機器人關節(jié)剛度辨識方法研究

蘭孝健，國 凱，孫 杰

（山東大學機械工程學院，山東 濟南 250061）

1 引言

隨著制造產業(yè)升級與相關領域技術研究拓展，工業(yè)機器人在切削加工方向地位日益重要，其應用也成為新的熱點。雖然工業(yè)機器人具有高靈活性、低成本、智能化等優(yōu)勢，其串聯(lián)式結構剛度低的特點導致的加工誤差與顫振問題，給機器人在多種加工方式中的使用推廣帶來不可忽視的阻礙。目前，各大科研機構及企業(yè)也將機器人銑削系統(tǒng)剛度作為降低機器人誤差、提高加工質量及穩(wěn)定性等問題研究中的重點研究對象。

在認定連桿不可變形的前提上，由Salisbury提出的傳統(tǒng)剛度模型分析，于機器人末端位置，其笛卡爾剛度矩陣的相關因素為機器人關節(jié)剛度與該位置的雅可比矩陣［1］。由此可得，為獲得真實的機器人剛度矩陣結果，解決機器人加工過程中的誤差與顫振問題，必須有效實現(xiàn)機器人各關節(jié)的剛度辨識［2］。

近些年來，相關科研人員關于機器人剛度分析也進行了大量工作，除傳統(tǒng)剛度模型外也提出了增強型剛度模型、柔度矩陣式剛度模型等多種建?；A手段［1-4］。針對剛度參數(shù)的辨識也提出了靜載荷試驗辨識與動載荷試驗辨識兩類方法［5］。在剛度辨識試驗研究中也取得了相當?shù)某晒?，辨識方法流程也趨于完善。但是在目前已有研究工作中，試驗多于空載或小負載條件下進行，難以反映實際大負載加工條件下的真實剛度結果，另外，剛度辨識試驗中多通過變換機器人位姿施加負載的手段進行變形數(shù)據(jù)測量與剛度結果計算，對其他試驗方案的探索不足?；谝陨喜蛔悖捎貌煌谝酝芯康脑囼灧绞?，通過綜合優(yōu)化施力機構安放位置與機器人位姿的方法，實現(xiàn)試驗中負載力施加方向的優(yōu)化。同時選用較大負載，使計算所獲剛度結果更加符合實際加工工況。在獲得計算剛度結果后對其進行驗證比較，以證明計算剛度的精確。

以COMAU SMART5 NJ 165-3.0 機器人為例，確定其DH 參數(shù)模型的確立原則，基于傳統(tǒng)剛度模型進行分析，并通過安裝于末端法蘭的ATI六維力傳感器獲取承受負載分力數(shù)據(jù)，對應的變形位移數(shù)據(jù)由FARO激光跟蹤儀檢測記錄，計算機器人各關節(jié)剛度值并設計驗證試驗以證明所求剛度的準確性，最終獲得一種標準化且精確的機器人系統(tǒng)剛度識別求解手段。

2 機器人DH參數(shù)模型與靜剛度模型

針對機器人進行運動學方向的建模分析是對其進行研究尤其是剛度辨識研究的必要條件。采用標準D-H法建立機器人的連桿坐標系［6］，坐標系建立于結構中各桿后端的關節(jié)處，且與該連桿固連，即前一坐標系i-1與對應的關節(jié)i對齊，同時規(guī)定該坐標系i-1的z軸即為機器人關節(jié)i的軸線，但其轉向不完全跟該關節(jié)軸轉向相同，限定坐標系x正向為相鄰兩z軸間的公共垂線方向，y軸方向則通過右手定則判斷［7］。最終可得到的機器人各關節(jié)連桿坐標系，如圖1所示。并把整個機器人加工系統(tǒng)的基坐標系標記為0。另外，機器人各連桿長度尺寸數(shù)據(jù)，如圖2所示。

圖1 機器人連桿坐標系Fig.1 Robot Link Coordinate System

圖2 機器人連桿參數(shù)圖Fig.2 Robot Link Parameter Diagram

根據(jù)辨識的COMAU SMART5 NJ 165-3.0機器人數(shù)據(jù)，其DH模型參數(shù)，如表1所示。

表1 D-H模型參數(shù)Tab.1 D-H Parameters

表中：θ—對應關節(jié)的旋轉角；α—相鄰軸線間所成角度；a—z軸間沿公法向的距離長度，即對應連桿尺寸；d—相鄰x軸間距離，即相鄰桿之間的距離。

為使整體建模過程得到簡化，降低具體計算難度，采用傳統(tǒng)剛度模型完成對機器人加工系統(tǒng)剛度模型的建立。機器人關節(jié)多存在易彈性變形且剛度較低的傳動部件，由于重載機器臂剛度大，在允許載荷范圍內均可將各關節(jié)處的變形合量認定為機器人的末端法蘭處變形［8］。同時，基于外載荷作用下引起的變形統(tǒng)計數(shù)據(jù)，驅動、傳動等部件引發(fā)變形于總變形中占絕大部分［9］，因此首先進行變形假設：視機器人連桿為不可變形的剛性桿，而將關節(jié)視為扭簧，并以常量矩陣來表示關節(jié)剛度。因此由假設可將機器人關節(jié)剛度矩陣表示為[Kθ]=diag [Kθ1Kθ2Kθ3Kθ4Kθ5Kθ6]的形式［10］，式中：Kθi—機器人第i個關節(jié)的剛度，且為常量也是待求量。機器人笛卡爾剛度矩陣K與其關節(jié)剛度矩陣Kθ的關系可表示為：

即為上文提到的傳統(tǒng)剛度模型，式中：J—雅克比矩陣。

3 基于MATLAB的實驗條件參數(shù)優(yōu)化

針對剛度辨識試驗設計加工了安裝于機器人法蘭處的專用加載測量裝置，作為負載力施加位置，并進行變形測量。其中，裝置留有激光跟蹤儀靶球固定點，變形測量通過激光跟蹤儀設備主體實現(xiàn)。因此結合裝置形狀尺寸以及試驗現(xiàn)場的環(huán)境限制，需要在施力機構位置優(yōu)化建模過程中注意以下幾個問題：

（1）負載力矢量不能與末端裝置、機器人本體，現(xiàn)場其他物品和設備干涉。

（2）末端測量點需要易于測量，靶球反射不能偏離激光光軸。

（3）獲得施力機構位置可以穩(wěn)定放置，不能超出場地范圍。

基于以上問題，分別在優(yōu)化計算中進行了限制。

針對防止干涉的問題，從機器人末端法蘭面開始分別將安裝板、末端裝置、激光跟蹤儀靶球等各部分結構建立為圓柱模型，并表示負載力矢量?；谒◣缀文Ｐ筒⑼ㄟ^函數(shù)求解力矢量與所有末端結構模型間是否存在交點，最終保留無交點結果。另外限制施力裝置放置范圍，防止與機器人本體、現(xiàn)場其他物品和設備干涉。針對可測量性的問題，表示測量設備信號接收端點與機器人末端測量點間矢量，并求解各矢量與機器人第6軸軸線間的夾角，將所有夾角最大值限制于末端靶球可測量角度60°之內，從而保證可測量性。

因此，可將該位置優(yōu)化問題視為有約束優(yōu)化問題，并基于以上限制，在MATLAB程序中分別設置對應條件與取值范圍，進行坐標與位姿角度計算，選用MATLAB中優(yōu)化功能函數(shù)fmincon進行計算。其中，計算所用的坐標數(shù)據(jù)均設置或轉換為系統(tǒng)基坐標系下結果?？紤]計算結果精度與時間合理性，對函數(shù)選項進行設置，算法選用序列二次規(guī)劃法，并設置函數(shù)及變量的終止限度均為10-16，函數(shù)最大評價次數(shù)為20000。在優(yōu)化過程中，進行了多次不同初值選取，多個最終優(yōu)化結果對比表明其結果與該因素無緊密聯(lián)系。獲取初始優(yōu)化位置結果后，將施力結構擺放到對應位置以驗證是否可用，從而保證了最終位置結果的可用性。多次迭代計算后，得到的最佳位置結果與機器人位姿組合，如表2、表3所示。

表2 迭代計算生成負載位置坐標結果Tab.2 Load Position Coordinate Results After Iterative Calculation

表3 迭代計算生成關節(jié)角度結果Tab.3 Joint Angle Results After Iterative Calculation

4 關節(jié)剛度辨識試驗

4.1 試驗設備

試驗設備包括COMAU機器人，F(xiàn)ARO三維激光跟蹤儀，負載施力機構，ATI六維力傳感器及專用末端測量裝置。施力機構通過鋼絲繩將負載力施加到機器人末端，激光跟蹤儀通過設備與靶球測量機器人末端x、y、z三向位移變化，ATI力傳感器連接法蘭與專用測量裝置并實時測量六自由度負載力信號與轉矩信號。機器人型號為COMAU SMART5 NJ 165-3.0，其設計負載為165kg。

4.2 試驗方案

基于胡克定律分析機器人剛度計算中力與變形關系設計試驗方案，其試驗原理圖，如圖3所示。將測量裝置安裝于末端，調整機器人關節(jié)角度至預定位姿并將施力裝置安放于優(yōu)化后坐標，保證負載力的方向。向施力機構吊盤中添加負載，滑輪改變力的方向，實現(xiàn)將拉力施加到機器人末端。

圖3 剛度辨識試驗原理圖Fig.3 Principle Diagram of Stiffness Identification Test

試驗時每次添加10kg重物負載，逐步添加至100kg?？蛰d狀態(tài)及每次添加負載后分別測量4個測量點對應變化的坐標5次，取其平均值作為當前位置坐標。在測量靶球坐標的同時，記錄力傳感器示數(shù)并取平均值，改為基坐標系下實際負載分力，作為計算負載力的分力數(shù)據(jù)。坐標值與分力值分別減去空載狀態(tài)的值則可獲得每組負載下的變形量與負載分力?；跈C器人笛卡爾剛度模型中的力與變形規(guī)律，并根據(jù)已建立的機器人剛度模型，計算求出機器人的關節(jié)剛度［11］，試驗現(xiàn)場，如圖4所示。

圖4 剛度辨識試驗現(xiàn)場圖Fig.4 Diagram of Stiffness Identification Test

4.3 試驗結果計算及分析

試驗結果數(shù)據(jù)基于機器人基坐標系，機器人笛卡爾剛度矩陣、負載力與變形量滿足胡克定律F=KΔX，其中力矢量表示為：

變形矢量表示為：

式中：K—（6×6）機器人笛卡爾剛度矩陣。

將式（1）代入胡克定律可得式（2）：

優(yōu)化后的加載位置共有6個，且4個測量點位置均進行10組測量，并忽略轉角和扭矩的影響，因此A矩陣最終維數(shù)為（720 × 6），記作A0。變形矢量最終為（720 × 1），記作ΔX0。由于矩陣與變形向量的規(guī)格問題，不能用正常矩陣求解手段，因此通過近似誤差最小的近似解表示最終結果［13］，即為式（5）：

通過矩陣偽逆計算，可獲得誤差最小近似[Kθ]C為：

式中：A0l—A0的廣義逆。

根據(jù)測量數(shù)據(jù)計算得到的剛度結果為（單位：N·mm/rad）：

剛度計算過程中，由于獲取數(shù)據(jù)不包括三方向的扭轉分量，為確保結果的正確，廣義力矢量的取值考慮了扭矩產生的影響，其數(shù)據(jù)進行了補償。

4.4 關節(jié)剛度的驗證

在進行剛度辨識試驗并求解獲得關節(jié)剛度矩陣后，設計結果驗證試驗并記錄數(shù)據(jù)，用以證明所求剛度矩陣可靠有效。根據(jù)所獲剛度矩陣求解理論變形量，并計算所有實際變形量與理論變形量的差值。

選取4組可用位姿，在原有試驗方案條件的基礎上，分別添加50kg與100kg負載，同時4個測量點均記錄變形量與力傳感器示數(shù)，將驗證試驗獲得的負載力利用所求剛度矩陣計算其對應變形量。同時，還選用了六組未優(yōu)化位姿進行同樣的剛度矩陣計算，并代入驗證試驗負載力獲得對應理論變形量。在計算獲得兩組剛度對應理論變形后，分別求解其與驗證試驗測量得到的實際變形的偏差，并將差值統(tǒng)一取正可得兩組偏差絕對值，如圖5所示。

圖5 實際變形量與理論變形量的偏差絕對值分布Fig.5 The Absolute Value Distribution of the Deviation Between Actual and Theoretical Deformation

驗證試驗及數(shù)據(jù)對比結果證明通過該剛度辨識方法所得結果的準確性，表明提出方法切實可行，能夠精確辨識的機器人系統(tǒng)的關節(jié)剛度矩陣，且相較任意位姿求解結果精確度有較大提升。

5 結論

通過綜合優(yōu)化施力裝置的位置與機器人位姿的試驗方式，而不是采用以往常用的簡單挑選變換機器人位姿的手段，實現(xiàn)機器人剛度辨識。該方法相對以往試驗方式，考慮因素更全面，其流程更為規(guī)范標準，為試驗優(yōu)化方向提供新的選擇。同時，合理設置優(yōu)化過程中的位姿角度取值范圍，可有效避免位姿調整過程中的奇異位姿，也可保證了機器人靈巧性指標。因此，通過提出的剛度辨識試驗方式，在保證結果準確的前提下也降低了風險，可獲得更為合理的試驗數(shù)據(jù)結果。

同時，在剛度辨識試驗中除位姿優(yōu)化外，引入了負載施力裝置安放位置優(yōu)化?；贛ATLAB軟件為負載位置選擇提供了規(guī)范化的程序，通過幾何建模約束防止負載鋼絲繩與其他試驗設備及現(xiàn)場環(huán)境干涉，在保證了可加載性的同時也考慮了變形可測量性，因此實現(xiàn)了試驗方案及參數(shù)的標準化選擇，其剛度辨識試驗結果也更為接近實際結果。相對于常用的小負載辨識，在試驗中選用了較大的負載，更加貼近實際加工工況，因此數(shù)據(jù)更加反映了真實結果。

提出的機器人剛度矩陣辨識方法，為機器人剛度分析提供了全新的研究手段，也為將來機器人加工研究提供了更為精確的剛度結果。