新高考背景下基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究

尹櫻樺　楊立英

［摘 要］文章主要研究新高考背景下基于問題鏈的高中數(shù)學(xué)課堂——“高中數(shù)學(xué)概念課”和“高中數(shù)學(xué)專題課”，旨在為數(shù)學(xué)概念課和專題課的問題鏈設(shè)計提供一定的參考引導(dǎo)，形成可操作性強、指導(dǎo)性強的問題鏈設(shè)計指南。

［關(guān)鍵詞］新高考；問題鏈；高中數(shù)學(xué)；概念形成

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0017-04

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強調(diào)“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！痹跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)中，合理設(shè)計問題并把問題串在一起形成“問題鏈”，是幫助學(xué)生自主建構(gòu)知識的一種重要手段?！皢栴}鏈”是教師將教材知識轉(zhuǎn)換為層次鮮明，具有系統(tǒng)性、邏輯性、啟發(fā)性的一連串的教學(xué)問題，是一組有目標(biāo)、有層次、相對獨立而又相互關(guān)聯(lián)的問題。從形式上看，“問題鏈”是一問接一問，一環(huán)扣一環(huán)的；從內(nèi)容上看，它是問問相連，環(huán)環(huán)緊扣的；從目標(biāo)上看，它是層層深入的。教師在進行“問題鏈”設(shè)計時，可以根據(jù)每個學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，根據(jù)弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論進行教學(xué)法加工，使得學(xué)生有效經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程。教師可利用“問題鏈”為學(xué)生搭建再創(chuàng)造的平臺。提問應(yīng)設(shè)計在學(xué)生“現(xiàn)有水平”與“最近發(fā)展區(qū)”的結(jié)合點處，同時預(yù)設(shè)學(xué)生的回答，創(chuàng)建能高度應(yīng)變的幾條問題鏈供課堂選擇，培養(yǎng)學(xué)生再創(chuàng)造的技能。

一、高中數(shù)學(xué)概念課

（一）高中數(shù)學(xué)概念課問題鏈設(shè)計概述

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成，所以首先要明確為什么需要學(xué)習(xí)相應(yīng)的概念，這有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)概念的好奇心，也能通過認(rèn)知沖突激發(fā)學(xué)生進一步探究的欲望。其次讓學(xué)生更直觀明了地記住概念，辨析概念中的關(guān)鍵詞和核心思想方法，建構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)概念的思維體系，最終達(dá)到理解后合理應(yīng)用概念的目的。課堂可分為五個階段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括學(xué)習(xí)概念時所涉及的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)工具的運用）、概念的升華和反思。

（二）高中數(shù)學(xué)概念課問題鏈設(shè)計原則

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，主動參與、勤于思考，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力。這些都要求教師在課堂上要合理設(shè)計好問題鏈。在這個背景下，高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)應(yīng)該做到符合時代發(fā)展的趨勢，真正有效組織學(xué)生探究，用問題鏈打造一個師生互動、生生互動的高效課堂，讓高中數(shù)學(xué)的教育教學(xué)真正發(fā)揮出其價值。高中數(shù)學(xué)概念課問題鏈設(shè)計應(yīng)遵循激發(fā)學(xué)習(xí)欲望原則、邏輯引領(lǐng)原則、循序漸進原則、整體性原則。

（三）高中數(shù)學(xué)概念課問題鏈案例

【案例1】 函數(shù)的基本性質(zhì)——函數(shù)的單調(diào)性

1.概念的感知

問題1：下列四幅圖有什么不同？

追問：按圖象上升、下降的趨勢進行分類有什么不同？

設(shè)計意圖：直觀感知，從左到右的上升和下降，形成單調(diào)性的圖象定義。

2.概念的感知

問題2：觀察這幅圖，其變化規(guī)律有什么不同？

設(shè)計意圖：直觀看圖，在上升和下降微妙的變化處有爭議，引發(fā)認(rèn)知沖突。

問題3：如果只是觀察圖象無法準(zhǔn)確判斷函數(shù)是否為增函數(shù)，需要進一步用“定量”的方法，對這一性質(zhì)進行準(zhǔn)確刻畫，我們可以借助什么量呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過矛盾沖突感受“形缺數(shù)時難入微”，為概念的引入提供條件；讓學(xué)生好奇如何定量判斷函數(shù)的單調(diào)性，為數(shù)學(xué)符號語言的引入打下基礎(chǔ)。

3.概念的形成——實驗操作確認(rèn)概念

問題4：大家都想到了用點的坐標(biāo)，下面請大家觀察函數(shù)[f（x）=x2]在[x∈0，+∞]上的變化規(guī)律，完成實驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計。

設(shè)計意圖：讓學(xué)生動手收集數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)，操作確認(rèn)，從而生成概念。

問題5：通過上述表格數(shù)據(jù)，從特殊到一般，你能得出什么結(jié)論？

追問1：需要滿足什么樣的條件可以得出y隨x增大而增大？

追問2：類似的問題，什么是單調(diào)遞減呢？

4.概念的辨析——再創(chuàng)造后構(gòu)建思維體系

問題6：函數(shù)[f（x）=x2]在[x∈]（-∞，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)嗎？

追問：這是從形的角度認(rèn)知的。利用剛學(xué)的概念，從數(shù)的角度怎么解釋你的結(jié)論呢？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合思想的同時，掌握說明單調(diào)性的兩大工具——圖象法和概念法。

問題7：除函數(shù)[f（x）=x2]外，你還知道哪些函數(shù)在定義域上某些區(qū)間單調(diào)遞增，而在另一個區(qū)間單調(diào)遞減的？

問題8：你能舉例在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：通過一系列問題讓學(xué)生深刻理解單調(diào)性的概念，明確函數(shù)單調(diào)性是針對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。

5.概念的應(yīng)用——實踐過程

［例1］根據(jù)定義，研究函數(shù)[f（x）=kx+b（k≠0）]的單調(diào)性。

問題9：通過這個例子，你能歸納用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟嗎？

設(shè)計意圖：定義的應(yīng)用讓學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性概念的同時明確其證明步驟。

輔助相應(yīng)練習(xí)：物理學(xué)中的玻意耳定律[p=kV]（k為正常數(shù)），對于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時，壓強p將增大，試對此函數(shù)的單調(diào)性進行證明。

設(shè)計意圖：通過練習(xí)讓學(xué)生明晰函數(shù)單調(diào)性的證明步驟并親身體會用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯證明物理問題，做到學(xué)以致用。

問題10：函數(shù)[p=kV]更一般化，[V]換成[x]，[x]就沒有了大于0的要求，就是我們的反比例函數(shù)[f（x）=kx]（[k>0]），是否可說它在（-∞，0）∪（0，+∞）上單調(diào)遞減？

設(shè)計意圖：推廣到反比例函數(shù)后促使學(xué)生能用“概念”檢驗的眼光來認(rèn)識分段函數(shù)的單調(diào)性，再次明確函數(shù)單調(diào)性是針對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。

6.概念的升華和反思

問題11：在證明上述這兩道例題時，觀察自變量大小到函數(shù)值大小的變化過程，你發(fā)現(xiàn)自變量的大小和函數(shù)值的大小間是什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：內(nèi)化反思函數(shù)單調(diào)性的定義，進一步發(fā)現(xiàn)在定義域某個區(qū)間內(nèi)，增函數(shù)就是要求自變量作差和對應(yīng)函數(shù)值作差后符號同號，減函數(shù)是異號。

數(shù)學(xué)概念的教學(xué)是整個數(shù)學(xué)教學(xué)中一個非常重要的環(huán)節(jié)，概念課設(shè)計的問題鏈應(yīng)經(jīng)歷上述五個階段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的應(yīng)用、概念的升華和反思。通過設(shè)置一系列問題，使學(xué)生對概念的學(xué)習(xí)理解得到拓展和延伸。本節(jié)課通過問題鏈從一開始的感知概念到認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探索概念的欲望，通過學(xué)生操作演算，使數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)不再是無源之水，無本之木，可感可驗。學(xué)生深刻體會數(shù)形結(jié)合思想，會使用“數(shù)”和“形”兩大工具。學(xué)生參與了數(shù)學(xué)概念的形成過程，他們可以結(jié)合概念在現(xiàn)實中的原型體會抽象出概念的過程，從符號化和形式表述等多角度理解一個數(shù)學(xué)概念。概念辨析過程是通過問題鏈?zhǔn)箤W(xué)生對概念有了全面而深刻的認(rèn)識，認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念在哲學(xué)意義上的辯證統(tǒng)一，認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念的抽象與具象，嚴(yán)謹(jǐn)和靈動，動態(tài)和定量的對立統(tǒng)一，進而到概念的應(yīng)用和內(nèi)化升華這一過程就水到渠成了。

二、高中數(shù)學(xué)專題課

（一）高中數(shù)學(xué)專題課問題鏈設(shè)計概述

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出，高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容突出函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動四條主線。圍繞這些主線內(nèi)容設(shè)計專題課，能使高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)思維更嚴(yán)謹(jǐn)化、系統(tǒng)化和整體化。教師可將每個板塊內(nèi)容相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、能力、思想方法進行歸納總結(jié)，并深入挖掘、舉一反三，使學(xué)生在原有認(rèn)知上得到新的啟發(fā)，從而建構(gòu)起更全面的知識體系，進而深化他們對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識，提升他們的綜合運用能力，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，專題課是不可或缺的課型。高中數(shù)學(xué)課程的幾個板塊都可設(shè)計出很多相應(yīng)的專題引導(dǎo)學(xué)生展開學(xué)習(xí)，這使得專題課內(nèi)容選擇更加多元化。內(nèi)容選擇上要緊扣教材，符合學(xué)情，符合課程標(biāo)準(zhǔn)，教師要發(fā)揮智慧，將分散在教材每一章、每一節(jié)的知識點進行整合，縱向或橫向地把具有相關(guān)性的內(nèi)容進行分類整理和劃分，形成解題策略，從而展開專題課的教學(xué)。這樣的教學(xué)能夠根據(jù)學(xué)生的實際情況，解決學(xué)生的一個知識板塊或者解題方法的一系列問題，有更準(zhǔn)、更細(xì)、更深的特點，是傳統(tǒng)習(xí)題課的“濃縮版”和“精華版”。

哲學(xué)家卡爾·波普爾認(rèn)為，愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發(fā)新問題。這啟發(fā)我們把問題鏈引入到專題課中能提升專題復(fù)習(xí)的效率。一方面，問題鏈搭建起的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)框架，具有更好的思維啟發(fā)性和復(fù)習(xí)針對性；另一方面，問題鏈中層層遞進的問題能使學(xué)生的思維更發(fā)散，解題方法更多樣化，為學(xué)生的知識建構(gòu)提供了無限的可能。把問題鏈有機地融入高中數(shù)學(xué)專題課中，用問題鏈驅(qū)動學(xué)生思考與解決專題課中的問題，可使學(xué)生掌握相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法，更好地實現(xiàn)對數(shù)學(xué)知識的自主探究與思維的自主建構(gòu)，從而提升綜合能力。

（二）高中數(shù)學(xué)專題課問題鏈設(shè)計原則

高中數(shù)學(xué)專題課上，由于學(xué)生所用到的知識點以及學(xué)習(xí)時間是不同的，因此教師需要在開展專題課時幫助學(xué)生回顧相關(guān)知識，創(chuàng)設(shè)相應(yīng)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。在高中數(shù)學(xué)專題課上，隨著問題的不斷拓展和深入，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維逐漸走向縱深，促進他們不斷發(fā)現(xiàn)問題、思考問題、解決問題，學(xué)會整體把握相關(guān)知識內(nèi)容，逐步構(gòu)建完整的數(shù)學(xué)知識體系。針對課堂學(xué)習(xí)情況，在專題課后教師還要繼續(xù)設(shè)計不同層次的練習(xí)，促進學(xué)生理解相關(guān)知識，更好地引導(dǎo)學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識，提升學(xué)生的綜合能力，從而達(dá)到鞏固專題課的教學(xué)效果的目的。這完全符合專題課的問題鏈設(shè)計原則，即實現(xiàn)激發(fā)學(xué)習(xí)欲望原則、邏輯引領(lǐng)原則、循序漸進原則、整體性原則。

（三）高中數(shù)學(xué)專題課問題鏈設(shè)計案例

［案例2］專題課——圓錐曲線的光線性質(zhì)

1.復(fù)習(xí)回顧——認(rèn)知拓展鏈

問題1：三種圓錐曲線的共性是什么？

設(shè)計意圖：從學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”引入問題，起到復(fù)習(xí)舊知識，引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)感知新知識學(xué)習(xí)必要性的作用，激發(fā)學(xué)生進一步探索的欲望?！罢J(rèn)知拓展鏈”設(shè)計可以遵循“回顧—感知—激發(fā)—探求”這個邏輯順序展開。

2.情境創(chuàng)設(shè)——思維導(dǎo)向鏈

問題2：相傳在古希臘的西西里島上有一個橢圓形山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞用這個山洞囚禁犯人，囚犯們多次密謀逃跑，但是每次都失敗，起初，囚犯們懷疑有內(nèi)奸，但是始終沒有查出內(nèi)奸是誰，奇怪的是，無論囚犯們說了什么，看守總能知道，因此這個恐怖山洞被稱為“杰尼西亞的耳朵”。這個山洞究竟有什么秘密呢？

設(shè)計意圖：情境創(chuàng)設(shè)源于生活，激發(fā)學(xué)生的求知欲，明確專題歸納拓展的方向和專題解決的問題。“思維導(dǎo)向鏈”使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，從而達(dá)到學(xué)會學(xué)習(xí)的目的。

問題3：回顧前面學(xué)過的知識，思考從橢圓的一個焦點發(fā)出的聲音，經(jīng)過橢圓反射后，有什么特點。

設(shè)計意圖：把聲波的傳播類比到光線的傳遞，實現(xiàn)知識的遷移?！八季S導(dǎo)向鏈”的設(shè)計可以遵循“引導(dǎo)—類比—遷移—歸納” 這個邏輯順序展開。

3.類比總結(jié)——內(nèi)化提升鏈

問題4：類比橢圓的光學(xué)性質(zhì)，猜想：從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線有什么特點？

設(shè)計意圖：類比總結(jié)出三種圓錐曲線光學(xué)性質(zhì)的特性，提煉共性為后面強化知識應(yīng)用做鋪墊。

問題5：一位導(dǎo)游帶領(lǐng)游客到一面巨大的雙曲線形（一支）的圍墻前欣賞壁畫，導(dǎo)游面對壁畫大聲給游客講解，游客們覺得很納悶，為什么感覺聲音是從墻外某地方傳來的。你能用剛才所學(xué)的知識解釋這個“隔墻有聲”嗎？

設(shè)計意圖：進一步感知圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在生活中處處都有，學(xué)會應(yīng)用很有必要，也使學(xué)生愈發(fā)覺得探索有意思，激發(fā)出更強烈的求知欲。

問題6：類比橢圓和雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，猜想：從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線有什么特點呢？

設(shè)計意圖：進一步拓展、歸納整體知識的覆蓋范疇，“內(nèi)化提升鏈”在專題課中處于核心的地位，可以遵循“拓展—歸納—深入”這個邏輯順序開展。

問題7：傳說公元前三世紀(jì)，阿基米德為抵抗羅馬軍隊的侵略，帶領(lǐng)敘拉古人民制作了一面大拋物面凹鏡（名曰點火鏡），使對方船只產(chǎn)生高溫，焚燒起來，從而成功擊退敵軍，你能解釋這是為什么嗎？

設(shè)計意圖：通過圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在生活中的應(yīng)用自然而然地過渡到總結(jié)其共性的應(yīng)用上來。

4.應(yīng)用升華——拓展應(yīng)用鏈

小結(jié)：圓錐曲線共性——光學(xué)性質(zhì)

從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一焦點上；從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線反向延長交于雙曲線的另一焦點上；從焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸。

問題8：已知橢圓（雙曲線）的一個焦點，怎樣找到另一個焦點的位置？

設(shè)計意圖：圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)不光在生活中有所應(yīng)用，也可以反向應(yīng)用，找到圓錐曲線的焦點位置?！巴卣箲?yīng)用鏈”可以遵循“應(yīng)用—強化—反思”這個邏輯順序開展。

問題9：根據(jù)所學(xué)怎樣確定拋物線焦點的位置？

設(shè)計意圖：學(xué)生實驗操作更好地強化光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用。

問題10：如果不是從圓錐曲線焦點發(fā)出的光線，經(jīng)圓錐曲線（不妨先考慮在橢圓中反射的情形）反射后會出現(xiàn)什么情形呢？

設(shè)計意圖：開闊眼界，橢圓中不經(jīng)過焦點的光線反射后有不同情形甚至運行軌跡會形成雙曲線，再次讓學(xué)生感受到圓錐曲線有意思的“統(tǒng)一”升華，這也是專題學(xué)習(xí)的價值。

本文旨在形成有利于高中數(shù)學(xué)課堂使用的問題鏈的設(shè)計操作指南，根據(jù)這個指南針對不同課型使用不同的問題鏈設(shè)計方式，用問題鏈打造一個師生互動、生生互動的高效課堂， 鼓勵學(xué)生進行思辨。學(xué)生在思考、回答、再思考、再回答的過程中思維能力得到提升，掌握思辨方法，并學(xué)會主動進行探究和反思。這樣教學(xué)，可讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣增加的同時能夠更好地建構(gòu)知識體系，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

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［1］? 常全奎.新高考背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則與策略分析［J］.數(shù)理化解題研究，2022（12）：62-64.

［2］? 方樹麗.新高考背景下高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價研究［J］.數(shù)理化解題研究，2022（3）：32-34.

［3］? 黃光榮. 問題鏈方法與數(shù)學(xué)思維［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（2）： 35-37.