子集和多焦元子集，在決策[2-5]、分類[6-7]、模式識別[8-10]、數(shù)據(jù)融合[11]等諸多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用. 然而， Zadeh 提出“Zadeh 悖論[12]”對D-S 證據(jù)理論質(zhì)疑. 他認(rèn)為當(dāng)使用D-S 組合規(guī)則融合高度沖突的證據(jù)時， 會獲得違反直覺的結(jié)果. 為解決此問題， 研究人員開展了大量研究， 目前已有的研究方法可以分為修改D-S 的組合規(guī)則[13]和對證據(jù)進(jìn)行預(yù)處理[14]兩大類. 對于這兩類解決方法， D-S 理論終究是針對各個證據(jù)的基本概率賦值（The basic probability assignment function， BPA）進(jìn)行融合. 若BPA 函數(shù)是客觀合理的， 會減少大量對證據(jù)的后續(xù)修正處理工作. 因此， 就如何生成BPA 這一問題， 一直以來都是D-S 證據(jù)理論框架下的研究焦點， 可至今沒有統(tǒng)一的定論.

早期針對BPA 函數(shù)的生成方法主要以專家主觀經(jīng)驗為依據(jù)分配信任值， 但是該方法受主觀影響較大， 不同專家給出的信任值往往會存在一定的沖突. 目前使用的BPA 函數(shù)的生成方法主要是根據(jù)系統(tǒng)的應(yīng)用背景和客觀條件自動生成BPA， 例如工業(yè)背景下的系統(tǒng)故障率. 但該方法需要相對完備的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)和相對完善的硬件設(shè)施， 受限程度較大. 因此， 國內(nèi)外學(xué)者目前對該問題的探索多數(shù)仍然是以解決實際應(yīng)用為導(dǎo)向， 基于應(yīng)用背景進(jìn)行概率賦值. 較早的Bogler 等人[15]利用目標(biāo)速度和加速度或目標(biāo)身份構(gòu)建BPA; 文獻(xiàn)[16]根據(jù)傳感器節(jié)點所測得的水質(zhì)數(shù)據(jù)與水質(zhì)等級標(biāo)準(zhǔn)之間的距離為依據(jù)生成BPA; 文獻(xiàn)[17]通過傳感器監(jiān)測數(shù)據(jù)對實體特征指標(biāo)進(jìn)行計算得到BPA. 此種研究思路下， BPA 的構(gòu)建方法沒有一個固定的模式， 通常是根據(jù)應(yīng)用背景提出設(shè)計思路， 獲得BPA. 但隨著D-S 證據(jù)理論的應(yīng)用愈加廣泛， 越來越多的學(xué)者意識到BPA 生成的重要性， 開始研究適用性較高的基本概率分配方法. 韓崇昭等人[18]提出一種基于最大熵原則構(gòu)建BPA 的方法; 文獻(xiàn)[19]構(gòu)建樣本的區(qū)間數(shù)模型， 通過區(qū)間數(shù)距離表示樣本之間的差異性， 并依此生成BPA， 該方法的結(jié)果易受異常值影響而出現(xiàn)較大偏差; 文獻(xiàn)[20]提出了基于高斯分布的單焦元BPA 生成方法， 但是忽視了多焦元子集的賦值問題; 文獻(xiàn)[21]將BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出結(jié)果作為基本概率分配的值， 其應(yīng)用要求數(shù)據(jù)相對完善且分布均衡; 蔣雯等人[22]提出了基于廣義模糊數(shù)構(gòu)建基本概率賦值函數(shù); 文獻(xiàn)[23]為數(shù)據(jù)的每個屬性建立基于正態(tài)分布的模型， 然后利用數(shù)據(jù)與正態(tài)分布模型之間的關(guān)系，構(gòu)造嵌套結(jié)構(gòu)的BPA 函數(shù). 根據(jù)對現(xiàn)有文獻(xiàn)分析可以看出， BPA 函數(shù)的生成本質(zhì)是基于樣本數(shù)據(jù)， 對各可能事件發(fā)生概率的確定. 目前多數(shù)學(xué)者使用的BPA 生成方法大都需要足夠的樣本為依據(jù)進(jìn)行估算. 而在很多實際應(yīng)用場景中， 如網(wǎng)絡(luò)安全領(lǐng)域， 收集和標(biāo)注大量網(wǎng)絡(luò)中的新型未知攻擊樣本是十分困難的， 則建立目標(biāo)屬性的描述模型可用樣本較少[24].因此本文提出一種結(jié)合近鄰密度和信息修正的基本概率賦值生成方法. 該方法首先基于樣本近鄰密度構(gòu)建目標(biāo)模型值， 利用待測樣本與目標(biāo)模型值之間距離差異度生成單焦元BPA; 然后提出了一種基于信念χ2 散度的多焦元BPA 分配方法和改進(jìn)的信念熵公式， 對基本概率賦值函數(shù)進(jìn)行可信度與不確定性雙重修正并對多焦元子集進(jìn)行賦值， 從而得到目標(biāo)問題的基本概率分配; 最后通過多個UCI 數(shù)據(jù)集對本文所提出的方法進(jìn)行有效性驗證.

1 相關(guān)理論基礎(chǔ)

1.1 D-S 證據(jù)理論

D-S 證據(jù)理論主要用于處理不確定信息. 對于目標(biāo)分類而言， 某一類事件的發(fā)生往往伴隨多角度的屬性特征， 每個特征下該目標(biāo)事件皆存在一定的發(fā)生可能性. 該理論是利用事件發(fā)生時， 產(chǎn)生的多維度特征值來確定目標(biāo)類型. D-S 證據(jù)理論通過計算對不同屬性特征的基本概率分配函數(shù)， 并運用D-S 證據(jù)理論合成規(guī)則對其進(jìn)行融合， 使判定結(jié)論更加合理， 置信度更高. 下面給出與本文研究相關(guān)的D-S 證據(jù)理論定義.

定義1 識別框架： 假定Θ = {A } 1，A2，…An 是給定問題所有可能發(fā)生結(jié)果的有限集合， 且其中元素互斥， 則稱該類集合為識別框架. 識別框架Θ的冪集用2Θ 表示， 具體描述為： 2Θ = { ?， { A1 } ，…{ An } ， { A1，A2 } ， { A1，A3 } ，…{ A1，A2，…An - 1 } ，…Θ }其中?表示空集.

定義2 基本概率賦值函數(shù)： 假設(shè)映射m：2Θ → [ 0，1]， 若滿足條件：

則稱Bel （ A）為命題A 的信任函數(shù).

定義5 似然函數(shù)： 對給定的證據(jù)m， 定義似然函數(shù)， 似然函數(shù)值Pl （ A） 表示證據(jù)對命題A 不為假的信任程度.

若映射m：2Θ → [ 0，1]滿足：Pl （ A） = ΣB ? A ≠ ?m （B ） = 1 - Bel （ Aˉ） ，?A ? Θ （5）則稱Pl （ A）為該命題的似然函數(shù).

信任函數(shù)是指明確支持A 事件的概率之和， 它反映了A 的必然性和信任度， 構(gòu)成了A 的概率的下限函數(shù); 而似然函數(shù)則度量了潛在支持A 事件的概率之和， 它描述了與A 相關(guān)的總的信任度， 構(gòu)成了A的概率的上限函數(shù). 即Bel （ A） ≤ m （ A） ≤ Pl （ A）.

1.2 KNN 密度峰值算法

K-近鄰（KNN）是經(jīng)典的分類方法之一， 依據(jù)最鄰近的一個或者幾個樣本的類別來決定待分類樣本所屬的類別. 當(dāng)對數(shù)據(jù)的分布很少或者沒有任何先驗知識時， K 近鄰算法可以達(dá)到相對較高的準(zhǔn)確率. 本文基于該思想， 在局部類內(nèi)以每點為中心不斷搜索其周邊K 個近鄰點的位置信息并計算兩者距離， 即點的K 近鄰密度取決于它與K 近鄰點集的距離之和. 在相對密集的區(qū)域， 該點的K 近鄰點距離之和較小; 相反， 越稀疏K 近鄰點距離之和越大， 這可以表明該點在一個類簇的密集程度. 將樣本按近鄰密度進(jìn)行降序排列， 獲取密度位于前3 的待測樣本， 通過降維得到其二維坐標(biāo). 若三點坐標(biāo)位于同一直線， 則對兩端點坐標(biāo)求平均; 否則將如圖1 所示， 構(gòu)成以A、B、C 為頂點的三角形并求其內(nèi)心坐標(biāo)P （x，y ）， 距離內(nèi)心最近的數(shù)據(jù)樣本則為特征模型值.

計算如下：

設(shè)i = {a } 1，a2，…，an 為任一樣本點，n 為樣本屬性個數(shù)， j = {b } 1，b2，…，bn 為i 的K 個近鄰點之一， 則其密度Di 定義為：

即D'i 越大， 代表待測樣本距離K 個近鄰點距離越遠(yuǎn)， 密度越小. 選取近鄰密度相對較高的前三個樣本點所對應(yīng)的二維坐標(biāo)作為A、B、C 點， 通過公式（9）確定內(nèi)心坐標(biāo)，通過近鄰分析查找距離內(nèi)心最近的樣本點作為特征模型值.

（2）基于待識別樣本值之間的距離， 生成初始單焦元BPA 函數(shù)：

其中： dij 表示當(dāng)前樣本x 與每一類目標(biāo)模型值Dij 對應(yīng)屬性間的距離倒數(shù)， i = 1，2，…，n ; j = 1，2，…，m， m為列屬性個數(shù)， n 為樣本類別數(shù). 每個樣本根據(jù)n 類特征值將生成n × m 的距離矩陣， 記為DDIS_ ij. 例如：{d } 11，d12，…d1m 表示當(dāng)前樣本與第一類模型值對應(yīng)屬性間的距離倒數(shù). 以距離倒數(shù)衡量待測樣本與目標(biāo)屬性值之間的差異度， dij 越大， 則與目標(biāo)值歸屬同一類的可能性越大. 對各樣本的距離測度進(jìn)行歸一化處理， 將各樣本的距離權(quán)重作為初始單焦元BPA 函數(shù)， 公式如下：

Step2： 全子集概率分配與可信度修正

（1）計算證據(jù)間散度距離. 根據(jù)色式（11）計算各證據(jù)間的信任散度距離， 并得各證據(jù)間的距離矩陣：

其中Bχ2ij 表示證據(jù)mi 和mj 之間的信任散度距離，Bχ2 越大， 則表明兩證據(jù)間信任度越低. 由公式（11）易知， Dii = 0且Dij = Dji， Bχ2ij 為對稱矩陣.

（2）多焦元概率分配. 通過公式（12）（13）對生成BPA 進(jìn)行可信度修正， 并對全子集事件賦值.

Step3： 不確定性權(quán)重的構(gòu)造與BPA 修正

基于改進(jìn)的信念熵計算方法度量信息的不確定性. 通過公式（15）計算各證據(jù)間的不確定性， 將結(jié)果記為Eb （m ） i ， 每個類別具有的屬性為i （i = 1，2，…，n），n 為屬性總數(shù). 并對結(jié)果進(jìn)行歸一化處理得到不確定性權(quán)重iwi =Eb （mi ）／Σi = 1n Eb （mi ）， 修正步驟2 所得BPA結(jié)果. 對可靠性較低的BPA 函數(shù)賦予較低權(quán)重， 降低其干擾性. 隨后， 對生成的BPA 計算加權(quán)平均證據(jù).

Step4： BPA 融合識別

將待分類樣本每種屬性下計算所得BPA 按照公式（2）和公式（3）進(jìn)行融合， 將融合結(jié)果中具有最大信度的事件作為識別結(jié)果.

2.2 算例分析

用UCI 上公開的骨科患者的生物力學(xué)特征數(shù)據(jù)集分類問題驗證本文提出的BPA 生成方法的有效性. 該數(shù)據(jù)集有三個分類， 分別是腰椎突出（Her?nia）、脊椎滑脫（Spondylolisthesis）和正常（Normal）， 樣本量依次是60、150 和100， 樣本量偏少且存在一定程度的分布不均衡. 分別用A1、A2、A3 來表示， 由三種狀態(tài)組成的一個識別框架為Θ = {A } 1，A2，A3 .其中每個樣本有六個屬性特征， 分別是骨盆入射角PI（pelvic incidence）、骨盆傾斜PT（pelvic tilt）、腰椎前凸角度LLA（lumbar lordosis angle）、骶骨傾斜角SS（sacral slope）、盆腔半徑PR（pelvic radius）、脊椎前移的等級GOS（grade of spondylolisthesis）. 獲取BPA 后， 采取經(jīng)典的Dempster 組合規(guī)則并選擇融合后具有最大信度的焦元命題作為識別方案， 具體流程如下.

步驟1： 構(gòu)造單焦元子集模型

對于這三類脊椎狀況的數(shù)據(jù)樣本， 使用基于KNN 的密度峰值篩選算法， 得到三類樣本近鄰密度值（如圖3）.根據(jù)Step-1 確定特征模型值（如表1）.

例： 數(shù)據(jù)樣本S1 = { 39.05， 10.06， 25.01， 28.99，114.4， 4.56 }， 計算S1 對目標(biāo)屬性A1 的基本概率分配. 通過公式（17）得到距離矩陣：

DDIS_S1 ， A1 =

通過式（18）， 可以得到待測樣本S1 對脊椎健康Hernia 等級的mass 函數(shù)值為： mA1S1 = {0.5303， 0.2401，0.5087， 0.8453， 0.0438， 0.5208}. 類似地， 可以得到健康等級A2 和A3 的各mass 函數(shù)值， 結(jié)果如表2 所示.

步驟2： 多焦元概率分配與可信度修正

基于信念χ2 散度生成可信度權(quán)重， 并給系統(tǒng)未知性賦值. 利用公式（11）計算表2 中各證據(jù)間的Bχ2距離， 生成對稱的距離矩陣如下：

根據(jù)兩證據(jù)間的平均相似度來度量各證據(jù)的可信度， 結(jié)果如下：

α1 = 0.3622 ; α2 = 0.4869 ; α3 = 0.3786

α4 = 0.5143 ; α5 = 0.8399 ; α6 = 0.4386

其歸一化結(jié)果為：

ω1 = 0.1199 ; ω2 = 0.1611 ; ω3 = 0.1253

ω4 = 0.1703 ; ω5 = 0.2781 ; ω6 = 0.1452

通過公式（12）（13）對各單焦元BPA 進(jìn)行可信度的修正并對全子集事件進(jìn)行賦值. 結(jié)果如表3 所示.

步驟3： 不確定性權(quán)重的構(gòu)造與BPA 修正

在上一步驟的基礎(chǔ)上， 利用本文改進(jìn)的新信念熵來度量證據(jù)不確定性. 根據(jù)公式（15）對表3 內(nèi)的基本概率賦值函數(shù)計算信念熵， 結(jié)果如下：

Eb （m1 ） = 1.7402 ; Eb （m2 ） = 1.7453 ;

Eb （m3 ） = 1.8277 ; Eb （m4 ） = 1.2566 ;

Eb （m5 ） = 1.0188 ; Eb （m6 ） = 1.5404

對各證據(jù)的信念熵測度進(jìn)行歸一化處理， 得：

iw1 = 0.1906， iw2 = 0.1912， iw3 = 0.2002

iw4 = 0.1376， iw5 = 0.1116， iw6 = 0.1687

將上述歸一化得到的信念熵結(jié)果， 與表4 各mass 函數(shù)值進(jìn)行修正得到加權(quán)平均證據(jù)， 結(jié)果如下：

m （ A1 ） = 0.4004， m （ A2 ） = 0.1811

m （ A3 ） = 0.2878， m （Θ） = 0.1296

步驟4： BPA 融合識別

通過D-S 證據(jù)融合規(guī)則對上述加權(quán)平均證據(jù)進(jìn)行n - 1 次融合， 結(jié)果如表4 所示. 根據(jù)最終組合結(jié)果可判斷脊椎狀態(tài).

由表4 可得， 第一次融合后PI 對A1 的信任值為0.547 4， 相較于融合前信任值為0.400 4 再到最終融合結(jié)果為0.870 5， 顯著提高了診斷精度. 對于屬性SS 和屬性PR 中出現(xiàn)的證據(jù)高度沖突的情況， 本文方法也可以在融合中作出正確決策.

3 實驗與結(jié)果分析

采用在UCI 公開的幾個數(shù)據(jù)集作為驗證數(shù)據(jù)集驗證本文提出的BPA 生成方法在分類診斷方面應(yīng)用的有效性， 并與其他方法進(jìn)行對比; 為了進(jìn)一步驗證本文方法在少樣本數(shù)據(jù)下的有效程度， 參考康兵義[19]等人提出的小樣本測試方法， 對樣本規(guī)模做單變量分析.

3.1 常規(guī)數(shù)據(jù)下識別的有效性

實驗采用的7 個在UCI 官網(wǎng)上公開的數(shù)據(jù)集基本信息如表5 所示. 其中， 玻璃數(shù)據(jù)集根據(jù)其氧化物含量識別玻璃類型; 超聲心電圖用于對患者在心臟病發(fā)作后能否存活至少一年進(jìn)行分類， 其屬性是關(guān)于患者的一些檢查結(jié)果; 肝炎數(shù)據(jù)集是基于一些肝功能測試結(jié)果去判斷肝炎存不存在; 電離層數(shù)據(jù)集中包含有關(guān)雷達(dá)的數(shù)據(jù); 鳶尾花數(shù)據(jù)集是在模式識別文獻(xiàn)中使用相對廣泛的數(shù)據(jù)庫， 該數(shù)據(jù)集包含三個類別， 每個類別50 個實例， 其中每個類別指的是一種鳶尾花植物; 葡萄酒數(shù)據(jù)集是通過對每種葡萄酒的13 種成分進(jìn)行分析， 從而確定葡萄酒種類; 脊椎數(shù)據(jù)集是通過人體脊椎不同位置的彎曲角度判斷脊椎健康狀態(tài)， 共有三個類別. 這七個數(shù)據(jù)集大小、屬性各不相同且涉及不同的具體應(yīng)用場景， 用于實驗可以較全面地展現(xiàn)方法的有效性.

對比實驗為四個著名的經(jīng)典分類器SVM、SVM-RBF、REPTree、MP 和四種其他的基本概率賦值方法， 具體實驗結(jié)果如表6 所示. 通過對表6 的結(jié)果分析可以看出， 本文所提的方法在不同應(yīng)用場景、不同特征維度的數(shù)據(jù)集上， 整體準(zhǔn)確率優(yōu)于其他幾種方法. 相較于其他的BPA 生成方法， 本文所提方法與分類器結(jié)果相比有一定優(yōu)勢， 而其他四種方法與分類器相比表現(xiàn)較為平均. 但本文所提方法在處理特征屬性較多的數(shù)據(jù)時， 準(zhǔn)確率會出現(xiàn)一定程度的下降， 如Hepatitis 和lono 數(shù)據(jù)集. 分析其主要原因為D-S 證據(jù)本身融合規(guī)則的弊端， 列屬性偏多時對其逐個相乘會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)一定的誤差. 由于本文主要研究BPA 生成方法， 并未對融合規(guī)則進(jìn)行相應(yīng)改進(jìn)， 所以在此不予以討論. 整體來看， 本文所提的基本概率賦值方法是有效可行的.

3.2 少樣本數(shù)據(jù)下識別的有效性

針對脊椎數(shù)據(jù)集， 將三種類別的樣本規(guī)模逐步增加. 考慮到該數(shù)據(jù)集三類樣本數(shù)據(jù)數(shù)量不同， 且對樣本量小于3 的極特殊情況不予以討論， 因此構(gòu)建密度模型的樣本規(guī)模從3 增加到n， n 為類樣本數(shù)量. 按照等步長遞增， 最后一次參與實驗的類樣本數(shù)量為n， 劃分30 個依次遞增的樣本規(guī)模， 將其由小到大逐個表示為k1，k2，…，k30. 隨機選取對應(yīng)于樣本規(guī)模的數(shù)據(jù)樣本作為模型訓(xùn)練集， 根據(jù)本文所提方法生成BPA， 將脊椎數(shù)據(jù)集總體樣本作為測試集進(jìn)行重復(fù)實驗30 次. 對結(jié)果取平均值得到不同樣本規(guī)模下的識別準(zhǔn)確率， 具體結(jié)果如表7 所示. 由圖4 可知， 本文所提方法在樣本規(guī)模小于10 的極特殊情況下， 準(zhǔn)確率也可以達(dá)到75%， 而且隨著樣本數(shù)的不斷增加， 本文所提方法的識別率也隨之有一定的提升.

4 結(jié)語

針對D-S 證據(jù)理論在分類應(yīng)用中BPA 的生成問題， 本文提出結(jié)合近鄰密度和信息修正的基本概率賦值生成方法， ①利用KNN 密度篩選樣本的密度峰值構(gòu)建特征模型值， 并基于模型值與樣本的貼近度生成單焦元BPA， 通過不確定性與可信度對BPA 進(jìn)行雙重信息修正并對全子集事件賦值; ②通過在七個數(shù)據(jù)集上進(jìn)行不同算法的準(zhǔn)確率比較研究， 本文構(gòu)建的BPA 生成模型準(zhǔn)確性及魯棒性相對SVM、SVM-RBF、REPTree、MP 和其他四種基本概率賦值方法均有一定優(yōu)越性; 在不同樣本規(guī)模上的實驗結(jié)果表明， 本文所述方法對處理樣本量較少或樣本分布不均的應(yīng)用場景有一定的實際意義.

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【編校：王露】

基金項目：國家自然科學(xué)基金項目（61170060）; 安徽省重點教學(xué)研究項目（2020jyxm0458）