基于齊次系統(tǒng)理論的多船有限時間飽和包容控制

馬俊達，譚沖，范佳佳

（1.哈爾濱理工大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；2.黑龍江省復(fù)雜智能系統(tǒng)與集成重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001）

近些年來，多船編隊控制已經(jīng)成為海洋工程領(lǐng)域的熱點研究方向。相比于傳統(tǒng)單船作業(yè)，由多船相互協(xié)作構(gòu)成的編隊系統(tǒng)具有生存能力強、運行成本低、作業(yè)半徑大等優(yōu)點［1］。在實際工程領(lǐng)域，船舶編隊協(xié)同作業(yè)存在著應(yīng)用場景多變、集結(jié)時間有限以及控制輸入受限等實際問題。因此，在考慮水面船的實際物理約束情況下,如何進一步擴展編隊的應(yīng)用場景,實現(xiàn)多船有限時間內(nèi)的快速集結(jié)是橫亙在船控專家面前的首要難題。

在應(yīng)用擴展方面,早期多船編隊理論研究主要圍繞隊形生成［2］、無領(lǐng)導(dǎo)者法［3］以及領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者法等方面開展，近幾年逐步聚焦于以多領(lǐng)導(dǎo)者為編隊特點的包容控制［4-6］。以往編隊控制方法存在2種設(shè)計思路：一種是以領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者法為代表，基于非線性控制理論，將編隊控制問題轉(zhuǎn)化為閉環(huán)系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題；另一種則以隊形生成和無領(lǐng)導(dǎo)者為代表，以圖論為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，強調(diào)編隊生成過程中的狀態(tài)一致性，近期相關(guān)研究更突出第2 類。有別于領(lǐng)導(dǎo)者-跟隨者法隊形由單一領(lǐng)導(dǎo)者確定，包容控制需多個領(lǐng)導(dǎo)者。在實際工程應(yīng)用中，搭配高性能傳感器的船舶可以探測更大范圍水域信息，可作為船舶編隊系統(tǒng)中的領(lǐng)航船，其他船舶僅需與這些領(lǐng)航船通信，利用多個領(lǐng)航船和鄰船的狀態(tài)信息設(shè)計分布式控制律實現(xiàn)跟隨船收斂于領(lǐng)航船張成的區(qū)域內(nèi)，最終跟隨船可隨領(lǐng)航船進行遠洋探測作業(yè)。Peng［4］針對船舶易受到風(fēng)浪流外部擾動的問題，利用基于預(yù)估器的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動態(tài)面控制算法，分別設(shè)計了基于狀態(tài)反饋和基于輸出反饋2 種魯棒包容控制律；Gu［5］結(jié)合擴展觀測器、線性跟蹤微分器和輔助變量法，面向基于參數(shù)化路徑的多虛擬領(lǐng)航船，實現(xiàn)了欠驅(qū)動船舶魯棒包容控制；Zhu［6］利用動態(tài)面控制技術(shù),結(jié)合有限時間擾動觀測器提出了一種具有抗干擾特性的包容控制策略。上述成果均以反步法為設(shè)計框架,將步驟分為運動學(xué)回路設(shè)計和動力學(xué)回路設(shè)計2 部分,并結(jié)合Lyapunov 穩(wěn)定性理論實現(xiàn)包容控制，但控制效果高度依賴慣性矩陣和科里奧利向心力矩陣的參數(shù)取值準(zhǔn)確性。因此，設(shè)計一種具備簡化形式的多船包容控制律，降低對船模參數(shù)的依賴極具工程價值。

在時間優(yōu)化方面，收斂速度也是衡量編隊系統(tǒng)動態(tài)特性的重要技術(shù)指標(biāo)。目前，多船包容控制算法大多僅實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定，較少考慮在有限時間內(nèi)實現(xiàn)控制目標(biāo)。然而實際海洋應(yīng)用中,多船編隊系統(tǒng)在有限時間內(nèi)完成快速集結(jié),不僅可提高系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)速度,而且還可提升系統(tǒng)的抗干擾能力［7］。以齊次系統(tǒng)理論和有限時間穩(wěn)定性理論為依托,多智能體有限時間控制已取得一定成果,但受限于船模的非線性特征,船舶有限時間編隊控制成果較少。通過引入終端滑模，Li［8］將多船編隊控制問題轉(zhuǎn)化為有限時間鎮(zhèn)定控制問題；Fu［9］研究了外部擾動下的多船編隊控制問題，通過引入擴張觀測器,實現(xiàn)了對系統(tǒng)狀態(tài)和外部擾動的快速估計和補償；李莉莉［10］利用障礙Lyapunov 函數(shù)實現(xiàn)對縱向速度和艏向角的約束，通過引入功率積分器保證欠驅(qū)動水面船有限時間路徑協(xié)同。上述算法思路均通過定義編隊控制偏差，并結(jié)合有限時間穩(wěn)定性理論保證閉環(huán)系統(tǒng)的有限時間收斂,且不涉及齊次系統(tǒng)理論，其根本原因在于齊次系統(tǒng)理論對模型特性要求較高，不便直接應(yīng)用。因此，基于齊次系統(tǒng)有限時間理論，針對船舶非線性模型研究多船有限時間包容控制問題是值得探究的。

在物理約束方面，飽和控制也是多船編隊需要重點考慮方面，其性能的優(yōu)劣直接影響著控制效果。多船編隊控制中需要與其他船舶完成信息交互，往往造成初始偏差信號較大，進而超過執(zhí)行器能夠提供的最大力或力矩。為解決此問題，Xia［11］引入輔助動態(tài)系統(tǒng)，將輔助變量引入運動學(xué)和動力學(xué)回路的偏差向量，實現(xiàn)了對控制輸入的限幅；林安輝［12］則通過在運動學(xué)回路設(shè)計中主動引入飽和函數(shù)約束編隊偏差變量,從而限制了編隊控制輸入。近年來,以典型線性模型為研究對象的多智能體有限時間包容控制取得了一定進展。Zhao［13］針對二階系統(tǒng)提出一種輸出反饋的有限時間包容控制律，并基于有限時間穩(wěn)定性理論證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；李玲玉［14］利用圖論和齊次系統(tǒng)理論，設(shè)計一種基于擾動觀測器的有限時間魯棒包容控制律，實現(xiàn)了對不匹配干擾的在線補償。上述成果針對模型相對簡單,且并未考慮控制輸入的有界性。

本文針對多領(lǐng)導(dǎo)者船舶編隊控制問題，以三自由度非線性船舶模型為研究對象，基于齊次系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論，充分考慮控制輸入受限，提出了一種簡化形式新型多船包容控制方法，創(chuàng)新點歸納如下：1）區(qū)別于以往多船包容控制律需獲得精確慣性矩陣和科里奧利向心力矩陣參數(shù),本文提出一種模型參數(shù)低依賴、具備簡化數(shù)學(xué)形式包容控制律；2）不同于文獻［11-13］基于Lyapunov 有限時間穩(wěn)定性理論證明閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本文基于齊次系統(tǒng)穩(wěn)定性理論實現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)有限時間內(nèi)的快速收斂；3）考慮了輸入約束下的包容控制問題，通過引入飽和約束函數(shù)提出了基于包容位置偏差約束和速度約束的有限時間飽和控制律。

1 知識預(yù)備與問題描述

1.1 代數(shù)圖論

假定n+m艘船間的通信可用圖G=(V,E,A)表示，其中V={v1,v2,…,vn+m}表示節(jié)點的集合；E?V×V表示邊的集合；A=[aij]∈ R(n+m)×(n+m)表示該圖的鄰接矩陣。有向邊(vi,vj) ∈E表示vj可從vi獲取信息。定義Ni={vj∈V|(vi,vj)∈E}為節(jié)點vi的鄰居矩陣。當(dāng)vj∈Ni時，aij=1，否則aij=0。對于所有節(jié)點，令aii=0。若對于?i，有aij=aji，則圖為無向拓撲圖，且其鄰接矩陣為對稱陣；反之，圖為有向拓撲圖。圖G的Laplacian陣L={lij}定義為：

定義1［15］對于?j(i=1,2,…,n+m)有aij=0，則船i稱為領(lǐng)導(dǎo)者；若存在j有aij=1，則稱船i稱為跟隨者。

定義2［16］設(shè)集合X={x1,x2,…,xn}是實向量空間Rn的子集，集合X的凸包定義為：

1.2 有限時間穩(wěn)定性理論與判據(jù)

定義3［17］考慮以下系統(tǒng)：

式中f:U→Rn為定義域U到R的向量函數(shù)。若對于任意ε＞0 有(r1,r2,…,rn) ∈Rn,ri＞0,使得函數(shù)f(x)滿足：

式中：i=1,2,…,n,k≥-max {ri,i=1,2,…,n},則稱函數(shù)f(x)關(guān)于(r1,r2,…,rn) 具有齊次度k。若f(x)是齊次函數(shù)，則稱系統(tǒng)式(1)是齊次的。

引理1［17］考慮以下系統(tǒng)：

同時x=0 是系統(tǒng)式（3）的全局漸近穩(wěn)定點，則x=0是系統(tǒng)式（3）的全局有限時間穩(wěn)定點。

引理2［17］考慮如下系統(tǒng)：

若存在一個連續(xù)正定函數(shù)V(x) :U→ R 且c＞0,α∈(0,1),在U0?U的鄰域上滿足：

則V(x) 在有限時間內(nèi)容收斂于0，且收斂時間滿足T0＜V1-α(x(0))/c(1-α)。

引理3［18］考慮系統(tǒng)=f(t,x)，其中對于函數(shù)f(t,x) 滿足f(t,0)≡0，并且系統(tǒng)存在唯一解。V(t,x) 和W(t,x) 在定義域上的連續(xù)函數(shù)并且滿足如下條件：

1）V(t,x) 為正定非增函數(shù)；

3）|W(t,x)|有界；

1.3 船舶運動數(shù)學(xué)模型

忽略船舶橫搖、升沉以及艏搖，則第i艘船三自由度非線性數(shù)學(xué)模型為［19］：

式中：ηi=[xi,yi,ψi]T為船i在大地坐標(biāo)系下的位置向量；υi=[ui,vi,ri]T為船i在體坐標(biāo)系下的速度向量；R(ψi) 為上述2 坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換矩陣；M、iCi(υi)、Di(υi)分別為船i的慣性矩陣、科里奧利向心力矩陣和阻尼矩陣；τi為船i的實際控制輸入。為便于設(shè)計，令pi=ηi，qi=R(ψi)υi結(jié)合式(7)和式(8)得如下數(shù)學(xué)形式：

顯然，上述數(shù)學(xué)模型滿足如下性質(zhì)：

1.4 控制問題描述

考慮多船編隊中跟隨船個數(shù)為n，分別標(biāo)記為1,2,…,n；領(lǐng)導(dǎo)船數(shù)量為m，標(biāo)記為m+1 至m+n。假設(shè)領(lǐng)導(dǎo)船為靜止領(lǐng)導(dǎo)者，即動態(tài)特性滿足：

式中：i=n+1,n+2,…,n+m；pi為領(lǐng)導(dǎo)船i的位置信息。假設(shè)所有跟隨船至少有一艘鄰居船,而虛擬領(lǐng)航船均沒有鄰居船。此時,多船編隊通信拓撲結(jié)構(gòu)滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1［20］假設(shè)由跟隨船式（9）和式（10）構(gòu)成的編隊通信拓撲是無向連通的,任何一艘跟隨船都有一艘虛擬領(lǐng)導(dǎo)船通過有向路徑指向它,而領(lǐng)航船無需獲取其他船的狀態(tài)信息。

進一步，由n艘跟隨船和m艘虛擬領(lǐng)導(dǎo)船構(gòu)成的編隊系統(tǒng)Laplacian陣L定義為：

式中：L1∈Rn×n為 跟隨船間的Laplacian 陣；L2∈Rn×m為跟隨船與領(lǐng)航船之間的Laplacian陣。

由定義2 和引理2 知，當(dāng)位置向量XF趨近于Xd時，跟隨船收斂于領(lǐng)航船張成凸包Co{pi,i=n+1,n+2,…,n+m},即實現(xiàn)了包容控制。

控制目標(biāo)：考慮假設(shè)1，針對船舶模型式（9）和式(10)，利用其自身狀態(tài)信息、鄰船信息以及部分領(lǐng)航船信息設(shè)計具有輸入飽和特性的有限時間包容控制律，使得跟隨船在有限時間T0內(nèi)收斂于領(lǐng)導(dǎo)船張成的區(qū)域內(nèi)，即滿足：

2 控制器設(shè)計與穩(wěn)定性分析

基于包容偏差向量EX，結(jié)合代數(shù)圖論、齊次系統(tǒng)理論以及飽和函數(shù)特性，n艘跟隨船的有限時間包容控制律設(shè)計為：

式中：控制增益K1,K2＞0；0 ＜α1＜ 1；α2=2α1/ (α1+1)；sigα(x)=|x|αsgn(x)，sgn(x) 為 符號函數(shù)；SD1(x)=[sD1(x1),sD1(x2),…,sD1(x3n)]T為飽和函數(shù)向量；假設(shè)函數(shù)sD1:x→sD1(x)為連續(xù)奇函數(shù)，且滿足：

1）|SD1(x) |≤D，D＞0；

2）x·SD1(x)＞0，x≠0，x∈ R；

3）在x=0 附近，有sD1(x)=cx+o(x),o(x) 表示x的高階無窮小，且c＞0。

與之類似，SD2(x) 為飽和函數(shù)向量，同樣滿足上述3個條件。

定理1 對于具有模型式（9）和式（10）的n艘跟隨船以及模型式（11）的m艘虛擬領(lǐng)導(dǎo)船組成的編隊系統(tǒng)，若滿足假設(shè)1，則跟隨船在控制律式（13）作用下能夠在有限時間內(nèi)收斂于領(lǐng)航船張成的區(qū)域內(nèi)，即滿足控制目標(biāo)式（12）。

證明 證明過程分4步：

1）將控制律式（13）代入式（9）得：

令Lyapunov函數(shù)為：

對式（16）兩邊同時求導(dǎo)得：

將式(14)代入式(19)可得：

將式(22)代入式(14)、(15)得：

式中：SD1(y)=CD1y+o(y)；SD2(y)=CD2y+o(y);CD1，CD2＞0；o(y)為y的高階無窮小量。進一步整理式（24）可得：

結(jié)合式(23)和(25)可得：

其中：

針對如下系統(tǒng)：

進一步，將式(27)進行整理，并證明該是齊次且漸近穩(wěn)定的：

令r1=1,r2=α1/α2,k0=(α1-1)/2,則有：

由上述分析知,系統(tǒng)式（28）關(guān)于(b1,b2,…,bn,bn+1,…,b2n)具有齊次度k0=(α1-1)/ 2 ＜0,其中b1=b2…=bn=1,bn+1=…=b2n=α1/α2。

3) 針對系統(tǒng)式(27)，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)為：

結(jié)合式(27)，對式(29)兩邊同時求導(dǎo)得：

由LaSelle 不變集理論可知,閉環(huán)系統(tǒng)式(27)在eX=0,VF=0全局漸近穩(wěn)定。

4) 分析閉環(huán)系統(tǒng)式(26)非齊次項：

同時有：

綜合式(31)和(32)可知：

根據(jù)引理1，綜合步驟1)～步驟4)可知閉環(huán)系統(tǒng)式(26)在有限時間穩(wěn)定，即eX=0,VF=0 是系統(tǒng)的全局有限時間收斂點。進一步，結(jié)合式(22)可知存在有限時間T0，使得當(dāng)t→T0有XF+與VF=0，即實現(xiàn)控制目標(biāo)式(12)。證畢。

注意 1）從編隊控制律數(shù)學(xué)形式看，以往多船編隊控制算法分完全模型依賴［2,6-12］和部分模型依賴［3-5］2 類。完全模型依賴需要獲得包括Mi,Ci(υi),Di(υi)在內(nèi)的準(zhǔn)確船體準(zhǔn)確模型參數(shù)，這對系統(tǒng)辨識精度提出了挑戰(zhàn)；部分模型依賴往往利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)在線估計模型參數(shù)和外界干擾，但需要計算量較大，且往往也需獲取Mi或Ci(υi)精確值。本文提出控制律式(13)無需慣性矩陣Mi和Ci(υi)，在簡化控制律數(shù)學(xué)形式的同時，實現(xiàn)了有限時間收斂。

2）文獻［7-10］均利用Lyapunov 有限時間穩(wěn)定理論開展多船有限時間編隊控制研究，并未涉及齊次系統(tǒng)理論。由于齊次系統(tǒng)有限時間理論對研究對象的模型數(shù)學(xué)形式要求較高，一般非線性模型不能直接使用。針對此問題，本文先將系統(tǒng)化為積分形式式(9)和式(10)，然后將動力學(xué)部分拆解為齊次項和非齊次項f1(eX,VF)+f2(eX,VF)，進而滿足了引理1 的系統(tǒng)形式要求，最終基于齊次系統(tǒng)理論證明了閉環(huán)系統(tǒng)在有限時間內(nèi)收斂。

3）在編隊形成初期，偏差向量‖EX‖和‖VF‖數(shù)值往往較大，會超過船舶執(zhí)行器的物理上限。因此，本文通過引入飽和函數(shù)約束其變化范圍，更具工程價值。

3 多船包容控制仿真驗證

為驗證控制律式(13)效果，本文以Cybership2為跟隨船驗證模型。此時，控制參數(shù)K1=30,K2=40,α1=1/ 2,α2=2/ 3,D=1，約束函數(shù)sD(x) 為：

式中：常數(shù)D＞0,顯然|sD(x) |≤D。下面從2 種拓撲形式探討編隊控制效果。

3.1 對稱拓撲結(jié)構(gòu)下的多船包容控制

考慮編隊系統(tǒng)由4 艘跟隨船和4 艘虛擬領(lǐng)航船組成，其通信拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 編隊通信拓撲Fig.1 Communication topology

節(jié)點1～4 表示無向連通的跟隨船1～4，節(jié)點5～8表示向跟隨船單向傳送的領(lǐng)航船5～8。假設(shè)通信拓撲中邊的權(quán)重均為1，則系統(tǒng)Laplacian矩陣為：

顯然由L2數(shù)學(xué)形式可知該通信拓撲結(jié)構(gòu)為對稱形式。

假設(shè)4艘跟隨船的初始狀態(tài)分別為：

4艘領(lǐng)航船的位置信息分別為：

圖2～5為對稱通信拓撲結(jié)構(gòu)下的多船編隊系統(tǒng)的控制效果。圖2為4艘跟隨船的運行軌跡,從中可看出跟隨船收斂于4 艘虛擬船張成的矩形區(qū)域內(nèi)；跟隨船的位置偏差變量‖eXi‖=‖pi-pdi‖隨時間變化曲線如圖3。從圖3中可看出,偏差信號在15 s內(nèi)均收斂于0附近,即實現(xiàn)了有限時間內(nèi)收斂的目標(biāo)；圖4 展示跟隨船速度隨時間變化曲線，即在15 s 內(nèi)實現(xiàn)了速度收斂于0；跟隨船在3個方向的控制輸入隨時間變化曲線如圖5 所示。綜上,包容控制律能夠使得跟蹤偏差在有限時間內(nèi)收斂于0,即實現(xiàn)了控制目標(biāo)式(12)。

圖2 船舶運行軌跡Fig.2 Ship trajectory

圖3 跟隨船的跟蹤偏差變化曲線Fig.3 Position tracking errors for each follower

圖4 跟隨船的速度變化曲線Fig.4 Velocities for each follower

3.2 非對稱拓撲下與其他方法比較

考慮編隊系統(tǒng)由3 艘跟隨船和3 艘虛擬領(lǐng)航船組成，取通信拓撲結(jié)構(gòu)為非對稱形式，具體結(jié)構(gòu)如圖6所示。

圖6 編隊通信拓撲Fig.6 Communication topology

其中節(jié)點1～3表示無向連通的跟隨船1～3,節(jié)點4～6 表示虛擬領(lǐng)航船。假設(shè)通信拓撲中邊的權(quán)重均為1,則系統(tǒng)Laplacian矩陣為：

本節(jié)將與文獻［4］所設(shè)計的基于反步技術(shù)的多船包容法進行比較，其控制律為：

假設(shè)3艘跟隨船的初始狀態(tài)分別為：

3艘領(lǐng)航船的位置信息分別為：

在非對稱通信拓撲結(jié)構(gòu)下2 種控制算法的仿真曲線如圖7～11 所示。圖7、圖8 分別為基于反步法和齊次法的船舶運動軌跡，可以看出2 種方法均可使跟隨船收斂于領(lǐng)導(dǎo)船張成的三角區(qū)域內(nèi)。圖9以跟隨船2 為例展示了2 種方法下的位置偏差變量‖eX2‖ 隨時間變化曲線。從圖9 中可看出齊次法相較于傳統(tǒng)反步法具有更快的收斂速度，在10 s 內(nèi)即可收斂于零。跟隨船2的各個軸向速度隨時間變化曲線如圖10所示。2種方法的控制律隨時間變化曲線如圖11所示。從圖11中可以看出，反步法在系統(tǒng)運行初期會產(chǎn)生較大控制幅值，甚至可能超過船舶執(zhí)行器物理上限。本文所提出的基于齊次理論的包容控制算法通過引入約束函數(shù)，避免了初始跟蹤偏差過大問題造成控制輸入過大的問題。

圖7 基于反步法的船舶運行軌跡Fig.7 Ship trajectory based on backstepping method

圖8 基于齊次理論控制法的船舶運行軌跡Fig.8 Ship trajectory based on homogeneous system the‐ory control method

圖9 跟隨船2的跟蹤偏差變化曲線Fig.9 Position tracking errors for follower 2

圖10 跟隨船2的速度變化曲線Fig.10 Velocities for follower 2

圖11 跟隨船2的控制律變化曲線Fig.11 Control inputs for follower 2

4 結(jié)論

針對多領(lǐng)導(dǎo)者船舶編隊控制問題,本文提出了基于齊次系統(tǒng)有限時間穩(wěn)定性理論的飽和包容控制方法，可得如下結(jié)論：

1）所提算法以齊次系統(tǒng)理論為基礎(chǔ)，將系統(tǒng)化為由特定齊次項和非齊次項組成的數(shù)學(xué)形式，可簡化控制律表達式，保證多船編隊的快速收斂。

2）為規(guī)避初始跟蹤偏差過大引發(fā)控制輸入超幅的問題，本文利用飽和函數(shù)特性，結(jié)合圖論相關(guān)知識，提出具有限幅特征的多船編隊控制律。

3）未來將進一步研討基于齊次系統(tǒng)理論的船舶輸出反饋包容控制方法，并將結(jié)論延伸至其它多船編隊控制形式。