密鋪數(shù)理玩轉(zhuǎn)串珠編織

串珠編織，顧名思義，是將一顆顆珠子通過某種方式編織、串聯(lián)起來形成的一種裝飾品或藝術(shù)品。這是一種歷史悠久的手工藝，從史前時(shí)代（約200萬年前—公元前21世紀(jì)）開始，民間就有制作串珠的傳統(tǒng)，人們將其視為具有祈福和美好寓意的飾品。

串珠編織與密鋪數(shù)學(xué)理論有極大關(guān)聯(lián)。密鋪在數(shù)學(xué)上指的是用一些較小的表面（通常是平面圖形）填滿一個(gè)較大的表面而不留任何空隙的方法。密鋪要求圖形之間既沒有空隙也不重疊，且能夠一塊挨著一塊，彼此相鄰地鋪成一片。

串珠編織者通過用針線連接有孔的珠子來創(chuàng)造各種各樣的設(shè)計(jì)，包括類似機(jī)器織物的平織。用綠豆般大小的珠子制成的串珠織物通常用于制作珠寶，尤其是手鏈和項(xiàng)鏈。串珠的數(shù)學(xué)原理重在珠子之間的數(shù)理規(guī)律與巧妙組合。出于美觀和實(shí)用的考慮，串珠織物通常圖案精美，以周期重復(fù)的方式進(jìn)行編織。然而，雖然數(shù)學(xué)家和藝術(shù)家已經(jīng)研究密鋪理論幾個(gè)世紀(jì)，但相對(duì)來說，很少有人將其用于珠飾設(shè)計(jì)。

正多邊形密鋪

正多邊形密鋪通常有正方形、正三角形、正六邊形的密鋪方式。三者可以圍繞一個(gè)公共頂點(diǎn)拼接，使得每個(gè)頂點(diǎn)的角度之和為360°。拼塊僅在孤立點(diǎn)（3個(gè)或更多拼塊相交的地方）或弧線（兩個(gè)拼塊相交的地方）相交。這些點(diǎn)和弧線分別稱為密鋪的頂點(diǎn)和邊。人們大多對(duì)拼塊是正多邊形的密鋪感興趣，因?yàn)檫@是便于人們用珠子編織的一種方式。最簡單的密鋪方法是用同一種正多邊形密鋪平面。

人們可以通過計(jì)算來確定哪些正多邊形能夠密鋪。一個(gè)常見的密鋪公式是：1/N1 + 1/N2 + 1/N3 =1/2。其中，N1、N2、N3是正多邊形的邊數(shù)。這個(gè)公式用于描述在密鋪過程中，不同正多邊形邊數(shù)之間的關(guān)系。但需要注意的是，這個(gè)公式并非普遍適用，它更多地描述了一種特殊情況下的密鋪規(guī)律。

正多邊形的內(nèi)角與密鋪也存在關(guān)系，正多邊形的內(nèi)角和與其邊數(shù)的函數(shù)公式為（N-2）×180°，其中N為邊數(shù)。在密鋪過程中，需要確保在每個(gè)拼接點(diǎn)，所有多邊形的內(nèi)角之和為360°。這是密鋪能夠成功進(jìn)行的必要條件之一。

星形密鋪

如果嘗試將上述3種正多邊形密鋪?zhàn)鲆恍┳儞Q，形成的編織圖形會(huì)更加有趣，比如構(gòu)造出的星形密鋪。以正三角形、正方形、正六邊形為中心，沿著它們的各條邊向外畫三角形即可得到星形。

為了從起初的正多邊形密鋪創(chuàng)建星形密鋪，在正多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)放置一顆星。選擇小于多邊形邊長一半的距離D，在距離頂點(diǎn)D處畫垂直于每條邊的線段，其端點(diǎn)與相鄰邊的垂線相交。這些線段將形成頂點(diǎn)在內(nèi)部的多邊形的邊。然后在每條邊上放置一個(gè)三角形來形成一個(gè)星形，讓星形的尖角落在起初正多邊形的每條邊的中點(diǎn)上。

同一種正多邊形密鋪可以變換出許多種不同的星形密鋪，這取決于距離D的選擇。選擇盡可能規(guī)則的星形，往往會(huì)讓編織作品更加美觀。如果起初的多邊形密鋪不局限于正多邊形，那么構(gòu)造出的星形密鋪會(huì)更加多樣。

在創(chuàng)建星形密鋪時(shí)，需要考慮圖案的美觀度和對(duì)稱性，通過調(diào)整星形的大小、形狀和位置，可以優(yōu)化圖案的整體效果。

在多邊形的每條邊上編織珠子

那么，如何將平面密鋪圖案變成串珠編織作品？最常見的方法是在多邊形的每條邊上放置一顆珠子，那么珠子的孔就與多邊形的邊便會(huì)對(duì)齊。

編織的方法是將線穿過每顆珠子，使圖案中每個(gè)多邊形周圍的珠子都用線連接起來，從而編織成環(huán)形，部分平面圖中并沒有暗示穿線路徑，事實(shí)上，可以有許多不同的穿線路徑。在實(shí)踐中，珠子可能大小不一，或者一條邊上可能有多顆珠子。此外，不同的密鋪結(jié)構(gòu)也可以實(shí)現(xiàn)相同的編織。例如，許多不同的四邊形密鋪結(jié)構(gòu)都可以實(shí)現(xiàn)正方形編織。

在更復(fù)雜的設(shè)計(jì)中，頂點(diǎn)周圍通常也會(huì)編織珠子。這些珠子被編織在邊珠之間，以覆蓋細(xì)線、提供裝飾、穩(wěn)定邊角。這些珠子也被稱為穩(wěn)定珠、中間珠或覆蓋珠。這就產(chǎn)生了邊角覆蓋編織的概念。圖中正多邊形為灰色，線為黑色，邊珠是較大的灰色圓圈，覆蓋珠是較小的黑色圓圈。

在邊角覆蓋編織中，正多邊形的每條邊上都有一顆珠子，每個(gè)角上也有一顆珠子。因此，一個(gè)正N邊形對(duì)應(yīng)一個(gè)由2N顆珠子組成的環(huán)。

星形編織

星形編織是由上述的星形密鋪生成的串珠。星形編織的生成分為兩個(gè)步驟。人們從任意一個(gè)密鋪開始，按照前文所述將其轉(zhuǎn)換為星形密鋪。然后，通過在星形編織圖的每條邊和每個(gè)頂點(diǎn)上放置一顆或多顆珠子，圖2展示了只在每條邊上有珠子的四角星密鋪（上圖）、在每個(gè)頂點(diǎn)和邊上都有珠子的四角星密鋪（中圖）以及只在每個(gè)頂點(diǎn)有珠子的四角星密鋪（下圖）。

當(dāng)用珠子編織時(shí)，只在每條邊上放珠子會(huì)使織物下垂，露出線和珠子的孔。因此，出于審美的考慮，可以更傾向于在每個(gè)頂點(diǎn)和邊上都放置珠子，編織出的織物會(huì)更緊密，如圖2（中圖）所示。當(dāng)然，圖中的珠子是理想化的，實(shí)際編織的時(shí)候可以用更大、更小或更多的珠子代替。不同尺寸的珠子，沿著每個(gè)三角形的兩條邊使用兩個(gè)小珠，通過精心選擇珠子顏色，能營造出一種環(huán)環(huán)相扣的錯(cuò)覺，進(jìn)一步增強(qiáng)設(shè)計(jì)效果。的八面體串珠也是基于四角星形的編織作品。要制作它，首先要編織一個(gè)正八面體的內(nèi)核，然后在外層編織一層四角星形珠子。