基于發(fā)展推理能力的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

林鋒

［摘 要］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要平臺(tái)。文章以“探究圓心運(yùn)動(dòng)路徑的問(wèn)題”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課為例，探討發(fā)展學(xué)生推理能力的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計(jì)，以期給當(dāng)前數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)一些啟示。

［關(guān)鍵詞］數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；推理能力；初中數(shù)學(xué)

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）26-0020-03

推理能力是學(xué)生必備的關(guān)鍵能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)，是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要平臺(tái)。在近期舉行的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)專題活動(dòng)中，筆者以培養(yǎng)學(xué)生的推理能力為目標(biāo)，主講了“探究圓心運(yùn)動(dòng)路徑的問(wèn)題”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課，并對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的教學(xué)設(shè)計(jì)做了全面剖析?，F(xiàn)進(jìn)行相關(guān)介紹，與同仁們分享。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的授課時(shí)間為45分鐘，授課對(duì)象是九年級(jí)學(xué)生，他們已學(xué)完“圓”的內(nèi)容，筆者將全班學(xué)生分為8個(gè)小組，為學(xué)生準(zhǔn)備以下實(shí)驗(yàn)工具：半徑為2 cm的圓形塑料片一個(gè)，半徑為5 cm的圓形塑料圈一個(gè)，邊長(zhǎng)為6 cm的正方形框架一個(gè)，邊長(zhǎng)為5 cm的正五邊形框架一個(gè)，萬(wàn)花尺一套等。

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容與培養(yǎng)目標(biāo)，筆者給本節(jié)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課確定如下教學(xué)目標(biāo)：（1）通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，探究圓在圓、正方形、正五邊形內(nèi)部滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)，探究圓在圓、正方形、正五邊形外部滾動(dòng)時(shí)圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；（2）通過(guò)動(dòng)手滾動(dòng)、觀察路徑、猜想結(jié)論、歸納總結(jié)發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，通過(guò)代數(shù)計(jì)算與幾何證明等實(shí)驗(yàn)活動(dòng)發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力；（3）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)中，不斷積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，感受數(shù)學(xué)文化的魅力。

二、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)與分析

［數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1］圓在圖內(nèi)部滾動(dòng)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)的路徑探究。

1.小圓與大圓內(nèi)切時(shí)滾動(dòng)，小圓圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)探究

操作流程：如圖1所示，把半徑為2 cm的圓形塑料片放入半徑為5 cm的圓形塑料圈內(nèi)，兩圓內(nèi)切，用筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓在大圓內(nèi)部滾動(dòng)一周，在滾動(dòng)過(guò)程中始終保持內(nèi)切，觀察筆尖的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。

計(jì)算猜想與驗(yàn)證：你能計(jì)算小圓圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)嗎？如果大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，那么小圓圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是多少？如果小圓按住不動(dòng)，讓大圓運(yùn)動(dòng)，并始終保證兩圓內(nèi)切，那么大圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？為什么？

生1：我們小組經(jīng)過(guò)操作，觀察到筆尖的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓。

生2：筆尖的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心是大圓圓心[O']，半徑是5-2=3（cm），所以小圓圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為6π。

生3：如果大圓的半徑為R，小圓的半徑為r，那么小圓圓心運(yùn)動(dòng)的路徑仍是一個(gè)圓，圓心是大圓圓心[O']，半徑是（R-r），所以小圓圓心運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2（R-r）π。

生4：如果小圓按住不動(dòng)，讓大圓運(yùn)動(dòng)，并始終保證兩圓內(nèi)切，那么大圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑還是一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心是小圓圓心O，半徑是（R-r），所以大圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為2（R-r）π。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生已經(jīng)學(xué)完了“圓”的全部知識(shí)，兩圓始終內(nèi)切學(xué)生知道該如何去做，小圓在大圓內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，學(xué)生操作比較容易。低起點(diǎn)的教學(xué)能使學(xué)生快速融入課堂，從操作到猜想再到計(jì)算推理，既培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力，也培養(yǎng)了學(xué)生的演繹推理能力。

2.圓與正多邊形的邊內(nèi)切時(shí)滾動(dòng)，圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)探究

操作流程：如圖2所示，將半徑為2 cm的圓形塑料片放在邊長(zhǎng)為6 cm的正方形框架內(nèi)，小圓片與正方形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正方形內(nèi)滾動(dòng)一周，觀察小圓片圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。如圖3所示，將半徑為2 cm的圓形塑料片放在邊長(zhǎng)為5 cm的正五邊形框架內(nèi)，小圓片與正五邊形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正五邊形內(nèi)滾動(dòng)一周，觀察小圓片圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。

計(jì)算猜想與驗(yàn)證：如圖2，你能計(jì)算小圓片圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)嗎？如圖3，你能計(jì)算小圓片圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)嗎？如圖4所示，如果將半徑為r的圓形塑料片放在邊長(zhǎng)為m（[m>2r]）的正多邊形框架內(nèi)，小圓片與正多邊形的邊始終保持相切，將筆尖插入小圓片的圓心，讓小圓片在正多邊形內(nèi)滾動(dòng)一周，小圓片圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形？如何計(jì)算小圓片的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)？

生5：在圖2中，小圓片在正方形內(nèi)滾動(dòng)，并保證圓與正方形的邊相切，我們小組觀察到圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是2 cm，所以小圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為8 cm。

生6：在圖3中，小圓片在正五邊形內(nèi)滾動(dòng)，并保證圓與正五邊形的邊相切，我們小組觀察到圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)正五邊形，這個(gè)正五邊形的邊長(zhǎng)經(jīng)測(cè)量約為2 cm，所以小圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為10 cm。

生7：在圖4中，小圓片在正多邊形內(nèi)滾動(dòng)，并保證圓與正多邊形相切，我們猜想小圓片圓心的路徑是一個(gè)正多邊形，且邊數(shù)與原正多邊形邊數(shù)相同，但不知如何計(jì)算圓片的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：從正方形、正五邊形到正[n]邊形體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，學(xué)生借助抽象與類比提出猜想，最后運(yùn)用演繹推理證明驗(yàn)證了猜想的合理性。

［數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)2］圓在多邊形外部滾動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)探究。

操作與觀察：（1）如圖8所示，將半徑為2 cm的小圓片放在半徑為5 cm的圓圈外部滾動(dòng)，并始終保持小圓與大圓相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。（2）如圖9所示，將半徑為2 cm的小圓片放在邊長(zhǎng)為6cm的正方形外部滾動(dòng)，并始終保持小圓與正方形的邊相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。（3）如圖10所示，將半徑為2 cm的小圓片放在邊長(zhǎng)為5 cm的正五邊形外運(yùn)動(dòng)，并始終保持小圓與正五邊形的邊相切，將筆尖插入小圓圓心，觀察小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形。

計(jì)算猜想與驗(yàn)證：你能計(jì)算圖8中小圓圓心運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少嗎？圖9中，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？圖10中，小圓圓心的路徑長(zhǎng)是多少？如圖11所示，將半徑為r的圓片放在多邊形的外部滾動(dòng)，這個(gè)多邊形的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，并始終保持圓與多邊形的邊相切，那么小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形？小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？為什么？

生8：通過(guò)操作，我們小組發(fā)現(xiàn)，在圖8中，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓，這個(gè)圓的圓心是大圓圓心，半徑是兩個(gè)圓的半徑之和，即[2+5=7]（cm），如圖12所示，所以小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為14π。

生9：通過(guò)操作，我們小組發(fā)現(xiàn)，在圖9中，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓角正方形，如圖13所示，它由四條線段與四段圓弧組成，這四條線段的長(zhǎng)等于正方形的周長(zhǎng)，即[6×4=24]（cm），四段圓弧都相等，每段圓弧的圓心角度數(shù)是90°，半徑是2 cm，所

生10：通過(guò)操作，我們小組發(fā)現(xiàn)，在圖10中，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓角正五邊形，如圖14所示，但不知如何計(jì)算小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)。

師生活動(dòng)：如圖14所示，小圓在正五邊形的外部滾動(dòng)，當(dāng)小圓滾過(guò)每個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，都形成一段圓弧，這五段圓弧的長(zhǎng)度都相等，那么每段圓弧的半徑與圓心角分別是多少？當(dāng)小圓滾過(guò)頂點(diǎn)E時(shí)，小圓半徑OE從垂直于DE的狀態(tài)，到O′E垂直于EF的狀態(tài)，所以圓弧的半徑就是小圓的半徑2 cm，此時(shí)[∠OED=90°]，[∠O′EF=90°]，[∠DEF=108°]，所以[∠OEO′=72°]，因?yàn)檫@五段圓弧的半徑都相等，均為2 cm，將它們合在一起，恰好構(gòu)成一個(gè)半徑為[2 cm]的圓，這個(gè)圓的周長(zhǎng)為4π，所以這五段圓弧長(zhǎng)之和為4π，運(yùn)動(dòng)路徑中的五條線段等于五邊形的周長(zhǎng)[=5×5=25 cm]，所以在圖10中，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為（[25+4π]） cm。

如圖11所示，當(dāng)半徑為r的小圓片在周長(zhǎng)為L(zhǎng)的多邊形的外部滾動(dòng)時(shí)，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形呢？運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是多少？我們可以從小圓片在正方形外部滾動(dòng)，小圓片在正五邊形外部滾動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)路徑及其長(zhǎng)度中找到活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，首先小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑也是由線段與圓弧組成的圓角多邊形，其中的線段長(zhǎng)之和等于多邊形的周長(zhǎng)L，其中的圓弧長(zhǎng)之和等于小圓的周長(zhǎng)，所以半徑為r的圓在周長(zhǎng)為L(zhǎng)的多邊形外部滾動(dòng)時(shí)，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=L+2πr。

設(shè)計(jì)意圖：實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)由內(nèi)而外，思維的難度與推理的難度也在增大。當(dāng)小圓片在正方形外部滾動(dòng)時(shí)，有部分學(xué)生認(rèn)為其運(yùn)動(dòng)路徑是正方形，產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是學(xué)生根據(jù)小圓在大圓的外部滾動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)路徑是一個(gè)圓這一經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為小圓在正方形的外部滾動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)路徑也應(yīng)是一個(gè)正方形，這是知識(shí)的負(fù)遷移造成的結(jié)果。筆者讓學(xué)生實(shí)際操作，通過(guò)動(dòng)手操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑并不是一個(gè)圓，而是一個(gè)圓角正方形。有了這次的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，學(xué)生在操作正五邊形時(shí)謹(jǐn)慎多了，通過(guò)實(shí)際操作，學(xué)生發(fā)現(xiàn)小圓在正五邊形外部滾動(dòng)時(shí)，圓心拐過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，形成了一小段圓弧，而不是一個(gè)點(diǎn)。在猜想驗(yàn)證部分，由數(shù)字變?yōu)樽帜?，從特殊到一般，筆者始終讓學(xué)生思考兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑由幾部分組成？二是頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度之和是360°嗎？學(xué)生結(jié)合已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)提出自己的猜想，然后用演繹推理的方法進(jìn)一步論證，最后得到了“半徑為r的圓在周長(zhǎng)為L(zhǎng)的多邊形外部滾動(dòng)時(shí)，小圓圓心的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)=L+2πr”的結(jié)論。

［數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3］萬(wàn)花尺的美妙圖案。

如圖15所示，這是一副萬(wàn)花尺，通過(guò)筆尖可以使小圓在大圓內(nèi)滾動(dòng)起來(lái)，在小圓內(nèi)有數(shù)個(gè)小孔，這些小孔并不是均勻分布的，將筆尖插入不同的小孔，經(jīng)過(guò)若干次在圓內(nèi)滾動(dòng)后，畫(huà)出的圖案都不一樣。

如圖16和圖17所示是學(xué)生利用萬(wàn)花尺與彩筆畫(huà)出的美麗圖案。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)出與本次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課相關(guān)的“繁花曲線”，充分體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之美。

三、教后反思

（一）有效的問(wèn)題情境是發(fā)展學(xué)生推理能力的重要載體

問(wèn)題情境可引導(dǎo)學(xué)生自主探索數(shù)學(xué)結(jié)論，有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力。第一，筆者設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，讓學(xué)生用筆尖插入小圓片的圓心，在滾動(dòng)過(guò)程中始終保持內(nèi)切，觀察筆尖的運(yùn)動(dòng)路徑是什么圖形，計(jì)算小圓圓心O的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)，激發(fā)了學(xué)生探究的興趣與欲望。第二，筆者設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題情境，在開(kāi)放性問(wèn)題情境的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生在 “做數(shù)學(xué)”中主動(dòng)探究，促進(jìn)了學(xué)生推理能力的發(fā)展。

（二）豐富的活動(dòng)空間是發(fā)展學(xué)生推理能力的有力保障

新課標(biāo)指出，通過(guò)多樣化的活動(dòng)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。本節(jié)課的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以“做”為支架，引導(dǎo)學(xué)生邊做邊學(xué)。在做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了猜想、操作、觀察、質(zhì)疑、再操作等推理過(guò)程。不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)為學(xué)生推理能力的發(fā)展提供了較大的空間，使學(xué)生積累了豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。