再談圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系的綜合考查

欒功　顏?zhàn)先~　肖玉霞

［摘 要］文章通過對(duì)2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題的解法進(jìn)行探究，揭示了2023年新高考數(shù)學(xué)試題的一大新亮點(diǎn)：圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系深度綜合，為2024年高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考提供參考。

［關(guān)鍵詞］圓錐曲線；函數(shù)；不等關(guān)系；綜合考查；新高考

［中圖分類號(hào)］ G633.6 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? A ［文章編號(hào)］ 1674-6058（2023）26-0001-03

新時(shí)代背景下的教學(xué)改革與高考評(píng)價(jià)改革同向同行。隨著全國各省新一輪教材的使用，截至2023年7月，全國已有29個(gè)省份啟動(dòng)新高考改革。近4年新高考數(shù)學(xué)試題的命題在逐步趨于穩(wěn)定的同時(shí)，突出了一些新的亮點(diǎn)。筆者在本刊2023年第20期的文章中以2023年全國甲卷理科第20題為例論述了2023年高考數(shù)學(xué)試題的一大亮點(diǎn)：解析幾何與函數(shù)深度綜合。下面筆者以2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第22題為例，再談2023年高考數(shù)學(xué)試題的另一大新亮點(diǎn)：圓錐曲線與函數(shù)、不等關(guān)系深度綜合。

一、 試題呈現(xiàn)

（1）求[W]的方程；

分析 試題第（1）問以考生熟悉的拋物線的定義為知識(shí)背景，考查拋物線的概念和求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的基本方法；第（2）問將一個(gè)邊長可變的矩形與拋物線結(jié)合，考查矩形周長的最小化問題，看似是考生熟悉的弦長問題，實(shí)則極具創(chuàng)新性，將圓錐曲線中的弦長問題與絕對(duì)值函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)深度綜合，注重思維過程，突出考查考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，有助于拔尖創(chuàng)新人才的選拔。

二、試題溯源

題源1 （新人教A版數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第146頁“復(fù)習(xí)參考題3”第10題，圖略）已知直線與拋物線[y2=2pxp>0]交于[A]，[B]兩點(diǎn)，且[OA⊥OB]，[OD⊥AB]交[AB]于點(diǎn)[D]，點(diǎn)[D]的坐標(biāo)為[2，1]，求[p]的值。

題源2 （2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第13題，圖略）已知點(diǎn)[A0，2]和拋物線[y2=x+4]上兩點(diǎn)[B、C]，使得[AB⊥BC]，求點(diǎn)[C]的縱坐標(biāo)的取值范圍。

題源3 （1998年上海市高中數(shù)學(xué)競賽第三大題，圖略）已知在拋物線[y=x2]上有一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)[A]、[B]、[C]，求這個(gè)正方形面積的最小值。

題源1源于教材習(xí)題，與上述試題在幾何特征上有相同的本質(zhì)，都是直角三角形與拋物線相結(jié)合，區(qū)別在于題源1是確定性問題，而上述試題是雙動(dòng)點(diǎn)問題，源于教材而高于教材，起到引導(dǎo)教學(xué)、回歸教材的作用。題源2與題源1相比，由確定性問題上升為動(dòng)態(tài)問題。題源3與上述試題幾乎相同，歷年的競賽試題往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，一線教師需引起重視。

三、 解法探究

對(duì)于復(fù)雜的問題，考生可先從較為特殊的情況入手探尋思路。如圖1所示，本題最特殊的情況就是矩形有一個(gè)頂點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)重合，與題源1相同，考生自然清楚這是關(guān)于直線[BC]斜率[k]的函數(shù)問題。由于本題中矩形與拋物線搭接形式的開放性，我們需要順勢思考更為一般的情況。如圖2所示，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)有三個(gè)頂點(diǎn)在拋物線上，則這三個(gè)點(diǎn)不可能同時(shí)出現(xiàn)在[y]軸的同側(cè)，結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，從邏輯意義上我們不妨只考慮圖3的情況，記點(diǎn)[A、B、C]在拋物線上，且點(diǎn)[A]在[y]軸的左側(cè)，點(diǎn)[B]、[C]依次出現(xiàn)在[y]軸的右側(cè)。下面從不同角度設(shè)參求解。

評(píng)析：設(shè)線求解弦長是解答這類問題的通性通法，大部分考生都會(huì)想到這一步，解題困難主要在于矩形周長取值范圍的求解。由于矩形邊長的可變化性，致使矩形周長的表達(dá)式出現(xiàn)了雙變量，這讓絕大部分考生望而卻步。該解法選擇先固定主元再求解的思路，是解決雙變量問題的常見方法。在具體的函數(shù)最值求解過程中，不論是去絕對(duì)值的分類討論，還是運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解目標(biāo)函數(shù)的單調(diào)性，都將函數(shù)與圓錐曲線的綜合體現(xiàn)得淋漓盡致。試題命制之新穎，解答之根本，都無不讓人贊嘆不已。

評(píng)析：該解法建立在洞悉試題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)之上，通過兩個(gè)“不妨設(shè)”和代數(shù)代換，避免了解法1的分類討論，體現(xiàn)了“多想少算”的命題意圖，對(duì)考生的數(shù)學(xué)思維能力要求較高。

評(píng)析：該解法的本質(zhì)是借助直線的方向向量探尋矩形[ABCD]有三個(gè)頂點(diǎn)落在拋物線上的充要條件，對(duì)考生的動(dòng)態(tài)思維能力和化歸與轉(zhuǎn)化問題的能力要求較高。

四、 回顧反思

回顧以上解法，解題思路皆源于對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解，進(jìn)一步探究，便有如下思考：

我們可做如下嘗試：

這里巧妙地借助[k]的范圍對(duì)表達(dá)式進(jìn)行初步放縮，從而接著利用三角不等式放縮消元，將二元函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題。試題巧妙地將解析幾何、函數(shù)、不等關(guān)系融合在一起，加大了對(duì)數(shù)學(xué)思維的考查，為不同層次的考生發(fā)揮水平提供了空間。

思考3 新時(shí)代下的高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的重心在哪里？從解題分析來看，試題的命制源于基礎(chǔ)性、本源性知識(shí)，發(fā)展于各知識(shí)模塊之間的聯(lián)系。從新高考試題體現(xiàn)的這兩大亮點(diǎn)來思考，高三復(fù)習(xí)教學(xué)的重心應(yīng)落在基本概念、公式、原理等本源性知識(shí)的理解上，落在知識(shí)體系的構(gòu)建上，落在學(xué)生思維能力的培養(yǎng)上。當(dāng)然，高一、高二基礎(chǔ)年級(jí)的教學(xué)更應(yīng)如此。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 2002年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽［J］.中等數(shù)學(xué)，2002（6）：19-24.

［2］? 李大元，劉鴻坤，熊斌，等.1998年上海市高中數(shù)學(xué)競賽［J］.中等數(shù)學(xué)，1999（3）：28-29.

［3］? 教育部教育考試院.高考試題分析：數(shù)學(xué)：2024年版［M］.北京：語文出版社，2023.