負(fù)必然-可能半三支概念及其應(yīng)用

王啟君, 林藝東*, 林宇靜, 林夢雷,2

（1.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建 漳州 363000；2.閩南師范大學(xué)數(shù)字福建氣象大數(shù)據(jù)研究所,福建 漳州 363000）

形式概念分析（formal concept analysis，F(xiàn)CA）作為一種從形式背景進(jìn)行數(shù)據(jù)分析和規(guī)則提取的強(qiáng)有力工具，由德國數(shù)學(xué)家Wille[1-2]于1982年提出.形式概念分析通過對本體的概念、屬性、關(guān)系等用形式化的語境表述出來，生成形為（外延、內(nèi)涵）二元對的形式概念，并利用伽羅瓦連接構(gòu)造出概念格（Concept lattice）.目前FCA 的主要研究方向有屬性約簡、規(guī)則提取、三支概念分析和網(wǎng)絡(luò)形式背景等[3-12].同時(shí)該理論已成功應(yīng)用于博客數(shù)據(jù)分析、智慧城市等領(lǐng)域[13-16].

三支概念分析(three-way concept analysis,3WCA)是將三支決策理論[17]與FCA 相結(jié)合產(chǎn)生的一種知識發(fā)現(xiàn)理論[8-10].受三個(gè)論域范疇的啟發(fā)，它基于對概念的二元理解，把FCA 擴(kuò)展到三元情況[18]，因此很多FCA中的研究內(nèi)容可平移到3WCA中，如：三支概念格構(gòu)建和約簡[19-24]、三支概念學(xué)習(xí)[25-27]以及模糊三支概念分析[26,28]等.同時(shí)3WCA也在沖突分析、醫(yī)療診斷等方面得到成功應(yīng)用[29-31].

三支概念從共性角度對對象和屬性進(jìn)行三分，由于在某些實(shí)際情況中共性信息可能不那么重要，魏玲等[32]結(jié)合必然算子與可能算子提出必然-可能半三支概念，將單向?qū)?yīng)思想引入3WCA，可以應(yīng)用于團(tuán)隊(duì)合作問題，拓寬概念的語義.然而在教育教學(xué)中，老師不僅關(guān)心怎樣能讓小組合作達(dá)到最佳效果，還需要關(guān)注學(xué)生不會解決的問題便于教師及時(shí)采取措施以改善學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，這就使得考慮負(fù)背景下的信息成為必要.基于此問題，提出負(fù)必然、負(fù)可能算子，并結(jié)合區(qū)間集[33]，定義負(fù)必然-可能半三支概念，進(jìn)而生成負(fù)必然-可能半三支概念格，最后用教育教學(xué)中的實(shí)例說明該理論的實(shí)用性.

1 基礎(chǔ)知識

本節(jié)給出三支概念分析的一些基礎(chǔ)知識.

對于任意非空論域U，若P(U)為其冪集，令DP(U)=P(U)×P(U).

U上的區(qū)間集為

記U上所有的區(qū)間集記為IP(U).

定義1[2]設(shè)三元組(G,M,I)為一個(gè)形式背景，其中：G={g1,g2,…，gp}為對象集；M={m1,m2,…,mq}為屬性集.I?G×M，若(g,m)∈I，則稱對象g具有屬性m.

對于任意X?G和A?M，定義算子*與算子為

其中：Ic=G×M-I.

特別地，對于任意的g∈G,m∈M，記{g}*為g*，{m}*為m*.

一些學(xué)者從模態(tài)邏輯的角度，將*算子稱為充分算子，并陸續(xù)提出必然算子、可能算子以及對偶充分算子等概念[34-35].

給定形式背景(G,M,I)，對于任意X?G，A?M，必然算子□定義為

可能算子?定義為

定義2[32]設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意X∈P(G)，定義對象導(dǎo)出必然-可能三支算子?：，X?=[X□,X?]，簡稱ONPE-算子.

定義3[32]設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意若則稱為對象導(dǎo)出必然-可能半三支概念，簡稱為ONPSE-概念，

其中X稱為ONPSE-概念的外延，稱為ONPSE-概念的內(nèi)涵.

定義4[32]設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意A∈P(M)，定義屬性導(dǎo)出必然-可能三支算子?：P(M)→IP(G)，A?=[A□,A?]，簡稱ANPE-算子.

定義5[32]設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意若，則稱為屬性導(dǎo)出必然-可能半三支概念，簡稱為ANPE-概念，

2 基于負(fù)信息的對象導(dǎo)出必然-可能半三支概念

上述提出的必然-可能半三支概念是基于正背景的角度，關(guān)注的是怎樣合作使得團(tuán)隊(duì)更高效高質(zhì)量地完成工作，而在教育教學(xué)中教師不僅需要關(guān)注學(xué)生已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)，也需關(guān)注學(xué)生不會解決的問題.這就需要利用負(fù)信息從另一方面對對象集、屬性集的信息進(jìn)行刻畫.

2.1 對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能三支算子

定義6給定形式背景(G,M,I)，對于任意X?G,A?M，負(fù)必然算子定義為

性質(zhì)1設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意X,X1,X2∈G,A,A1,A2∈M,有

證明(i)對?a∈，有?X，即∩X=≠?，則a∈，故Xˉ?.同理可證Aˉ?.

(ii)對?a∈，有?X1，又X1?X2，有a-*?X2，則a∈，所以?.故當(dāng)X1?X2時(shí)?.同理可證A1?A2??.(iii)對?a∈，有∩X1≠?，又X1?X2，有∩X2≠?，則a∈，所以?.故當(dāng)X1?X2時(shí)有?.同理可證A1?A2??.

例1表1為形式背景(G,M,I)，其中對象集G={1,2,3,4}代表四名學(xué)生，屬性集M={a,b,c,d}代表學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中需要解決的問題.表1 中“1”表示學(xué)生會解決此問題，“0”則表示學(xué)生不會解決此問題，如：學(xué)生1會解決的問題有a,c,d,不會解決的問題為b.

表1 形式背景(G,M,I)Tab.1 Formal context (G,M,I)

定義7設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意X∈P(G)，定義對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能三支算子：P(G)→IP(M)，，簡稱NONPE-算子.

NONPE-算子具有以下性質(zhì)：

性質(zhì)2設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意X1,X2∈P(G)，有

證明(i)若X1?X2，由性質(zhì)1(ii) ～(iii)，有，則

2.2 對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念

定義8設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意X∈P(G)，，若，則稱為對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念，簡稱為NONPSE-概念，其中X為NONPSE-概念的外延，為NONPSE-概念的內(nèi)涵.

對于對象子集X?G，NONPE-算子可以同時(shí)獲取必然屬性與可能屬性，并形成屬性集M上的一個(gè)區(qū)間集，這個(gè)區(qū)間集可將M分為3 部分：正域POSX=、負(fù)域NEGX=M-以及邊界域并且POSX、NEGX和BNDX兩兩互不相交，形成M的一個(gè)弱三劃分.

例2表1形式背景下所有的概念如表2所示.

表2 表1 的NONPSE-概念Tab.2 NONPSE-concept of Table1

以概念(23,[a,M])， (34,[a,M])為例解釋NONPSE-概念的語義.概念(23,[a,M])表明：不會解決問題a的學(xué)生一定在2 和3 中，且學(xué)生2 和3 不會解決的問題在M中；概念(34,[a,M])表明：不會解決問題a的學(xué)生一定在3和4中，且學(xué)生3和4不會解決的問題在M中，進(jìn)一步可以說明，學(xué)生3一定不會解決問題a，也符合概念(3,[a,abd])的語義.

記(G,M,I)的所有NONPSE-概念的集合為NONPSEL(G,M,I)，定義其偏序關(guān)系為：對于任意

稱NONPSEL(G,M,I)為(G,M,I)的對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念格，簡稱為NONPSE-概念格.定理1給出其上、下確界，并證明其是一個(gè)完備格.

定理1NONPSEL(G,M,I)是一個(gè)完備格，其上、下確界分別為

證明對于任意的由NONPE-算子的定義可知

則X1?X且X2?X，故X1∪X2?X，因此

定理2ONPSEL(G,M,I)?NONPSEL(G,M,I).

證明記 ONPSEL(G,M,I)=L(G,M1,I1)，NONPSEL(G,M,I)=L(G,M2,I2)，對任意，總存在使得X′=X，則L(G,M1,I1)≤L(G,M2,I2)；又對任意總存在使得X=X′,則L(G,M2,I2)≤L(G,M1,I1)，故L(G,M1,I1)?L(G,M2,I2)，即ONPSEL(G,M,I)?NONPSEL(G,M,I).

例3表1的NONPSE-概念格如圖1所示.

圖1 表1的NONPSE-概念格Fig.1 NONPSE-concept lattice of Table1

由NONPSE-概念定義可知，任給一個(gè)對象子集X?G，都存在一個(gè)NONPSE-概念(X,[,])與之一一對應(yīng).

3 基于負(fù)信息的屬性導(dǎo)出必然-可能半三支概念

3.1 屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能三支算子

定義9設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意A∈P(M)，定義屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能三支算子，簡稱NANPE-算子.

NANPE-算子有以下性質(zhì).

性質(zhì)3設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意A1,A2∈P(M)，有

3.2 屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念

定義10設(shè)(G,M,I)為一個(gè)形式背景，對于任意，則稱為屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念，簡稱為NANPSE-概念，

NONPSE-概念與NANPSE-概念統(tǒng)稱為負(fù)必然-可能半三支概念，簡稱為NANPSE-概念.

類似于NANPSE-算子，對于屬性子集A?M，可以利用NANPSE-算子獲得對象集G上的一個(gè)區(qū)間集這個(gè)區(qū)間集可將G分為3 部分：正域、負(fù)域，及邊界域，并形成G的一個(gè)弱三劃分.

記(G,M,I)的所有NANPSE-概念的集合為NANPSEL(G,M,I),定義其偏序關(guān)系為：對于任意

稱NANPSEL(G,M,I)為(G,M,I)的屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念格，簡稱為NANPSE-概念格.定理2給出其上、下確界，證明同定理1，這里不再贅述.

定理3NANPSEL(G,M,I)是一個(gè)完備格，其上、下確界分別為

定理4ANPSEL(G,M,I)?NANPSEL(G,M,I).

例4表1形式背景下所有的NANPSE-概念如表3所示，NANPSE-概念格如圖2所示.

圖2 表1的NANPSE-概念格Fig.2 NANPSE-concept lattice of table 1

表3 表1 的NANPSE-概念Tab.3 NANPSE-concept of table 1

以概念([1,G],bc), ([1,G],bd)為例解釋NANPSE-概念的語義.概念([1,G],bc)表明：學(xué)生1 一定不會解決問題b或c，且不會解決問題b和c的學(xué)生可能在G中；概念([1,G],bd)表明：學(xué)生1一定不會解決問題b或d，且不會解決問題b和d的學(xué)生可能在G中，進(jìn)一步可以說明，學(xué)生1 一定不會解決問題b，也符合概念([1,13],b)的語義；另一方面，，可以看出，即不會問題c的同學(xué)一定不會d，故概念([1,G],bc)， ([1,G],bd)內(nèi)涵不同外延卻一致.

4 例子

在第二、三節(jié)定義負(fù)必然-可能三支半概念，它既能對數(shù)據(jù)信息進(jìn)行有效表述又避免經(jīng)典形式概念下由于強(qiáng)對應(yīng)關(guān)系造成的信息丟失.為說明所提出負(fù)必然-可能三支半概念的實(shí)用性，在某小學(xué)四年級隨機(jī)挑選20名學(xué)生進(jìn)行案例分析，通過測試題的形式對他們解決問題的能力進(jìn)行檢驗(yàn)，其中測試題目為：a.計(jì)算；d.解方程；e.一個(gè)數(shù)的比它的多60，求這個(gè)數(shù).具體測試結(jié)果如表4，學(xué)生正確解決該問題記為1，否則為0.

表4 測試結(jié)果Tab.4 Test result

由于學(xué)生全部做對和全部做錯(cuò)在的研究中不具有參考價(jià)值，故刪去全部正確、全部錯(cuò)誤的數(shù)據(jù)，由于存在相同測試結(jié)果，為表示簡便，令[x1]q={x1,x3}，[x2]q={x2}，[x5]q={x5,x19}，[x6]q={x6}，[x14]q={x14,x17}，最終處理后的測試結(jié)果所產(chǎn)生的形式背景如表5～6 所示，其中“1”表示學(xué)生會解決此問題，“0”則表示學(xué)生不會解決此問題.

表5 形式背景(G,M,I)Tab.5 An formal context (G,M,I)

表6 表5 的NONPSE-概念Tab.6 NONPSE-concept of Table5

受粗糙集思想的啟發(fā)，每一個(gè)NONPSE-概念的內(nèi)涵都可以看成由正域POSX=、負(fù)域NEGX=M-組成的區(qū)間，而對于某個(gè)問題而言，教師在教學(xué)過程中更容易關(guān)注到學(xué)生不確定掌握的問題，即邊界問題，那么這些問題是否需要進(jìn)一步講解就成為教師需要關(guān)注的方向，故引入問題判別參數(shù)（q-discriminant parameter）dαq的定義.

定義11設(shè)為NONPSE-概念，其邊界問題為，對任意問題m∈M，其判別參數(shù)dαq為

其中：|oc|為所有NONPSE-概念的個(gè)數(shù)，|X|為概念外延所含對象個(gè)數(shù)，如概念oc7：([x1]q[x2]q,[?,de])其外延所含對象個(gè)數(shù)，若dαq≥α則說明問題需要被老師關(guān)注，采取進(jìn)一步的措施解決該問題.

在案例中，令α=0.5，dαq(c)=0.47 ＞α，dαq(d)=0.58 ≥α，dαq(e)=0.72 ＞α，即問題d,e 存在一定難度，學(xué)生不能順利解決該問題，需要教師采取進(jìn)一步措施.問題與其判別參數(shù)的變化趨勢如圖3所示.

圖3 問題判別參數(shù)d αqFig.3 Discriminant parameter of question d αq

圖3 分析：由圖中可以看出，dαq(d),dαq(e)＞α，即問題d,e需要被教師進(jìn)一步解決.從知識層面來說，數(shù)學(xué)學(xué)科知識量大且語言抽象，思維方法具有層次性躍遷，會出現(xiàn)一個(gè)知識點(diǎn)講授很多遍，學(xué)生不會做題的情況.故而，針對這些仍然存在困惑的問題就急需教師采取不同措施解決.

針對問題d，dαq(d)=0.58 ≥α，只有一部分同學(xué)對該問題存有困惑，并不需要在全班進(jìn)行講解，可以針對該問題制作微課上傳至云平臺，供學(xué)生自助取用；針對問題e，可以看出該問題的相關(guān)知識點(diǎn)學(xué)生掌握程度較低，可以對全班同學(xué)進(jìn)行精準(zhǔn)知識講解，力求突破難點(diǎn).根據(jù)布魯姆的掌握學(xué)習(xí)理論的核心觀點(diǎn)：若給足學(xué)生時(shí)間并采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，幾乎每個(gè)學(xué)生可以對所有內(nèi)容達(dá)到掌握的程度.通過精準(zhǔn)有針對性的輔導(dǎo)，不僅可以高效解決數(shù)據(jù)反饋的問題，而且能夠針對具體問題采取強(qiáng)化措施，見表7.

表7 表5的NANPSE-概念Tab.7 NANPSE-concept of Table 5

而對于學(xué)生而言問題可以反應(yīng)該學(xué)生對知識的理解程度，每一個(gè)NANPSE-概念的內(nèi)涵都可以看成由POSA=、負(fù)域NEGA=G-組成的區(qū)間，教師在教學(xué)過程中應(yīng)該注意到對某些問題似是而非的同學(xué)，即處于邊界域的學(xué)生，為確定這些學(xué)生是否需要教師個(gè)性化輔導(dǎo)，故引入對于學(xué)生的判別參數(shù)（s-discriminant parameter）dβs的定義.

定義12設(shè)為NANPSE-概念，，對任意學(xué)生[xj]q∈G，其判別參數(shù)為

在案例中，令β=0.4，dβs([x1]q)=0，dβs([x2]q)=0.44，dβs([x5]q)=0.11，dβs([x6]q)=0.33，dβs([x14]q)=0，可以看出學(xué)生2需要教師進(jìn)一步輔導(dǎo).然而，學(xué)生是具有個(gè)體差異性的，個(gè)性化輔導(dǎo)便是彌補(bǔ)上述情況的有效手段.如：學(xué)生2對知識點(diǎn)的理解不夠透徹，可以考慮進(jìn)行課后作業(yè)輔導(dǎo)、精準(zhǔn)考后分析等措施，做出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和補(bǔ)救，這樣可以使得個(gè)性化輔導(dǎo)更有針對性，從而改善學(xué)困生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，與此同時(shí)，dβs([x2]q)＞dsβ([x6]q)＞dsβ([x5]q)，即學(xué)生2急需老師關(guān)注，學(xué)生6，5，19次之，教師采用個(gè)性化輔導(dǎo)也可加強(qiáng)師生之間的聯(lián)系，使老師得到及時(shí)的反饋，增強(qiáng)學(xué)生的幸福感.

目前，對于學(xué)困生的教育效果直接影響素質(zhì)教育的深化及新課程改革目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，導(dǎo)致對學(xué)困生教育的關(guān)注度越來越高，因此教師需在教學(xué)實(shí)踐和日常生活中對這類學(xué)生因材施教，以推動(dòng)素質(zhì)教育的進(jìn)一步發(fā)展.

5 結(jié)論

在教育教學(xué)中的實(shí)際背景下，結(jié)合區(qū)間集，定義負(fù)必然-可能半三支概念，從負(fù)背景上拓寬半三支概念的語義.而對象和屬性作為兩種不同的研究角度，生成的兩種負(fù)必然-可能半三支概念應(yīng)用場景也有所不同，對象導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念從對象出發(fā)，對屬性進(jìn)行劃分，屬性導(dǎo)出負(fù)必然-可能半三支概念從屬性出發(fā)，對對象進(jìn)行劃分，因此如何結(jié)合上述研究成果，對負(fù)必然-可能半三支概念的應(yīng)用做進(jìn)一步研究也很有意義.同時(shí)必然算子與可能算子與粗糙集的上、下近似密切相關(guān)，故如何將其與粗糙集理論相結(jié)合也很有必要.在概念認(rèn)知學(xué)習(xí)中，通過概念對事物進(jìn)行認(rèn)知也是一個(gè)值得研究的課題，由于負(fù)必然-可能半三支概念的外延與內(nèi)涵沒有嚴(yán)苛的雙向?qū)?yīng)，能否能在概念認(rèn)知學(xué)習(xí)過程中取得較好的效果也值得討論.這些都是未來的研究方向.