曲波變換在航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用研究

李兵海，盧亞運(yùn)，張光雅，李江坤，葉發(fā)旺，童勤龍，張翔

（1.核工業(yè)航測遙感中心，河北 石家莊 050002；2.核工業(yè)北京地質(zhì)研究院，北京 100029）

航空伽馬能譜測量是主要的鈾礦勘查方法之一，除直接尋找鈾礦外，還可直接尋找釷礦、鉀鹽礦等放射性礦產(chǎn)，也可應(yīng)用于尋找與放射性礦產(chǎn)伴生的非放射性金屬和非金屬礦產(chǎn)，如金、銅、稀土礦、磷礦、油氣等。航空伽馬能譜測量具有不受地面地形地貌和交通條件的限制、速度快、效率高、成本低、覆蓋面廣、信息量大、找礦效果明顯、對環(huán)境影響極小等優(yōu)勢，在國內(nèi)外礦產(chǎn)勘查、遠(yuǎn)景評價(jià)及各項(xiàng)地質(zhì)研究中占有重要的位置，起著先行作用［1］。然而，隨著找礦目標(biāo)層從淺到深的變化，航放數(shù)據(jù)固有的噪聲嚴(yán)重影響了航空伽馬能譜數(shù)據(jù)的應(yīng)用效果，導(dǎo)致深部反演和解釋不準(zhǔn)確。因此，抑制復(fù)雜的噪聲并提高成果數(shù)據(jù)的質(zhì)量，已成為現(xiàn)今重要且必要的任務(wù)。

目前航空伽馬能譜數(shù)據(jù)降噪主要為一維尺度，故最終結(jié)果會出現(xiàn)沿測線方向的條帶，這種條帶的處理方法一般采用微調(diào)平技術(shù)，其缺點(diǎn)在于一次只能調(diào)平一種寬度的條帶，對于有多種寬度的復(fù)雜條帶不僅需要調(diào)平多次，還容易丟失異常信息，造成了無條帶和局部異常不可兼得的局面。曲波變換的出現(xiàn)，可以完美的解決這種情況，利用曲波多方向的特性可以降低航空伽馬能譜數(shù)據(jù)中的沿測線方向的條帶，利用曲波多尺度的特性可以降低航空伽馬能譜數(shù)據(jù)中的白噪聲，實(shí)現(xiàn)無條帶和局部異常兼得的效果。

國內(nèi)外許多學(xué)者將曲波變換運(yùn)用于圖像數(shù)據(jù)處理和地震資料數(shù)據(jù)處理，推動(dòng)了所屬行業(yè)技術(shù)的發(fā)展［2-12］。國內(nèi)學(xué)者將曲波變換運(yùn)用于位場數(shù)據(jù)處理方面的研究較晚，陳召曦［13］通過建立簡單、復(fù)雜組合模型對曲波變換的多尺度、多方向性進(jìn)行了分析， 對中國大陸及鄰區(qū)衛(wèi)星布格重力異常數(shù)據(jù)進(jìn)行了曲波變換及閾值重構(gòu)，得到了不同尺度上的重力分解結(jié)果，對中國大陸及鄰區(qū)的區(qū)域重力場特征、構(gòu)造分區(qū)等方面進(jìn)行了分析，給出了初步的地質(zhì)解釋。張楊［14］等從曲波變換的基本原理入手，通過重力位場理論模型數(shù)據(jù)分析了曲波變換的多尺度分解重構(gòu)能力，并且利用加噪理論模型數(shù)據(jù)分析了曲波變換的閾值降噪能力；此外，還使用曲波變換對南嶺東部地區(qū)布格重力異常資料進(jìn)行了有效信號提取，驗(yàn)證了曲波變換可同時(shí)適用于位場數(shù)據(jù)的分解和降噪處理研究，為重磁數(shù)據(jù)多尺度分析處理提供參考。

王寧、高玲琦［15-16］等將曲波變換應(yīng)用于航空電磁數(shù)據(jù)處理，將曲波變換降噪與傳統(tǒng)的降噪方法（奇異值分解、主成分分析和小波變換）做比較，得出曲波變換降噪效果最佳，重構(gòu)信號最準(zhǔn)確，信噪比最高的結(jié)論。因降噪方法與數(shù)據(jù)類型無關(guān)，故本文不再討論與證明曲波變換降噪與傳統(tǒng)的降噪方法的優(yōu)劣。

1 基于曲波變換的降噪方法

曲波變換是在小波變換基礎(chǔ)上發(fā)展而來，是小波變換的高維泛化，可表示不同尺度和不同方向的圖像，可以提取不同尺度任意方向及任意方向組合的信息。曲波變換不僅繼承了小波變換的多尺度性質(zhì)，還具有多方向性，因此曲波變換能更好地表征二維或更高維的信號。開發(fā)基于曲波變換的數(shù)據(jù)條帶去除和降噪方法，對有效提高航空伽馬能譜數(shù)據(jù)質(zhì)量，降低解釋難度和成本能夠起到積極的作用?；谇ㄗ儞Q的調(diào)平方法只對數(shù)據(jù)的某些細(xì)節(jié)尺度和角度進(jìn)行局部改變，故對數(shù)據(jù)的原始相位關(guān)系影響很小，在去除調(diào)平誤差時(shí)不容易引起數(shù)據(jù)畸變。

離散曲波變換在波數(shù)域內(nèi)具有緊湊支撐特性，可以將信號轉(zhuǎn)換到不同的尺度和角度進(jìn)行存放。我們首先在波數(shù)域定義曲波。為此，我們定義二維波數(shù)域內(nèi)的徑向窗W?j(ω)和角度窗Vj(ω)為

式中：ω= (ω1，ω2)，為波數(shù)域內(nèi)的變量；j 為尺度參數(shù)；［j/2］表示j 的整數(shù)部分；φ由兩個(gè)一維低通窗的乘積定義，可表示為

式中：濾波器φ滿足0 ≤φ≤1。由此，我們可以進(jìn)一步定義如下“笛卡爾”窗，即

根據(jù)“笛卡爾”窗的定義可知，徑向窗和角度窗共同構(gòu)造出多個(gè)楔形支撐區(qū)間，波數(shù)域在楔形的邊緣處{(ω1，ω2)|2j≤ω1≤2j+1，-2-j/2≤ω2/ω1≤2-j/2}被分割。接下來引入相同間隔的斜率tanθl=l· 2-[j/2]，其中，角度參數(shù)l滿足l=-2-[j/2]，...，2[j/2]- 1，則公式（4）可寫為

式中：剪切矩陣Sθ為

圖1 為曲波分解5個(gè)尺度第2 尺度為16個(gè)方向時(shí)的尺度方向示意圖，圖中數(shù)字代表尺度，藍(lán)線代表方向，中間標(biāo)號為1 的矩形區(qū)域代表第一尺度（也稱為粗尺度，低頻），不具有方向特性；從第2 尺度開始，具有方向性。隨著同心方環(huán)向外擴(kuò)展，尺度參數(shù)增大，角度窗的數(shù)量增大，對應(yīng)的信息也趨向于細(xì)節(jié)，最高尺度存儲的信息頻率最高，角度窗對各尺度的信息從不同方向進(jìn)行劃分，對信息進(jìn)一步細(xì)化。一般來說中間幾個(gè)尺度稱為細(xì)節(jié)尺度，較高的尺度稱為精細(xì)尺度。

圖1 曲波分解后的尺度與方向示意圖Fig. 1 Figure of scale and direction after curvelet decomposition

根據(jù)波數(shù)域中曲波的定義，我們進(jìn)一步討論空間域中曲波的形態(tài)。因此，首先引入R2內(nèi)空間變量為x 的連續(xù)曲波。我們定義一個(gè)“母曲波”為φj(x)，其傅里葉變換為φ?j(x) =Uj(ω)，其中Uj(ω)為連續(xù)曲波變換中的窗函數(shù)。引入相同間隔的旋轉(zhuǎn)角度序列θl= 2πl(wèi)· 2-[j/2]，l=0，1，...，以及平移參數(shù)序列k= (k1，k2) ∈Z2。通過母曲波φj(x)的旋轉(zhuǎn)和平移，可以得到該尺度下所有的曲波。由此，空間域內(nèi)尺度為2-j，方向?yàn)棣萳= 2πl(wèi)· 2-[j/2]，位置為x(j，l)k= R-1θl(k1·2-j，k2· 2-j/2)的曲波可定義為

式中：旋轉(zhuǎn)矩陣Rθ為

而曲波系數(shù)由φj，l，k(x) 與函數(shù)f∈L2(R2)的內(nèi)積定義，可表示為

根據(jù)Plancherel 定理，曲波系數(shù)也可以在波數(shù)域內(nèi)由下式得到，即

波數(shù)域與空間域內(nèi)的曲波滿足傅里葉變換關(guān)系，且由于傅里葉變換的90°旋轉(zhuǎn)特性，使得波數(shù)域和空間域內(nèi)相對應(yīng)的曲波方向相互正交。

基于上述關(guān)于曲波變換理論的介紹，可以將任意航空伽馬能譜數(shù)據(jù)通過曲波變換轉(zhuǎn)換至一系列不同尺度、不同角度下的曲波系數(shù)。條帶誤差主要分布在曲波域不同尺度特定角度的系數(shù)中，對這些方向系數(shù)進(jìn)行閾值處理即可有效消除條帶。地質(zhì)信號在曲波域內(nèi)通常對應(yīng)數(shù)值較大的系數(shù)，而噪聲多對應(yīng)數(shù)值較小的系數(shù)。因此，對曲波域各尺度不同方向系數(shù)進(jìn)行閾值處理，濾除與噪聲、條帶相關(guān)的系數(shù)，再將剩余的曲波系數(shù)重構(gòu)回空間域，即可實(shí)現(xiàn)航空伽馬能譜數(shù)據(jù)的條帶去除和降噪。

2 航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波變換處理方法

2.1 航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波分解參數(shù)設(shè)置及特征

由于曲波分解用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理中的主要任務(wù)之一為消除條帶，最寬的條帶具有架次性，即飛行一個(gè)架次的寬度，曲波分解的尺度設(shè)置取決于條帶最寬的寬度，像素最差幾何分辨率有方向系數(shù)的尺度為第二尺度，第一尺度不分方向，沒有方向系數(shù)，第二尺度開始具有方向系數(shù)，對于網(wǎng)格間距為100 m 的網(wǎng)格數(shù)據(jù)來說，分解為7個(gè)尺度時(shí)，每個(gè)像素代表約6.4 km 的范圍，分解為6個(gè)尺度時(shí)，第二尺度每個(gè)像素代表3.2 km 的范圍，目前航空伽馬能譜測量的比例尺一般均為1∶5 萬，線距為500 m，3.2 km 的范圍一般相當(dāng)于一架次測線寬度的一半， 6.4 km 大致代表12 條測線的寬度，大致可以覆蓋一架次的測線，因此分解為7個(gè)尺度比較合理。

表1 曲波變換各尺度系數(shù)結(jié)構(gòu)Table 1 The structure of the scale coefficients of the curvelet

分解的角度方向個(gè)數(shù)第二尺度設(shè)置為16個(gè)方向，每一方向代表22.5 度的范圍，在去除條帶時(shí)，范圍太大，容易影響非條帶數(shù)據(jù)，因此第二尺度設(shè)置為32個(gè)方向，每一方向代表11.25 度的范圍，較為精準(zhǔn)。

表2 曲波變換各尺度第一組方向矩陣形式Table 2 The matrix form of the first group of directions in each scale of the curvelet

第二尺度設(shè)置為32個(gè)方向時(shí)，曲波分解后第3、4 尺度為64個(gè)方向，第5、6 尺度為128個(gè)方向，第7 尺度為256個(gè)方向。當(dāng)分解的二維數(shù)據(jù)為正方形時(shí)，曲波分解后每一個(gè)尺度的方向分為8 組，每組4個(gè)矩陣；分解的數(shù)據(jù)為長方形時(shí)，曲波分解后每一個(gè)尺度的方向分為4 組，每組8個(gè)矩陣；組與組之間矩陣形式相同，每一個(gè)方向均為一個(gè)矩陣，一組內(nèi)矩陣的大小部分相同。閾值重構(gòu)就是根據(jù)分解后每個(gè)方向代表的含義，選擇需要處理的方向進(jìn)行閾值處理，航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波分解后除第一尺度外，共672個(gè)方向，由于第一尺度為框架數(shù)據(jù)（也稱為粗尺度，低頻），不具有方向特性，無需處理，所以航空伽馬能譜數(shù)據(jù)曲波變換處理就是在672個(gè)方向中選擇需要處理的方向進(jìn)行不同的閾值處理。條帶閾值處理方法一般采用硬閾值函數(shù)，噪聲閾值處理方法一般采用軟閾值函數(shù)或線性閾值函數(shù)。

以某測區(qū)釷元素含量數(shù)據(jù)為例，其網(wǎng)格化數(shù)據(jù)為2 095×2 558 的二維數(shù)據(jù)，面積約200 km×250 km。經(jīng)過上述設(shè)置的曲波變換后，可以得到系列曲波系數(shù)，其結(jié)構(gòu)見表1。表2 為第二尺度至第7 尺度第一組方向矩陣形式。因?yàn)楦鹘M矩陣形式相同，所以每一尺度僅列了一組方向的矩陣形式。從矩陣形式上可以看出，隨著尺度序數(shù)的增大，對應(yīng)的信息也趨向于細(xì)節(jié)，對應(yīng)的細(xì)節(jié)也更豐富。

2.2 不規(guī)則測區(qū)的處理

航空伽馬能譜測區(qū)一般均為不規(guī)則形狀，在應(yīng)用其他方法（加權(quán)平均法、低通濾波法、小波法）降噪時(shí)，都會產(chǎn)生一定的邊界效應(yīng)，然而，基于曲波變換的降噪方法由于具有多尺度性，可以有效地處理不規(guī)則測區(qū)獲取的數(shù)據(jù)。高玲琦［15］等用一個(gè)常數(shù)來填充缺失的區(qū)域，然后進(jìn)行調(diào)平，得到了較好的效果；本文作者嘗試了這個(gè)方法，發(fā)現(xiàn)常數(shù)數(shù)值的大小非常關(guān)鍵，如果給出的值過大或過小均會產(chǎn)生邊界效應(yīng)，即在邊界部位產(chǎn)生假值（圖2，填充常數(shù)為0），經(jīng)過多次實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)這個(gè)數(shù)值設(shè)為測區(qū)所有測量值的均值時(shí)，幾乎沒有邊界效應(yīng)。

圖2 某測區(qū)釷元素含量曲波變換邊界效應(yīng)Fig. 2 The boundary effect map reconstructed by the curve wave transform of thorium content in the study area

2.3 實(shí)測數(shù)據(jù)處理效果

圖3 為某測區(qū)利用全譜計(jì)算的釷元素含量原始數(shù)據(jù)。由圖3 可見，原始數(shù)據(jù)中不僅存在隨機(jī)噪聲，還存在沿測線方向不同尺度（315 度方向）的條帶。利用本文所述方法對該數(shù)據(jù)進(jìn)行閾值處理，利用不同尺度的組合系數(shù)重構(gòu)了網(wǎng)格數(shù)據(jù)文件，為了評價(jià)降噪效果，利用參考文獻(xiàn)［15］中提供的均方根差（Root Mean Square Error，RMSE）和平滑度（R）公式計(jì)算了原始數(shù)據(jù)與處理后不同尺度組合重構(gòu)數(shù)據(jù)的均方根差和平滑度（表3）。降噪后重構(gòu)信號文件名的后兩位代表了重構(gòu)的尺度組合數(shù)字，例如：13為1 至3 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，15 為1 至5 尺度的閾值重構(gòu)圖，以此類推。RMSE 體現(xiàn)了降噪后重構(gòu)信號與原始信號之間的偏差，RMSE越小，兩者偏差越?。籖 體現(xiàn)了降噪后重構(gòu)信號的平滑程度，R 值越小，數(shù)據(jù)越平滑。數(shù)據(jù)表明隨著所用尺度的增加均方根差在減小，平滑度在變差。為了綜合評價(jià)重構(gòu)后的數(shù)據(jù)質(zhì)量及性能，設(shè)計(jì)了參數(shù)加權(quán)平滑度。根據(jù)加權(quán)平滑度的數(shù)值重構(gòu)后的數(shù)據(jù)質(zhì)量及性能，不難發(fā)現(xiàn)重構(gòu)數(shù)據(jù)el2019_nathw17（第1 尺度至第7 尺度的組合）平滑度R 與加權(quán)平滑度R'均有一個(gè)突變，R 增加了很多，而RMSE 沒有減小很多，平滑度R 的突變預(yù)示著噪聲信息的陡增。因此不建議使用1 至7 尺度組合的閾值重構(gòu)數(shù)據(jù)，推薦曲波變換1 至6 尺度組合的閾值重構(gòu)圖作為最終提交的標(biāo)準(zhǔn)圖件。

表3 不同尺度重構(gòu)數(shù)據(jù)均方根誤差與平滑度Table 3 The root mean square error and smoothness of reconstructed data at different scales

圖3 某測區(qū)釷元素含量原始數(shù)據(jù)Fig. 3 The original data map of thorium content in study area

將曲波變換不同尺度組合閾值重構(gòu)文件的加權(quán)平滑度（1 至7 尺度組合因噪聲太大，不參與）繪制成曲線圖（圖4）。由圖4 可見，1至6 尺度組合信息量最大，可為精細(xì)信息圖件，1 至4 尺度組合與1 至5 尺度組合可分為一類，為細(xì)節(jié)信息圖件，剩余為一類，為粗糙信息圖件。

圖4 不同尺度重構(gòu)數(shù)據(jù)加權(quán)平滑度曲線圖Fig. 4 Figure of weighted smoothness of reconstructed data at different scales

圖5 為1 至6 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬精細(xì)信息圖件類別，視覺效應(yīng)上基本等同于原始數(shù)據(jù)的精細(xì)程度，與原始數(shù)據(jù)相比，僅僅去除了條帶，沒有產(chǎn)生其他降噪方法經(jīng)常出現(xiàn)的邊界效應(yīng)，測區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒有畸變，信息損失較少，可以做局部異常特征分析及異常解釋及1∶5 萬標(biāo)準(zhǔn)圖件。

圖5 某測區(qū)釷元素含量曲波變換第1 至第6 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 5 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 to 6 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

圖6 為1 至4 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬細(xì)節(jié)信息圖件類別，視覺效應(yīng)上去除了條帶，碎小斑塊較少。可以用來做航空伽馬能譜異常分布規(guī)律及分類解釋，一方面信息足夠，另一方面可以不受特別碎小斑塊的影響。

圖6 某測區(qū)釷元素含量曲波處理第1 至第4 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 6 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 to 4 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

圖7 為1 至2 尺度組合的閾值重構(gòu)圖，屬粗糙信息圖件類別，視覺效應(yīng)上去除了條帶，特征場信息特別清晰，可用來做區(qū)域場特征分析、遷移富集規(guī)律分析、補(bǔ)徑排特征分析、報(bào)告插圖等。

圖7 某測區(qū)釷元素含量曲波處理第1 和第2 尺度合并閾值重構(gòu)圖Fig. 7 The map reconstructed by the curve wave transform of scale 1 and 2 combined with threshold values of the content of thorium element in study area

綜上所述，所有處理結(jié)果均消除了沿測線方向不同尺度（315 度方向）的條帶，降低了隨機(jī)噪聲，沒有產(chǎn)生邊界效應(yīng)，測區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒有畸變，具有較好的效果。隨著所用尺度的增加，反應(yīng)的信息也越來越精細(xì)，不同尺度的閾值重構(gòu)圖在數(shù)據(jù)解釋方面可以發(fā)揮不同的作用。

3 結(jié) 論

綜上所述，曲波變換用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理具有如下優(yōu)勢：

1）利用曲波變換多尺度的特點(diǎn)，可以將航空伽馬能譜重構(gòu)為不同尺度的圖件，適用于不同的數(shù)據(jù)解釋。粗尺度圖件適用于區(qū)域場特征分析、遷移富集規(guī)律分析、補(bǔ)徑排特征分析等；細(xì)節(jié)尺度圖件適用于航空伽馬能譜異常分布規(guī)律及分類解釋；精細(xì)尺度圖件適用于局部異常特征分析及異常解釋。

2）利用曲波變換多尺度和多方向的特點(diǎn)，可以快捷方便地去除其他降噪方法非常難于去除的沿測線方向不同尺度的條帶，并且不降低分辨率，不損失局部異常信息。

3）在降低隨機(jī)噪聲時(shí)，不產(chǎn)生邊界效應(yīng)，測區(qū)邊界數(shù)據(jù)沒有畸變。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：曲波變換用于航空伽馬能譜數(shù)據(jù)處理快捷方便、信息損失少、成果豐富，效果較好。