基于改進的邁克爾遜干涉儀的液體折射率測量方法研究

張斯博,姜思言,顧吉林

(遼寧師范大學 物理與電子技術(shù)學院,遼寧 大連 116029)

邁克爾遜干涉儀是光學實驗室中重要的精密光學儀器,利用邁克爾遜干涉儀測量激光的波長除此之外,邁克爾遜干涉儀還有許多應用,例如用邁克爾遜干涉儀測量表征固體力學性質(zhì)的楊氏模量[1],測量微位移[2],用邁克爾遜干涉儀測量液體折射率也是當今的研究熱點之一。

利用邁克爾遜干涉儀測量液體折射率主要分為兩種方法,分別是光程補償法和條紋計數(shù)法,光程補償法原理是通過調(diào)節(jié)兩個平面鏡之間的相對距離來改變光程差,進而補償加入液體后光程差,使得加入液體前后光屏上的現(xiàn)象一致。張鳳云[3]等人以白光作為光源彩色干涉條紋,加入待測液體后彩色條紋消失,通過移動動鏡使得彩色條紋再次出現(xiàn),代入計算公式即可求得液體折射率;陳淑清[4]等人以激光為光源形成等密度等傾干涉條紋來測量液體的折射率,然而光程補償法的實驗難用人眼觀察出完全相同的干涉條紋圖樣,對測量結(jié)果的準確性有一定的影響。條紋計數(shù)法的原理是利用干涉條件,光程每改變一個光源波長,就可以觀察到一個條紋涌出或陷入,改變光程是要改變待測液體在光路中的那部分光程,這部分光程等于光線在液體中傳播的距離乘以液體折射率,因為折射率是未知量,因此需要連續(xù)改變光線傳播距離使條紋連續(xù)變化。彭劍輝、喬輝、李素文[5-7]等人將反射鏡放在待測液體中,通過移動反射鏡的位置,改變了光線經(jīng)過待測液體的傳播距離,進而改變了光程差,由于該方法需要將反射鏡放入待測液體中,因此該方法無法測量對反射鏡有腐蝕性的液體折射率;鄭建邦、李義寶、杜登熔[8-10]等人選擇制作一個楔形容器放入光路中,通過水平移動容器即可改變光程差使干涉條紋發(fā)生吞吐現(xiàn)象,但楔形容器加工困難,制作成本也比較高;金恩培、汪曉春、張風昀[11-13]等人選擇在傳統(tǒng)的邁克爾遜干涉儀上進行改裝,采用旋轉(zhuǎn)法,將盛裝液體的容器放在轉(zhuǎn)盤上,轉(zhuǎn)過一定的角度使得光程發(fā)生改變,但加裝容器較為困難,學生無法自行操作。本文選擇在原有儀器的基礎上,在光學減震臺上安裝一個手動微調(diào)旋轉(zhuǎn)載物臺,上端放置一個方形開口容器,旋轉(zhuǎn)一定的角度即可改變光程差,通過分析光路,推導出測量透明液體折射率的公式,通過多次測量水、不同濃度的葡萄糖溶液以及不同濃度的氯化鈉溶液的折射率,并與阿貝折射儀測量液體折射率的進行比較,得到測量的平均誤差最大為3.3%,實現(xiàn)液體折射率的測量。為液體折射率測量提供了一種可行方法,改裝過程簡便,學生可自行動手完成。

1 實驗原理

由干涉條件可知光程差δ滿足:

δ=ΔNλ。

(1)

當δ增大或λ減小,就會有一個條紋涌出或陷入。即利用這一原理對液體折射率進行裝置測量改進,測量裝置俯視圖如圖1(a)所示,在分束鏡與動鏡之間放置一個行程為360°粗調(diào),±5°精調(diào),最小角度為0.95分的手動微調(diào)旋轉(zhuǎn)光學載物臺,載物臺上放置一內(nèi)徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器,轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)載物臺即可使容器發(fā)生轉(zhuǎn)動,進而改變光傳播過程中所產(chǎn)生的光程差。

(a) 改進的邁克爾遜干涉儀的液體折射率測量裝置俯視圖

由于容器旋轉(zhuǎn),器壁和液體內(nèi)部光程將發(fā)生改變,如圖1(b)所示。由于器壁的轉(zhuǎn)動,則會影響外部空氣的光程的變化。為了便于討論,首先假設容器旋轉(zhuǎn)中心為圖中左側(cè)器壁的中心,并且光線始終保持水平方向,入射位置始終為左側(cè)器壁的中心,當旋轉(zhuǎn)微小的角度時,容器左側(cè)空氣的光程將不會發(fā)生改變。因此可將光程變化分為三部分,從左至右分別為光在容器器壁中傳播的光程的改變、光在液體中傳播的光程的改變以及受容器旋轉(zhuǎn)影響,光在右側(cè)空氣中傳播的光程的改變。

光在容器器壁中傳播的光程的改變,設空氣折射率為n0,容器器壁厚度為d0,容器折射率為n1,入射至器壁的距離為d1,液體折射率為n2,容器器壁內(nèi)徑為d2,出射器壁后傳播的距離為d3。

旋轉(zhuǎn)θ0角度后,容器器壁中的光程L1變?yōu)?/p>

(2)

同理可得液體中的光程L2變?yōu)?/p>

(3)

得到液體光程差δ液體、容器壁光程差δ容器壁分別為

(4)

(5)

光線經(jīng)過容器壁和液體將發(fā)生折射,因此出射位置較入射位置將存在一個位置偏移量,假設一條虛擬路徑a,該光路與入射光在同一水平方向,光線經(jīng)過容器在右側(cè)空氣中傳播的路徑為b,設虛擬路徑a與路徑b的位置偏移量為Δh,如圖2所示,設光線經(jīng)容器前壁、液體、容器后壁折射后產(chǎn)生的位置偏移量分別為Δh1、Δh2、Δh3。則,由光路圖可知:

圖2 光路的高度變化

(6)

(7)

Δh1=Δh3,

(8)

Δh=Δh1+Δh2+Δh3,

(9)

路徑b與虛擬路徑a在水平方向的偏移量差值為Δhtanθ,虛擬路徑a相較于未旋轉(zhuǎn)前空氣中的光傳播路徑的距離變化Δl為

(10)

空氣光程差δ空氣為

(11)

將(4)、(5)、(11)代入(1)式,可得:

(12)

其中,

(13)

(14)

當容器不裝液體時,此時盛裝的空氣,空氣折射率n2=n0=1,將容器旋轉(zhuǎn)角度θ0,設此時條紋數(shù)目變化為ΔN′,代入(12)、(13)和(14)式可得:

(15)

將n0=1代入式中,整理可得:

(16)

(17)

由該方程可知,只需測量容器內(nèi)徑寬度d2,在盛裝待測液體和空載兩種情況下,將容器轉(zhuǎn)動相同角度θ0,記錄條紋數(shù)目變化分別為ΔN和ΔN′,已知激光器激光的波長λ,則代入(17)式,可求解液體折射率n2。

2 實驗儀器及步驟

2.1 實驗儀器

實驗測量裝置如圖3所示,包括邁克爾遜干涉儀、光學減震器、旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺等組成,其中,旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺放大圖如圖3(b)所示。手動旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學載物臺參數(shù)是:行程為360°粗調(diào),±5°精調(diào),最小角度為0.95分。

(a) 測量裝置實物俯視圖

具體實驗裝置及材料如下:LPM1系列邁克爾遜干涉儀、內(nèi)徑為2.5 cm、7 cm×9 cm的方形開口容器、手動旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學載物臺、游標卡尺、智能手機、純凈水、阿貝折射儀、容量瓶、天平、葡萄糖、氯化鈉。

2.2 實驗步驟

實驗操作過程及注意事項具體如下:

(1)用游標卡尺上側(cè)測量容器器壁內(nèi)徑,記為d2,即液體的寬度。

(2)在邁克爾遜干涉儀光路上安裝手動旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學載物臺、液體容器等裝置,將空載容器放在旋轉(zhuǎn)載物臺上,使得手動旋轉(zhuǎn)微調(diào)光學載物臺能夠帶動容器旋轉(zhuǎn),從而改變光程差。

(3)打開氦氖激光器電源,調(diào)節(jié)邁克爾遜干涉儀,至觀察屏上出現(xiàn)明顯的圓形干涉條紋,使容器與入射光線垂直,調(diào)節(jié)M2鏡背后三個螺絲使得圓形干涉條紋的中心位置位于觀察屏中心。

(4)轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)載物臺的粗調(diào)轉(zhuǎn)盤,對應旋轉(zhuǎn)載物臺上的刻度,使其帶動容器旋轉(zhuǎn),為了方便計算和旋轉(zhuǎn),實驗過程中選取旋轉(zhuǎn)角度為4°。在此過程中,用手機錄像功能記錄觀察屏上條紋的數(shù)目變化情況,并慢速處理視頻,記下條紋數(shù)目變化為ΔN′。

(5)為了防止取放容器前后容器的位置發(fā)生改變,進而對條紋產(chǎn)生影響,所以選擇直接往容器中加入待測液體,待條紋穩(wěn)定后,轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)載物臺的粗調(diào)轉(zhuǎn)盤,對應旋轉(zhuǎn)載物臺上的刻度,使其帶動容器回轉(zhuǎn)4°,用手機相機功能記錄觀察屏上條紋的數(shù)目變化情況,通過tracker軟件處理視頻,記下條紋數(shù)目變化為ΔN。

(6)使用容量瓶配置5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖和氯化鈉溶液,重復上述實驗步驟,分別利用阿貝折射儀測量相應液體折射率為n0。

(7)將測量結(jié)果代入計算公式(17)中即可求出待測液體的折射率,測量五次后取平均值記為n,將實驗結(jié)果與n0進行比較,分析實驗結(jié)果并得出結(jié)論。

3 實驗結(jié)果與分析

實驗中使用氦氖激光器作為光源,波長λ=632.8 nm,用游標卡尺測得容器器壁內(nèi)徑d2=2.5 cm,確定旋轉(zhuǎn)角度θ0=4°。組裝實驗裝置,此時方形容器為空載狀態(tài),轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)載物臺,可以觀測到觀察屏上的明暗環(huán)條紋吞吐變化,如圖4(a)(b)所示,明環(huán)和暗環(huán)交替出現(xiàn)。加入純凈水至方形容器中,相較于加入純凈水前,觀察屏上的明暗環(huán)條紋明顯變“扁”,如圖4(c)和(d)所示,再次轉(zhuǎn)動旋轉(zhuǎn)載物臺,仍能在觀察屏上觀測到明暗環(huán)條紋吞吐變化的現(xiàn)象。

(a) 加入待測液體前明環(huán)出現(xiàn)

利用改進的實驗裝置進行實驗測得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的條紋變化數(shù)目,觀測得空載時條紋變化數(shù)目ΔN′和裝入純凈水后條紋變化數(shù)目ΔN,將ΔN′、ΔN、λ、d2、θ0等數(shù)據(jù)代入計算公式(17)中,可得到純凈水的折射率。使用阿貝折射儀測量純凈水的折射率為n0,經(jīng)多次實驗,可得到純凈水的實驗數(shù)據(jù)和折射率計算結(jié)果如表1所示。經(jīng)過計算液體折射率,與阿貝折射率測量儀相比,水的折射率平均相對誤差為1.1%,最大誤差是2.3%,最小誤差是0.2%。

表1 水的實驗數(shù)據(jù)和計算結(jié)果

測量不同濃度的葡萄糖溶液和氯化鈉溶液的實驗數(shù)據(jù)及數(shù)據(jù)處理結(jié)果如表2和表3所示。5%、10%、15%的不同濃度的葡萄糖的折射率相對誤差為1.9%、2.1%和5.9%。

表2 葡萄糖溶液的實驗數(shù)據(jù)和計算結(jié)果

5%、10%、15%的不同濃度的氯化鈉溶液的折射率相對誤差為1.3%、1.2%和3.5%。測量結(jié)果與阿貝折射儀所測的標準值接近,數(shù)據(jù)穩(wěn)定,測量的最大誤差為5.9%。因此,本實驗裝置和計算方法可以測量溶液的折射率,為液體折射率測量提供了一種可行方法,測量精度小于5.9%。

4 結(jié) 論

本實驗基于邁克爾遜干涉儀和旋轉(zhuǎn)微調(diào)載物臺設計了透明液體折射率的測量裝置,考慮了光路中空氣、容器、待測液體等各個部分的光程改變量,利用干涉公式,推導出干涉圓環(huán)吞吐圓環(huán)的數(shù)目變化與待測液體折射率之間的函數(shù)關系,得到了待測液體折射率的表達式。實驗測得水、葡萄糖溶液、氯化鈉溶液的平均相對誤差分別為1.1%、3.3%、2.0%,實驗過程中測量的最大誤差為5.9%,為液體折射率測量提供了一種可行方法。實驗測量裝置安裝方便,操作簡單,實驗現(xiàn)象直觀明顯,測量方法精度較高,實驗研究有助于學生理解干涉現(xiàn)象產(chǎn)生的本質(zhì)原因,拓寬了邁克爾遜干涉儀在物理教學及科學研究中的實際應用。若在本公式上進一步更改相關參數(shù),可得到用于測量透明固體折射率的表達式,具有一定的研究價值。