基于PASCO轉(zhuǎn)動運動傳感器測量剛體轉(zhuǎn)動慣量

齊敬強,劉夢林

(北京交通大學(xué) 威海校區(qū) 實驗中心,山東 威海 264401)

剛體轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體轉(zhuǎn)動時慣性大小的物理量。常用的剛體轉(zhuǎn)動慣量的測量方法有扭擺法[1]、三線擺法[2]和落體法[3]等。落體法測量剛體轉(zhuǎn)動慣量(以下簡稱落體法)是利用力矩、角加速度和轉(zhuǎn)動慣量之間關(guān)系,通過測量力矩和角加速度從而計算出轉(zhuǎn)動慣量的方法。落體法的實驗原理比較簡單,易于理解,但是實驗誤差相對較大。很多學(xué)者從不同的方面分析了落體法的實驗誤差并進行了改進[4-7]。在落體法實驗中如何精確地測量出轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角加速度是非常關(guān)鍵的步驟,在此之前大部分的測量方法都是通過計時計數(shù)器記錄不同時刻載物臺轉(zhuǎn)過的角度,然后計算出轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角加速度[8-9],這種測量方法較為復(fù)雜且誤差較大。

PASCO實驗平臺是一個集數(shù)據(jù)收集、應(yīng)用和分析于一體的物理實驗系統(tǒng)。傳感器采集數(shù)據(jù)后,計算機可以對過程中的數(shù)據(jù)進行處理,尤其是對一些瞬態(tài)變化的物理量能夠做到實時測量[10-11]。利用PASCO轉(zhuǎn)動運動傳感器可以直接測量出物體轉(zhuǎn)動時角速度隨時間變化的數(shù)據(jù),并且可以直接得出轉(zhuǎn)動物體的角加速度。通過這種方法可以簡化落體法的實驗步驟,從而提高實驗精度。

1 實驗裝置

圖1為實驗裝置圖。實驗中用到的裝置主要包括轉(zhuǎn)動慣量實驗儀(ZKY-ZS)、轉(zhuǎn)動運動傳感器(PS-2120)及支架、850通用接口(UI-5000)、一臺裝有PASCO Capstone軟件的計算機、游標(biāo)卡尺、天平、圓盤試樣、圓環(huán)試樣、圓柱試樣、細(xì)繩和砝碼。

圖1 實驗裝置圖

2 實驗原理

剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律為

M=Jβ。

(1)

其中M為剛體轉(zhuǎn)動時所受的總合外力矩,β為該力矩作用下剛體轉(zhuǎn)動的角加速度,J即為剛體的轉(zhuǎn)動慣量。只要測量出剛體轉(zhuǎn)動時所受到的總合外力矩M及該力矩作用下剛體轉(zhuǎn)動的角加速度β,即可計算出該剛體的轉(zhuǎn)動慣量J。

如圖1所示,在落體法實驗中,力矩M的大小為

M=TR,

(2)

其中,T為細(xì)繩的拉力,R為繞線塔輪的半徑。將細(xì)繩的一端系上質(zhì)量為m的砝碼并將細(xì)繩繞過轉(zhuǎn)動運動傳感器,然后將細(xì)繩的另一端纏繞在半徑為R的繞線塔輪上,系統(tǒng)在恒外力矩的作用下做勻加速轉(zhuǎn)動。若砝碼的加速度為a,則細(xì)繩所受到的拉力為

T=m(g-a) ,

(3)

其中,g為重力加速度,g=9.8 m/s2。若此時載物臺的角加速度為β,則砝碼的加速度為

a=Rβ。

(4)

為了方便計算,先假設(shè)系統(tǒng)的阻力矩為零,由(1)(2)(3)(4)式可得:

(5)

為了計算圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣的標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)動慣量,下面列出具體計算公式。標(biāo)準(zhǔn)圓盤和圓柱繞中心軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量計算公式為

(6)

其中,m圓為圓盤或圓柱的質(zhì)量,R圓為圓盤或圓柱底面的半徑(以下簡稱圓柱的半徑)。

標(biāo)準(zhǔn)圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)時的轉(zhuǎn)動慣量計算公式為

(7)

其中,m環(huán)為圓環(huán)的質(zhì)量,R內(nèi)為圓環(huán)的內(nèi)圓半徑,R外為圓環(huán)的外圓半徑。

根據(jù)平行軸定理可知,物體圍繞通過質(zhì)心O的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量最小。當(dāng)轉(zhuǎn)軸平行移動一段距離后,繞新轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為

J平=J0+m0d2,

(8)

其中,J0為物體圍繞通過質(zhì)心O的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量,m0為物體的質(zhì)量,d為轉(zhuǎn)軸平行移動的距離。

3 實驗過程

3.1 實驗準(zhǔn)備

將細(xì)繩一端不重疊地密繞在直徑為5 cm的塔輪上,然后將細(xì)繩繞過轉(zhuǎn)動運動傳感器的滑輪,在細(xì)繩的末端懸掛砝碼。轉(zhuǎn)動運動傳感器通過850通用接口接入計算機。打開PASCO Capstone軟件,設(shè)置時間t為橫坐標(biāo),單位為秒(s),設(shè)置角速度ω為縱坐標(biāo),單位為弧度/秒(rad/s)。轉(zhuǎn)動運動傳感器的滑輪直徑為4.78 cm,而塔輪的直徑為5 cm,兩者的角速度不同,但是成一定的比例。通過PASCO Capstone軟件的計算器功能,可以將滑輪的角速度乘以兩者的比例系數(shù)即可將滑輪的角速度轉(zhuǎn)化為塔輪的角速度。

3.2 測量并消除阻力矩

在實驗原理的推導(dǎo)中為了計算方便,我們假設(shè)阻力矩為零,但是在實際的實驗過程中阻力矩不為零,我們需要測算出阻力矩并消除其對實驗的影響。在細(xì)繩的末端從小到大放置不同質(zhì)量的砝碼,輕輕推動載物臺直至載物臺能夠勻速轉(zhuǎn)動,此時砝碼產(chǎn)生的力矩剛好可以抵消阻力矩。在計算剛體轉(zhuǎn)動慣量時,只需要將這一部分砝碼的質(zhì)量減去即可。通過多次實驗,確定大約1 g砝碼產(chǎn)生的力矩剛好可以抵消系統(tǒng)的阻力矩,此時實驗系統(tǒng)近似處于平衡狀態(tài)。為了驗證實驗的準(zhǔn)確性,在細(xì)繩末端懸掛1 g砝碼,分別在載物臺上不放試樣和放置不同的試樣,輕輕推動載物臺,通過PASCO Capstone軟件記錄角速度隨時間變化的數(shù)據(jù)。

3.3 測量試樣的轉(zhuǎn)動慣量

將細(xì)繩不重疊地密繞在直徑為5 cm的塔輪上,在細(xì)繩的末端懸掛30 g的砝碼。載物臺上不放任何試樣,此時為空載物臺。釋放砝碼,細(xì)繩帶動空載物臺和轉(zhuǎn)動運動傳感器加速旋轉(zhuǎn),通過PASCO Capstone軟件記錄角速度隨時間變化的數(shù)據(jù)。將實驗裝置恢復(fù)到初始狀態(tài),在載物臺上分別放置圓盤試樣和圓環(huán)試樣,重復(fù)以上的步驟,分別記錄角速度隨時間變化的數(shù)據(jù)。將實驗裝置恢復(fù)到初始狀態(tài),將兩個質(zhì)量相同的圓柱對稱地放置在距離載物臺中心為9 cm的位置,重復(fù)以上步驟,記錄角速度隨時間變化的數(shù)據(jù)。

3.4 測量試樣的基本參數(shù)

使用天平分別測量圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣的質(zhì)量。使用游標(biāo)卡尺分別測量圓盤和圓柱試樣的半徑以及圓環(huán)試樣的內(nèi)外半徑。

4 實驗數(shù)據(jù)及分析

4.1 驗證實驗系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

通過多次測試可得,在細(xì)繩末端懸掛1 g砝碼時,系統(tǒng)近似處于平衡狀態(tài)。圖2為不同實驗條件下系統(tǒng)的平衡狀態(tài)圖。在平衡狀態(tài)時,空載物臺及載物臺上放置圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣后系統(tǒng)轉(zhuǎn)動時的角加速度分別為0.006 75 rad/s、-0.001 72 rad/s、-0.001 25 rad/s和-0.001 80 rad/s。在實驗測量時,細(xì)繩末端掛30 g砝碼,空載物臺及載物臺上放置圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣后的角加速度分別為1.197 rad/s、0.743 rad/s、0.620 rad/s和0.820 rad/s。平衡狀態(tài)時的角加速度與實驗測量時的角加速度的比值分別為0.56%、-0.23%、-0.20%和-0.22%。平衡狀態(tài)時的角加速度遠(yuǎn)小于實驗測量時的角加速度,因此近似認(rèn)為載物臺系統(tǒng)是勻速轉(zhuǎn)動。由此可以得出質(zhì)量為1 g的砝碼產(chǎn)生的力矩近似可以抵消系統(tǒng)的阻力矩。

圖2 不同實驗條件下系統(tǒng)的平衡狀態(tài)圖

4.2 計算試樣的轉(zhuǎn)動慣量的實驗值

圖3為不同實驗條件下角速度變化的圖像?？蛰d物臺及載物臺上放置圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣后的角加速度分別為1.197 rad/s、0.743 rad/s、0.620 rad/s和0.820 rad/s。前面已經(jīng)給出1 g砝碼用來抵消系統(tǒng)的阻力矩,因此砝碼的有效質(zhì)量為29 g。已知塔輪的半徑R為2.5 cm,砝碼的質(zhì)量m為29 g,角加速度β由圖3可得,將以上數(shù)據(jù)代入(5)式可得空載物臺的轉(zhuǎn)動慣量為5.918×10-3kg·m2,圓盤加載物臺的轉(zhuǎn)動慣量為9.545×10-3kg·m2,圓環(huán)加載物臺的轉(zhuǎn)動慣量為1.1442×10-2kg·m2,圓柱加載物臺的轉(zhuǎn)動慣量為8.647×10-3kg·m2。因此圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為3.627×10-3kg·m2,圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為5.524×10-3kg·m2,圓柱的轉(zhuǎn)動慣量為2.729×10-3kg·m2。

圖3 不同實驗條件下角速度變化圖像

4.3 計算試樣的轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)準(zhǔn)值

已知圓盤的質(zhì)量為503.7 g,直徑為239.82 mm,由(6)式可得圓盤的轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)準(zhǔn)值為3.621×10-3kg·m2。已知圓環(huán)的質(zhì)量為431.5 g,內(nèi)圓直徑為209.90 mm,外圓直徑為240.16 mm,由(7)式可得圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)準(zhǔn)值為5.487×10-3kg·m2。已知兩個圓柱的總質(zhì)量為331.2 g,圓柱的直徑為30.00 mm,圓柱平移的距離為90.00 mm,由(6)式和(8)式可得圓柱的轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)準(zhǔn)值為2.720×10-3kg·m2。

4.4 計算相對誤差

表1列出了圓盤、圓環(huán)和圓柱試樣的轉(zhuǎn)動慣量的實驗值和理論值,通過計算可得三組實驗的相對誤差分別為0.2%、0.7%和0.3%,三組實驗的相對誤差都小于1%,實驗數(shù)據(jù)準(zhǔn)確。

表1 不同試樣轉(zhuǎn)動慣量的相對誤差

5 結(jié) 論

將PASCO轉(zhuǎn)動運動傳感器與剛體轉(zhuǎn)動慣量實驗儀相結(jié)合,用PASCO轉(zhuǎn)動運動傳感器通過PASCO Capstone軟件直接測量物體轉(zhuǎn)動時的角加速度,簡化了實驗步驟,讓實驗操作更便捷,有利于學(xué)生更好地完成實驗。用改進后的實驗裝置進行實驗,實驗結(jié)果的相對誤差都在1%以內(nèi),實驗精度很高,教學(xué)效果良好。