逐漸深入研究，借助問題翻轉(zhuǎn)

王玉娟

“分層抽樣”是湖南教育出版社遵循《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》確立的基本理念和目標(biāo)要求，2019年國家教材委員會專家委員會審核通過的數(shù)學(xué)（必修第一冊）第6章“統(tǒng)計學(xué)初步”中第二節(jié)部分6.2“抽樣”中第二節(jié)課的內(nèi)容，對于統(tǒng)計數(shù)據(jù)的收集與應(yīng)用起到關(guān)鍵作用。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

（一）地位與作用

分層抽樣是在學(xué)習(xí)了簡單隨機抽樣的基礎(chǔ)上，主要介紹分層抽樣的概念以及如何實施分層抽樣。綜合兩種不同的抽樣方法，為統(tǒng)計數(shù)據(jù)的收集與應(yīng)用提供條件，為學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的典型性和代表性奠定了基礎(chǔ)。這也為后續(xù)統(tǒng)計知識的學(xué)習(xí)起到承上啟下的作用。

（二）重點、難點

重點：正確理解分層抽樣的定義以及對應(yīng)的操作步驟，并會選取恰當(dāng)?shù)某闃臃椒▉斫鉀Q統(tǒng)計中的一些現(xiàn)實抽樣問題。

難點：掌握分層抽樣的實施步驟；會計算總體平均數(shù)；兩種抽樣方法的比較及選擇。

二、學(xué)情分析

學(xué)生已學(xué)習(xí)過簡單隨機抽樣，但對設(shè)計合理的抽樣方法，以使樣本具有良好代表性的意識還不強。學(xué)生對于分層的標(biāo)準(zhǔn)理解不清晰，一定程度影響著教學(xué)目標(biāo)的完成。

三、教法學(xué)法分析

教法：啟發(fā)探究、互動討論。

學(xué)法：自主探究、合作交流、歸納總結(jié)。

四、教學(xué)過程

（一）教學(xué)流程設(shè)計

（二）教學(xué)過程設(shè)計

◆環(huán)節(jié)一：回顧舊知，引入新課

問題1：回顧簡單抽樣的概念、特點和常用方法。

概念：簡單隨機抽樣的概念（略）。

特點：樣本中的總體個數(shù)有限，逐個進(jìn)行抽取，機會均等抽樣；不放回抽取。

常用方法：抽簽法和隨機數(shù)法。

注意：抽樣調(diào)查最核心的問題是樣本的代表性，簡單隨機抽樣是使總體中每一個個體都有相等的機會被抽中，但因為抽樣的隨機性有可能會出現(xiàn)比較“極端”的樣本。

（設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)上節(jié)所學(xué)知識，引入本節(jié)新課。建立知識之間的聯(lián)系，提高學(xué)生的概括、類比推理能力）

問題2：在上節(jié)課的情境三《1936年美國大選》中，當(dāng)?shù)仉s志對候選的結(jié)果產(chǎn)生錯誤的預(yù)測，究其原因是民意測驗的樣本不具有代表性，出現(xiàn)了“壞”樣本。

（設(shè)計意圖：由生活中的問題出發(fā)，提出真實獲取數(shù)據(jù)中存在的“壞”樣本，引發(fā)學(xué)生對“壞”樣本的討論）

◆環(huán)節(jié)二：問題探究，建構(gòu)新知

問題3：在上節(jié)課對樹人中學(xué)高一年級學(xué)生身高的調(diào)查中，會不會出現(xiàn)樣本中50個學(xué)生大部分是高個子或矮個子的情形？

師生活動：學(xué)生思考后回答，教師指出此類樣本為“極端樣本”。

（設(shè)計意圖：分析簡單隨機抽樣出現(xiàn)“極端樣本”的原因，讓學(xué)生感受到改進(jìn)抽樣方法的必要性，為引入分層抽樣做鋪墊）

問題4：為什么簡單隨機抽樣會出現(xiàn)這種“極端樣本”？

師生活動：學(xué)生思考并討論，探究簡單隨機抽樣出現(xiàn)“極端樣本”的原因。教師引導(dǎo)：因為抽樣過程是隨機的，所以結(jié)果具有隨機性，有可能抽到“極端樣本”。在樹人中學(xué)高一學(xué)生身高調(diào)查中，抽到50個學(xué)生大部分是高個子或者矮個子的情況是有可能發(fā)生的。這種“極端樣本”的平均數(shù)會大幅度偏離總體平均數(shù)，從而使估計出現(xiàn)誤差。因此，簡單隨機抽樣存在不足，有改進(jìn)的空間。

（設(shè)計意圖：通過探討“極端樣本”出現(xiàn)的原因，提高學(xué)生對樣本隨機性的認(rèn)識，同時對總體情況進(jìn)行分析，為改進(jìn)抽樣方法提供思路）

問題5：如果能將身高差不多的學(xué)生放進(jìn)一個類中，從中隨機抽取一些個體就可以較準(zhǔn)確地了解該類的身高信息，但是因為我們要調(diào)查的就是身高信息，所以我們無法提前得知具體的身高數(shù)據(jù)，顯然無法根據(jù)身高進(jìn)行分類。能不能通過其他信息或是指標(biāo)對學(xué)生進(jìn)行分類，使同類學(xué)生身高差異盡可能??？

師生活動：學(xué)生自由回答，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識影響身高的因素有很多，性別是一個主要因素且較容易獲取。高中男生普遍高于女生，而相同性別的身高差異相對較小。所以我們就可以利用性別和身高的這種關(guān)系，把高一年級學(xué)生分成男生和女生兩個身高有明顯差異的子總體，再分別對兩個子總體進(jìn)行簡單隨機抽樣，可以在一定程度上避免出現(xiàn)“極端樣本”。

（設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生思考如何將總體分成幾個子總體，劃分標(biāo)準(zhǔn)要與所研究的指標(biāo)信息密切相關(guān)，這樣子可以有效地避免“極端樣本”的出現(xiàn)）

問題6：如果按照男生、女生兩個子總體抽取樣本，那么怎樣抽取男生、女生的樣本量才有利于反映總體呢？為什么？

師生活動：學(xué)生容易聯(lián)想到，按照男生、女生在全體學(xué)生中所占比例來進(jìn)行分配：

這樣無論是男生還是女生，每個學(xué)生都有相同的可能性被抽到。

追問：在每個子總體中是否一定要按照比例分配樣本量？如果不是，能否舉例說明？

師生活動：引導(dǎo)學(xué)生思考樣本量分配的多種方式。例如：某市有民營企業(yè)9000家，該市稅務(wù)局計劃抽取90家了解其營業(yè)額等項目，現(xiàn)按一、二、三產(chǎn)業(yè)對其進(jìn)行分組，每組各取30家。

（設(shè)計意圖：用問題引導(dǎo)學(xué)生思考樣本量的分配方式，進(jìn)一步明確分層抽樣的操作過程）

問題7：某中學(xué)高一年級有712名學(xué)生，其中男生有326名，女生有386名。我們要從中抽取一個容量為50的樣本，請問男生和女生各抽取多少人？

師生活動：先讓學(xué)生分組或是獨立進(jìn)行計算，再通過提問的方式，結(jié)合教師的總結(jié)，得出相應(yīng)的結(jié)論。

（設(shè)計意圖：通過具體問題與實例，為進(jìn)一步引入分層抽樣的定義以及具體的數(shù)學(xué)運算提供理論基礎(chǔ)與條件）

問題8：以上問題中，用到的不是已經(jīng)學(xué)過的簡單隨機抽樣，而是具有自身特色的一種抽樣方法。我們能否給出相應(yīng)的定義，以及歸納出該抽樣方法的具體操作步驟呢？

師生活動：教師通過提問學(xué)生，讓學(xué)生進(jìn)行合理嘗試并歸納，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行引導(dǎo)并板書：

分層抽樣定義：當(dāng)總體由差異明顯的幾個部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的情況，把總體中各個個體按照某種特征或某種規(guī)則劃分為互不交叉的層，然后對各層按其在總體中所占比例獨立進(jìn)行簡單隨機抽樣，這種抽樣方法稱為分層抽樣。

比例分配的分層抽樣的步驟：

（設(shè)計意圖：從分層抽樣的定義入手，結(jié)合內(nèi)涵概括對應(yīng)的應(yīng)用步驟，對于相應(yīng)的數(shù)學(xué)運算問題有很好的應(yīng)用）

◆環(huán)節(jié)三：實踐操作，深化探究

例1．（教材第212頁例1）某網(wǎng)絡(luò)音樂平臺就網(wǎng)絡(luò)用戶對某一特色欄目的喜愛程度進(jìn)行調(diào)查，參與網(wǎng)絡(luò)投票的總?cè)藬?shù)為50000。網(wǎng)絡(luò)用戶對欄目的評價如下表所示：

該音樂平臺為進(jìn)一步了解用戶的具體想法和意見，打算從上述50000人中抽取100人進(jìn)行電子郵件形式的調(diào)查，應(yīng)怎樣進(jìn)行抽樣？

具體的分析過程與解答過程略。

（設(shè)計意圖：借助具體分層抽樣的應(yīng)用，對于保證樣本中含有各種特征的抽樣單位，以及樣本與總體兩者之間結(jié)構(gòu)的一致性，特別對于提高樣本的代表性以及數(shù)據(jù)的典型性等有非常重要的作用）

例2．（教材第213頁例2）下列問題中，采用哪種抽樣方法較為合理？

（1）某微波爐廠質(zhì)量檢查組為了解某批次1 000臺微波爐的使用壽命。

（2）每年6月6日是“全國愛眼日”。某縣衛(wèi)生部門要調(diào)查該縣中小學(xué)生視力保護(hù)情況，已知該縣有小學(xué)生12000名，初中生10000名，高中生6000名。

（3）某校要調(diào)查該校九年級400名學(xué)生的身高和體重情況，以供該校營養(yǎng)師參考進(jìn)而指導(dǎo)食堂伙食營養(yǎng)搭配。

具體的分析過程與解答過程略。

問題9：通過以上不同抽樣方法的選擇，不同抽樣方法之間存在哪些特點？有哪些適用范圍以及共同點呢？

歸納表格如下：

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生認(rèn)識到樣本的隨機性，特別是分層抽樣與簡單隨機抽樣兩者之間的差異，以及在具體應(yīng)用問題中的合理選取與應(yīng)用）

◆環(huán)節(jié)四：新知應(yīng)用，鞏固內(nèi)化

◇課堂小結(jié)

分層抽樣的優(yōu)點、公式、注意事項，具體略。

（設(shè)計意圖：通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力）

◇新知應(yīng)用

具體問題這里省略。

（設(shè)計意圖：考查學(xué)生對于分層抽樣、簡單隨機抽樣的區(qū)別與聯(lián)系的學(xué)習(xí)，使其能夠在實際應(yīng)用中選取最合適的抽樣方法，并會利用分層抽樣加以數(shù)學(xué)運算）

五、教學(xué)反思

通過大背景的“串聯(lián)”，從大背景中不斷提出新問題，從而通過問題鏈探究學(xué)習(xí)合理選擇抽樣方法的必要性并掌握分層抽樣方法，從而提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。教學(xué)中要注重學(xué)生的主體地位，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使數(shù)學(xué)教學(xué)成為數(shù)學(xué)活動的教學(xué)。

在具體教學(xué)過程中，可以多考慮以實際生活情境為切入點，尤其多融入社會主義經(jīng)濟(jì)建設(shè)的成果，提出問題，激發(fā)學(xué)生的好奇心，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。讓學(xué)生自主經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述、分析、推斷、獲得信息，從而提升學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力。

編輯：曾彥慧

注：本文系白銀市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度課題“微課在高中數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中的應(yīng)用研究”（課題編號：BY［2023］G261）的研究成果。