面向權(quán)重未知的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法

龔匡豐, 林耀進(jìn), 李國和, 楊偉萍

（1.龍巖學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,福建 龍巖 364000；2.閩南師范大學(xué)計算機(jī)學(xué)院,福建 漳州 363000；3.中國石油大學(xué)(北京)信息科學(xué)與工程學(xué)院,北京 102249）

學(xué)者Atanassov[1]提出直覺模糊集理論（intuitionistic fuzzy set, IFS）.在此基礎(chǔ)上，Atanassov 等[2]將其進(jìn)行推廣，給出區(qū)間直覺模糊集（interval-valued intuitionistic fuzzy set, IVIFS）概念.目前，IVIFS 理論已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于圖像處理、模式識別等領(lǐng)域[3-4].

多屬性決策是通過挖掘已有信息，對候選方案進(jìn)行評價，給出較好方案或者對方案進(jìn)行排序[5].徐澤水[6]在IVIFS環(huán)境下，提出一種屬性權(quán)重完全已知的決策方法.劉久兵等[7]將IVIFS理論與代價損失函數(shù)結(jié)合，同時融入三支決策思想，給出一種專家權(quán)重信息未知的區(qū)間直覺模糊三支群決策方法.何佳蔓[8]用灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)法確定專家權(quán)重和屬性權(quán)重，提出一種基于云模型的多屬性群決策方法.郭子雪等[9]在IVIFS環(huán)境下，利用離差最大化思想對屬性權(quán)重完全未知的多屬性決策方法進(jìn)行研究.陸廣地[10]針對模糊不確定性問題，提出一種基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺模糊多屬性決策新算法.孟振華等[11]重新定義直覺模糊數(shù)得分函數(shù)，同時提出一種多屬性決策方法.張曉慧等[12]利用最大最小偏差思想，結(jié)合有序加權(quán)平均算子提出一種針對方案偏好信息為實數(shù)的多屬性群決策方法.馮源等[13]將最大最小偏差思想推廣到屬性值為區(qū)間型的多屬性群決策問題中.由于IVIFS在不確定性的刻畫上更細(xì)膩，因此，提出一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法.首先，分析文獻(xiàn)[6]中傳統(tǒng)得分函數(shù)的局限性，將文獻(xiàn)[11]中得分函數(shù)推廣到IVIFS環(huán)境.其次，利用最大最小偏差思想確定屬性權(quán)重，通過區(qū)間直覺模糊加權(quán)平均(IIFWA)算子對每個方案集的評價指標(biāo)進(jìn)行集成.最后，比較各方案中綜合得分函數(shù)值，實現(xiàn)排序.

1 預(yù)備知識

定義1[1]給定非空論域U，則稱A為U上的一個直覺模糊集.A表示為

其中：uA(x)和vA(x)分別稱為x屬于A的隸屬度和非隸屬度.即

且滿足條件：0 ≤uA(x)+vA(x)≤1，x∈U.

另外，稱πA(x)為x屬于A的猶豫度，πA(x)表示為

定義2[14]給定一個直覺模糊數(shù)α=(uα，vα)，則α的得分函數(shù)S(α)表示為

定義2中得分函數(shù)沒有考慮猶豫度的作用，文獻(xiàn)[11]對其進(jìn)行改進(jìn)，給出考慮猶豫度的得分函數(shù).

定義3[11]設(shè)存在一個直覺模糊數(shù)α=(uα，vα)，則其得分函數(shù)S(α)表示為

定義4[2]給定非空論域U，則稱為U上的一個區(qū)間直覺模糊集表示為

定義5[6]設(shè)為一個區(qū)間直覺模糊數(shù)，則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)定義為

顯然，S()∈[-1，1].

定義6[6]設(shè)為一個區(qū)間直覺模糊數(shù)，則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)定義為

由（8）式可知，h()∈[0，1].

定義7[6]設(shè)有三個區(qū)間直覺模糊數(shù)，則滿足以下式子：

定義8[6]設(shè)(k=1，2，…，n)為一組區(qū)間直覺模糊數(shù)，且設(shè)，若

其中：w=(w1，w2，…，wn)T為的權(quán)重向量，且wk∈[0，1]，，則稱f為區(qū)間直覺模糊加權(quán)平均（IIFWA）算子.

定理1[6]設(shè)為信息系統(tǒng)的區(qū)間直覺模糊數(shù)組，則由IIFWA 算子集成后，其結(jié)果為

2 改進(jìn)的得分函數(shù)

2.1 現(xiàn)有得分函數(shù)的局限性分析

定義5中得分函數(shù)的計算方法只考慮隸屬度和非隸屬度，而忽略猶豫度的作用，導(dǎo)致區(qū)間直覺模糊數(shù)中信息沒有被充分發(fā)掘.現(xiàn)用例1說明傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)具有局限性.

例1給定非空論域U，和為兩個區(qū)間直覺模糊數(shù)，且=([0.45，0.55]，[0.15，0.25])，=([0.1，0.5]，[0，0]).利用傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)和精確函數(shù)計算方法可得如下結(jié)果易得，由傳統(tǒng)區(qū)間直覺模糊數(shù)的比較規(guī)則可知即認(rèn)為優(yōu)于.

2.2 新的得分函數(shù)

文獻(xiàn)[11]中得分函數(shù)同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度，該得分函數(shù)更加客觀地反映事物不確定性.本節(jié)將該思想推廣到IVIFS環(huán)境中，重新定義得分函數(shù).

定義9設(shè)為論域U中一個區(qū)間直覺模糊數(shù)，且，則該區(qū)間直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)定義為

定義9中表達(dá)式可以改寫成為

公式（12）中第一項為傳統(tǒng)得分函數(shù)表達(dá)式，第二項為猶豫度的一個修正項.考慮到棄權(quán)人群的從眾心理，可能傾向于贊成、反對和保持中立三種情況，將猶豫人群分為等權(quán)的三類.即猶豫度的權(quán)重為，最后用得分函數(shù)的一半來修正該權(quán)重值.定義9 中區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)充分考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三個方面因素，更加符合人們對客觀事物的判斷.

性質(zhì)1當(dāng)區(qū)間直覺模糊數(shù)取得最大值=([1，1]，[0，0])時，S()=1；當(dāng)區(qū)間直覺模糊數(shù)取得最小值=([0，0]，[1，1])時，S()=-1.

證明當(dāng)=([1，1]，[0，0])時，有

推論1區(qū)間直覺模糊數(shù)得分函數(shù)式（11）為直覺模糊數(shù)得分函數(shù)式（4）的自然推廣.

證明由定義9可知，當(dāng)時，區(qū)間直覺模糊數(shù)退化為直覺模糊數(shù).此時

上式即為定義3中直覺模糊數(shù)的得分函數(shù)，證畢.

例2（續(xù)例1）根據(jù)公式（11），可得

3 基于最大最小偏差的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法

3.1 問題描述

文獻(xiàn)[7]對區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法作如下形式化描述.

假設(shè)存在方案集Y={yi|1 ≤i≤n}，屬性集為AT={atk|1 ≤k≤m}∈Rn×m， 屬性權(quán)重向量為W∈Rm×1，wj∈[0，1]，，方案集中任一對象可以表達(dá)成：其中分別表示方案yi關(guān)于屬性atk的隸屬程度和非隸屬程度.令，可得如下決策矩陣

3.2 模型分析

文獻(xiàn)[12]認(rèn)為在多屬性決策問題中，如果各備選方案在某個屬性下取值越接近，則該屬性對方案的影響越小.由此可知，該屬性的權(quán)重也應(yīng)該越小.文獻(xiàn)[15]指出：如果各備選方案中某個屬性取值都相同，則大多數(shù)決策者認(rèn)為該屬性對方案排序不起作用.相反，如果某個屬性值差異性相對較大，則該屬性權(quán)重值也應(yīng)該相對較大.利用這種思想得到的最優(yōu)權(quán)重向量應(yīng)該滿足所有屬性值最小差異最大化.文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[13]利用最大最小偏差思想，分別在方案屬性值為實數(shù)型和區(qū)間數(shù)型情況下討論多屬性群決策問題.然而，上述文獻(xiàn)并沒有在IVIFS環(huán)境下對最大最小偏差思想進(jìn)行討論分析.IVIFS對不確定性的刻畫比直覺模糊集更細(xì)膩.因此，有必要將這種思想推廣到IVIFS環(huán)境中，由此進(jìn)一步豐富多屬性決策問題的理論研究.

利用最大最小偏差思想，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)為

其中：wi為第i個屬性的權(quán)重值；δ為兩兩方案中同一個屬性的得分函數(shù)值之差的絕對值；δwi表示不同方案中同一屬性（wi）的距離.此處有

其中：Sij，Slj為不同方案下同一個屬性的得分函數(shù)值.得分函數(shù)由定義9給出.

公式（14）的求解如下

通過求解（17）式可在屬性權(quán)重未知情況下，得到一個相對合理的權(quán)重向量，減少主觀性.

3.3 決策方法與偽代碼

基于以上分析，本節(jié)詳細(xì)說明所提決策方法.首先根據(jù)（11）式計算決策矩陣中每個屬性的得分函數(shù)值，構(gòu)造得分矩陣；然后，計算每個屬性下兩兩方案間得分函數(shù)值之差的絕對值得到距離矩陣，結(jié)合3.2節(jié)所提權(quán)重模型，確定屬性權(quán)重值，并利用算子IIFWA 計算每個方案的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù)，最后根據(jù)（11）式計算每個方案的最終得分函數(shù)值得到最優(yōu)方案.具體偽代碼如算法1所示.

算法1 面向權(quán)重未知的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法輸入:決策矩陣Y ∈Rn×m,屬性集AT ∈R1×m,距離矩陣D_Value ∈R n(n-1)2×m.輸出:得分函數(shù)排序結(jié)果.1:根據(jù)Eq.(11)計算決策矩陣Y ∈Rn×m中每個屬性的得分函數(shù)值,構(gòu)造得分矩陣D ∈Rn×m;2:for ati ∈AT do 3: l=1;4: for j= 1:(n-1) do 5: for k= (j+1):n do 6: 根據(jù)Eq.(15)計算在屬性ati下,方案yj與yk之間得分函數(shù)值之差的7: 絕對值,賦值到距離矩陣元D_Valueil;8: l=l+1;9: end for 10: end for 11:end for 12:由最大最小偏差模型(3.2)計算每個屬性的權(quán)重值,得到權(quán)重矩陣W ∈R1×m;13:由IIFWA算子集成綜合區(qū)間直覺模糊數(shù);14:根據(jù)Eq.(11)計算每個方案的最終得分函數(shù)值;15:返回最優(yōu)方案.

4 算例分析

4.1 算例

例3[9]某企業(yè)為評估應(yīng)急預(yù)案對突發(fā)事件的處理能力，對備選方案進(jìn)行分析.分別從響應(yīng)程度(at1)，內(nèi)容合理性(at2)，預(yù)案保障程度(at3)，經(jīng)費合理性(at4)以及預(yù)案可推廣性(at5)等方面進(jìn)行綜合考慮.假定方案集為yi(i=1，2，3，4，5)，專家組根據(jù)自己的閱歷背景、通過實地調(diào)研得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)對每個預(yù)案進(jìn)行評價，表1是方案集關(guān)于屬性的區(qū)間直覺模糊評價信息矩陣.假設(shè)屬性權(quán)重完全未知，試對方案集進(jìn)行排序.

表1 決策矩陣Tab.1 Decision-making matrix

用所提決策方法對方案集進(jìn)行排序，該模型的計算過程在Matlab2021b環(huán)境下實現(xiàn).

步驟1根據(jù)（11）式計算每個決策矩陣中各屬性得分函數(shù)值，構(gòu)造得分矩陣

步驟2根據(jù)3.2 節(jié)中權(quán)重模型，確定每個屬性的權(quán)重.遍歷每個屬性，計算不同方案在該屬性下的差值（取絕對值）得到距離矩陣為

由最大最小偏差模型計算每個屬性的權(quán)重值

容易得到屬性at1（第一列）最小差值為0.050 8，于是有：0.050 8w1-σ≥0.

同理可得

可得權(quán)重最優(yōu)解為

步驟3由區(qū)間直覺模糊加權(quán)平均算子IIFWA計算每個方案的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù).以y1為例.

可得y1的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù)為

同理可得y2～y5的綜合區(qū)間直覺模糊數(shù)為

步驟4根據(jù)（11）式計算每個方案的最終得分函數(shù)：S(y1)=0.185 7；S(y2)=0.209 4；S(y3)=0.269 9；S(y4)=0.567 9；S(y5)=0.081 7.

步驟5利用各方案最終得分函數(shù)值進(jìn)行排序.

由以上分析可知

可得方案排序為：y4?y3?y2?y1?y5，即最優(yōu)方案為y4.

4.2 結(jié)果分析

從表2排序結(jié)果可知，利用所提決策方法得到y(tǒng)4為最優(yōu)方案，與文獻(xiàn)[9]中最優(yōu)方案結(jié)果保持一致.與文獻(xiàn)[9]都是在屬性權(quán)重完全未知的情況下，對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，確定屬性權(quán)重，因此都具備較強(qiáng)的客觀性.除了確定權(quán)重的方法不同之外，最主要的不同之處在于提出一種新的得分函數(shù)計算方法，該方法充分考慮猶豫度的作用，更具合理性.

表2 算例3排序結(jié)果對比Tab.2 Comparision of sorting results of example 3

為進(jìn)一步驗證所提方法的有效性，用文獻(xiàn)[6]中算例進(jìn)行對比說明.文獻(xiàn)[10]和文獻(xiàn)[16]同樣用該算例進(jìn)行對比.表3是方案排序結(jié)果對比.

表3 文獻(xiàn)[6]算例排序結(jié)果對比Tab.3 Comparision of sorting results for example from reference [6]

從總體上看，所提方法與以上方法均能得到方案4是最優(yōu)方案.

文獻(xiàn)[6]所提方法假設(shè)所有屬性權(quán)重已知，存在一定主觀性；文獻(xiàn)[10]提出一種基于聯(lián)系數(shù)的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，該方法考察初排序的穩(wěn)定性，通過進(jìn)一步討論確定最優(yōu)方案；文獻(xiàn)[16]所提方法是利用引入心態(tài)函數(shù)進(jìn)行討論，心態(tài)指標(biāo)的不同可能導(dǎo)致排序結(jié)果變化.綜上，從權(quán)重確定的角度，不同于其他方法，所提方法中，權(quán)重完全由數(shù)據(jù)自身決定，具備較強(qiáng)客觀性.

5 結(jié)論

在IVIFS 環(huán)境下，分析傳統(tǒng)得分函數(shù)的局限性，重新定義得分函數(shù)，討論其合理性和相關(guān)性質(zhì).結(jié)合最大最小偏差思想，給出一種新的區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法.通過算例驗證該方法的有效性.相比于屬性權(quán)重完全給定的多屬性決策方法，所提方法屬性權(quán)重完全由數(shù)據(jù)自身決定，這更具客觀性和合理性，是對最大最小偏差思想的推廣，同時也豐富了區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法的理論研究.