基于極限平衡法的邊坡三維穩(wěn)定性計(jì)算

肖合偉

(江西省潦河工程管理局,江西 宜春 330700)

0 引言

邊坡穩(wěn)定性計(jì)算是邊坡工程中重要的研究內(nèi)容。穩(wěn)定性計(jì)算關(guān)乎邊坡穩(wěn)定性狀態(tài)及防護(hù)設(shè)計(jì)的相關(guān)內(nèi)容,對(duì)于邊坡的防護(hù)與治理具有重要現(xiàn)實(shí)意義。目前,關(guān)于邊坡的穩(wěn)定性計(jì)算主要包括理論分析法、模型實(shí)驗(yàn)法及數(shù)值模擬計(jì)算法。陳應(yīng)顯等[1]基于標(biāo)準(zhǔn)橢圓球,構(gòu)建了含軟弱夾層的三維邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型,推導(dǎo)了邊坡穩(wěn)定性計(jì)算理論,結(jié)果表明,含弱層邊坡隨著滑體寬度增加穩(wěn)定性系數(shù)逐漸降低;王東等[2]基于極限平衡原理,研究了含順傾弱層邊坡的三維穩(wěn)定性計(jì)算理論;結(jié)果表明,白音華一號(hào)露天煤礦非工作幫邊坡穩(wěn)定系數(shù)與弱層暴露長度呈負(fù)相關(guān)關(guān)系;朱大勇等[3]基于極限平衡條件,研究了對(duì)稱邊坡的三維穩(wěn)定性計(jì)算方法,結(jié)果表明,初始正應(yīng)力的假設(shè)與修正函數(shù)的選擇對(duì)最終穩(wěn)定系數(shù)結(jié)果的影響不大,采用文章提出的方法可以有效地對(duì)邊坡的穩(wěn)定性進(jìn)行計(jì)算;張劍波等[4]依托黃土高邊坡提出了一種三維穩(wěn)定性計(jì)算方法,并與二維邊坡穩(wěn)定性計(jì)算進(jìn)行了對(duì)比分析,結(jié)果表明,三維模型的計(jì)算精度優(yōu)于二維穩(wěn)定性計(jì)算模型;賀偉明等[5]基于Morgenstern-Price邊坡穩(wěn)定分析極限平衡法,研究了膨脹力作用對(duì)抗剪強(qiáng)度影響,結(jié)果表明,約束條件對(duì)膨脹力具有顯著影響,當(dāng)存在微小約束間隙時(shí),膨脹力將明顯降低;張坤勇等[6]基于極限平衡理論,研究了膨脹土邊坡失穩(wěn)機(jī)理,結(jié)果表明,膨脹土裂隙是影響邊坡穩(wěn)定性的關(guān)鍵因素。此外,在膨脹土邊坡穩(wěn)定性分析中,無需單獨(dú)考慮膨脹作用影響。

考慮三維邊坡穩(wěn)定性計(jì)算的理論方法研究較少,本文基于極限平衡法理論,創(chuàng)新性地引入坡面荷載作用下的邊坡三維計(jì)算模型,推導(dǎo)了在坡面荷載作用下邊坡的三維穩(wěn)定性計(jì)算模型,系統(tǒng)地研究了坡面荷載、土體抗剪強(qiáng)度和坡角等因素對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。本文的計(jì)算可為邊坡的穩(wěn)定性計(jì)算提供理論依據(jù)。

1 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算理論推導(dǎo)

假定存在一處于極限平衡狀態(tài)的三維邊坡。邊坡具體的尺寸和形狀如圖1所示。在此基礎(chǔ)上,建立對(duì)數(shù)螺旋錐面坐標(biāo)系。假定土體的破壞準(zhǔn)則為摩爾-庫倫本構(gòu)模型。邊坡的高度、寬度和坡角分別用H(m)、B(m)和β(°)表示,土體的抗剪強(qiáng)度指標(biāo)為內(nèi)聚力c(kPa)和內(nèi)摩擦角φ(°)。土體的容重為γ(kN/m3),坡面荷載為p(kN/m3)。邊坡在坡面荷載作用下,滑體可視為繞坐標(biāo)原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體,滑動(dòng)面形狀可以由AC和A′C′確定(圖1),對(duì)應(yīng)的方程分別為:

(a)坐標(biāo)系模型 (b)邊坡計(jì)算模型

r=r0e(θ-θ0)tanφ

(1)

(2)

式中,φ為土體材料的內(nèi)摩擦角,°;r為坐標(biāo)原點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離,m;θ為滑動(dòng)面圓弧的半徑與水平面之間的夾角,°。

通過原點(diǎn)與滑體的交線為圓弧,對(duì)應(yīng)的半徑可由下式計(jì)算得到:

(3)

螺旋錐面的中心軸線方程為:

(4)

根據(jù)功能原理,建立邊坡在重力作用下運(yùn)動(dòng)所做的功為:

(5)

式中,γ為土體的重度,kN/m3;x1、x2、y和θB分別由下式計(jì)算得到:

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

根據(jù)摩爾-庫倫屈服準(zhǔn)則和塑性相關(guān)流動(dòng)法則,得到邊坡運(yùn)動(dòng)時(shí)塑性耗散能為:

(12)

式中,c為土體黏聚力,Pa;β為邊坡的坡角,°。式(12)積分區(qū)域分別由(θ0,θB)及(θB,θh)組成。根據(jù)極限平衡原理,邊坡坡面荷載對(duì)旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)的速率為:

(13)

當(dāng)邊坡滑體失穩(wěn)并繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),坡面荷載做功,積分可得到邊坡坡面荷載所做功為:

(14)

根據(jù)土體耗能量和坡面荷載能量等于土體重力勢能。邊坡穩(wěn)定系數(shù)表示為:

(15)

(16)

(17)

(18)

求解上面方程,可以得到三維邊坡在坡面均布荷載作用下的穩(wěn)定系數(shù)的最小值。

2 工程案例分析

為驗(yàn)證本文理論推導(dǎo)的正確性,進(jìn)行工程案例具體驗(yàn)證。本文基于江西某典型紅黏土邊坡為分析對(duì)象,研究坡面荷載及坡角對(duì)邊坡穩(wěn)定性的影響。根據(jù)室內(nèi)土工試驗(yàn),研究邊坡黏土的密度為14.5 g/cm3,顆粒比重為2.5,液限為59.4%,塑限為31.7%,液性指數(shù)為0.08,表現(xiàn)出硬塑的特性。該邊坡的高為20 m,邊坡的頂面長度為15 m,邊坡高度為10 m,假定坡角和坡面荷載為變量。坡面荷載假定為均布荷載,進(jìn)一步假定坡面荷載與內(nèi)聚力的無量綱比值分別為0、0.2、0.4和0.6。邊坡典型剖面見圖2所示。

圖2 邊坡典型剖面

圖3得到了邊坡三維穩(wěn)定性系數(shù)與內(nèi)摩擦角的相互關(guān)系。結(jié)果表明,坡面無均布荷載和存在不同大小的荷載工況下,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)表現(xiàn)出相同的趨勢,即邊坡穩(wěn)定性系數(shù)隨內(nèi)摩擦角的增大而增大,且內(nèi)摩擦角越大,邊坡穩(wěn)定性系數(shù)增大速率越大。當(dāng)無量綱坡面荷載為0,內(nèi)摩擦角由0°增大至40°時(shí),與坡面荷載與內(nèi)聚力無量綱比值為0.2相比,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)增大了59%。導(dǎo)致這一現(xiàn)象的主要原因是由于隨內(nèi)摩擦角的增大,重力所做的功逐漸減小所造成的。

圖4得到邊坡了穩(wěn)定系數(shù)與坡角的關(guān)系。結(jié)果表明,有無坡面荷載作用下,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)隨坡角的變化規(guī)律基本相同。隨坡角的增大,邊坡穩(wěn)定性系數(shù)逐漸減小。當(dāng)坡角由50°增大至60°時(shí),對(duì)應(yīng)無量綱坡面荷載分別為0、0.2、0.4和0.6時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)降低了25%、25.6%、26%和26.8%。當(dāng)坡角由80°增大至90° 時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)減小了15%、15.2%、15.5%和15.6%。

圖4 穩(wěn)定系數(shù)與坡角的關(guān)系

圖5的得到了無量綱坡面荷載和邊坡穩(wěn)定系數(shù)的關(guān)系。首先假定無量綱坡面荷載分別為0、0.2、0.4和0.6,邊坡的寬高比和土體內(nèi)摩擦角分別為2.0和20°時(shí),且邊坡坡度由50°變化至80°,得到邊坡穩(wěn)定性系數(shù)與無量綱坡面荷載的關(guān)系。結(jié)果表明,在邊坡坡角相等的基礎(chǔ)上,當(dāng)無量綱坡面荷載增加時(shí),邊坡穩(wěn)定系數(shù)呈線性增大趨勢;當(dāng)坡面荷載相同時(shí),隨邊坡坡角的增大,穩(wěn)定性系數(shù)降低,且坡面荷載越大,穩(wěn)定性系數(shù)變化梯度越大。

圖5 穩(wěn)定系數(shù)與無量綱坡面荷載的關(guān)系

圖6匯總得到了邊坡穩(wěn)定系數(shù)與邊坡寬高比的變化關(guān)系。其中坡角為70°,土體內(nèi)摩擦角為20°。4條曲線分別對(duì)應(yīng)于無量綱坡面荷載分別為0、0.2、0.4和0.6。結(jié)果表明,當(dāng)邊坡的寬高比小于2時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)波動(dòng)較大,當(dāng)邊坡寬高比大于2.0時(shí),邊坡穩(wěn)定性系數(shù)變化較為平緩。因此,對(duì)于寬高比較小的邊坡,穩(wěn)定性系數(shù)波動(dòng)較大,而對(duì)于寬高比較大的邊坡,由于邊坡的邊界約束較小,因此采用二維計(jì)算與三維的結(jié)果差別較小。實(shí)際工程中當(dāng)寬高比較小時(shí),二維不可以替代三維計(jì)算。此外,根據(jù)計(jì)算結(jié)果,當(dāng)邊坡的寬高比從1.0增大至3.0,對(duì)應(yīng)的無量綱坡面荷載分別為0、0.2、0.4和0.6時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)降低比例分別為18%、17.3%、16.7%和16.1%。當(dāng)邊坡的寬高比從3.0增大至10.0,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)降低比例分別為12.5%、2.2%、2.0%和1.8%。

圖6 穩(wěn)定系數(shù)與坡面寬高比的關(guān)系

3 結(jié)論

本文基于極限平衡理論,建立了考慮坡面荷載的三維邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型,詳細(xì)分析了土體抗剪強(qiáng)度、坡角、坡面荷載及邊坡寬高比對(duì)邊坡穩(wěn)定性的具體影響。得到如下結(jié)論:

(1)坡面不存在荷載和存在大小不同荷載的工況下,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)表現(xiàn)出相同的趨勢,即穩(wěn)定系數(shù)隨內(nèi)摩擦角增大而增大,且內(nèi)摩擦角越大,邊坡穩(wěn)定性系數(shù)增大速率越大。

(2)有無坡面荷載作用下,邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)隨坡角的變化規(guī)律基本相同。隨坡角的增大,邊坡穩(wěn)定性系數(shù)逐漸減小。當(dāng)坡角由50°增大至60°時(shí),對(duì)應(yīng)坡面荷載分別為0、0.2、0.4和0.6時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)降低了25%、25.6%、26%和26.8%。當(dāng)坡角由80°增大至90°時(shí),邊坡的穩(wěn)定性系數(shù)減小了15%、15.2%、15.5%和15.6%。

(3)當(dāng)無量綱坡面荷載增加時(shí),邊坡穩(wěn)定系數(shù)呈線性增大趨勢;當(dāng)坡面荷載相同時(shí),隨邊坡坡角的增大,穩(wěn)定性系數(shù)降低,且坡面荷載越大,穩(wěn)定性系數(shù)變化梯度越大。邊坡的寬高比小于2.0時(shí),穩(wěn)定性系數(shù)波動(dòng)較大,當(dāng)邊坡寬高比大于2.0時(shí),邊坡穩(wěn)定性系數(shù)變化平緩。因此,對(duì)寬高比較小的邊坡,二維穩(wěn)定性計(jì)算不可以替代三維穩(wěn)定性計(jì)算。